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文檔簡介
1、柯西不等式的證明及應(yīng)用柯西(Cauchy)不等式 等號當且僅當或時成立(k為常數(shù),)現(xiàn)將它的證明介紹如下:證明1:構(gòu)造二次函數(shù) = 恒成立即當且僅當 即時等號成立證明(2)數(shù)學(xué)歸納法 (1)當時 左式= 右式=顯然 左式=右式當 時, 右式 右式 僅當即 即時等號成立故時 不等式成立 (2)假設(shè)時,不等式成立即 當 ,k為常數(shù), 或時等號成立設(shè) 則 當 ,k為常數(shù), 或時等號成立即 時不等式成立綜合(1)(2)可知不等式成立柯西不等式是一個非常重要的不等式,靈活巧妙的應(yīng)用運用它,可以使一些較為困難的問題迎刃而解,這個不等式結(jié)構(gòu)和諧,應(yīng)用靈活廣泛,利用柯西不等式可處理以下問題:1) 證明相關(guān)命題
2、例1 用柯西不等式推導(dǎo)點到直線的距離公式。 已知點及直線 設(shè)點p是直線上的任意一點, 則 (1) (2)點兩點間的距離就是點到直線的距離,求(2)式有最小值,有由(1)(2)得: 即 (3)當且僅當 (3)式取等號 即點到直線的距離公式即2) 證明不等式例2已知正數(shù)滿足 證明 證明:利用柯西不等式 又因為 在此不等式兩邊同乘以2,再加上得:故3) 解三角形的相關(guān)問題例3 設(shè)是內(nèi)的一點,是到三邊的距離,是外接圓的半徑,證明證明:由柯西不等式得,記為的面積,則故不等式成立。4) 求最值例4已知實數(shù)滿足, 試求的最值 解:由柯西不等式得,有即由條件可得, 解得,當且僅當 時等號成立,代入時, 時 5)利用柯西不等式解方程例5在實數(shù)集內(nèi)解方程解:由柯西不等式,得 又即不等式中只有等號成立從而由柯西不等式中等號成立的條件,得它與聯(lián)立,可得 6)用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計一書中,在線性回歸中,有樣本相關(guān)系數(shù),并指出且越接近于1,相關(guān)程度越大,越接近于0,則相關(guān)程度越小。現(xiàn)在可用柯西不等式解釋樣本線性相關(guān)系數(shù)?,F(xiàn)記,則,由柯西不等式有,當時,此時,為常數(shù)。點 均在直線上,當時,即而為常數(shù)。此時,此時,為常數(shù)點均在直線附近,所以越接近于1,相關(guān)程度越大當時,不具備
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