大學(xué)高數(shù)三角函數(shù)總結(jié)

1、.三角函數(shù)1. 與（0360）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：終邊在x軸上的角的集合： 終邊在y軸上的角的集合：終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合： 終邊在y=x軸上的角的集合： 終邊在軸上的角的集合：若角與角的終邊關(guān)于x軸對稱，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊關(guān)于y軸對稱，則角與角的關(guān)系：若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：2. 角度與弧度的互換關(guān)系：360=2 180= 1=0.01745 1=57.30=5718注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.、弧度與角度互換公式： 1rad57.30=5718 10.01745（

2、rad）3、弧長公式：. 扇形面積公式：4、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則 ； ； ； ； ；. .5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）6、三角函數(shù)線 正弦線：MP; 余弦線：OM; 正切線： AT.7. 三角函數(shù)的定義域：三角函數(shù) 定義域sinxcosxtanxcotxsecxcscx8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： 9、誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系 公式組二 公式組三 公式組四 公式組五 公式組六 （二）角與角之間的互換公式組一 公式組二 公式組三 公式組四 公式組五 , ,

3、. 10. 正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：（A、0）定義域RRR值域RR周期性 奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)非奇非偶當(dāng)奇函數(shù)單調(diào)性上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）；上為增函數(shù)上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)（）上為減函數(shù)（）上為增函數(shù)；上為減函數(shù)（）注意：與的單調(diào)性正好相反；與的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.與的周期是.或（）的周期.的周期為2（，如圖，翻折無效）. 的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.當(dāng)；.與是同一函數(shù),而是偶函數(shù)，則.函數(shù)在上為增函數(shù).（） 只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增. 若在整個(gè)定義域，為增函數(shù)

4、，同樣也是錯(cuò)誤的.定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：，奇函數(shù)：）奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反. 例如：是奇函數(shù)，是非奇非偶.（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱）奇函數(shù)特有性質(zhì)：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質(zhì)）不是周期函數(shù)；為周期函數(shù)（）；是周期函數(shù)（如圖）；為周期函數(shù)（）；的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如： . 有.三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等函數(shù)yAsin（x）的振幅|A|，周期，頻率，相位初相（即當(dāng)x0時(shí)的相位）（當(dāng)A0，0 時(shí)以上公式可去絕對值符號(hào)）

5、，由ysinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)|A|1）或縮短（當(dāng)0|A|1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換（用y/A替換y）由ysinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（0|1）或縮短（|1）到原來的倍，得到y(tǒng)sin x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換(用x替換x)由ysinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)0）或向右（當(dāng)0）平行移動(dòng)個(gè)單位，得到y(tǒng)sin（x）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移(用x替換x)由ysinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b0）或向下（當(dāng)b0）平行移動(dòng)b個(gè)單位，得到y(tǒng)sinxb的圖象叫做沿y軸方向的

6、平移（用y+(-b)替換y）由ysinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)yAsin（x）（A0，0）（xR）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常見習(xí)題類型及解法1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。（1）常值代換：特別是用“1”的代換，如1=cos2+sin2=tanxcotx=tan45等。（2）項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng)：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配湊角：=（+），=等。（3）降次與升次。（4）化弦（切）法。（4）引入輔助角。asin+bcos=sin(+)，這里輔助角所在象限由

7、a、b的符號(hào)確定，角的值由tan=確定。2.證明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式進(jìn)行化名，化角，改變運(yùn)算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。（2）證明方法：綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。3.證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。4.解答三角高考題的策略。（1）發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運(yùn)算間的差異，即進(jìn)行所謂的“差異分析”。（2）尋找聯(lián)系：運(yùn)用相關(guān)公式，找出差異之間的內(nèi)在聯(lián)系。（3）合理轉(zhuǎn)化：選擇恰當(dāng)?shù)墓剑偈共町惖霓D(zhuǎn)化。四、例題分析例1已知，求（1）；（2）的值.解：（1）

8、； (2) .說明：利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過程簡化。例2求函數(shù)的值域。解：設(shè)，則原函數(shù)可化為，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)椤＠?已知函數(shù)。（1）求的最小正周期、的最大值及此時(shí)x的集合；（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。解： (1)所以的最小正周期，因?yàn)椋?，?dāng)，即時(shí)，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，只要證明對任意，有成立，因?yàn)?，所以成立，從而函?shù)的圖像關(guān)于直線對稱。例4 已知函數(shù)y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí)，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=s

9、inx(xR)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時(shí)，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時(shí)，自變量x的集合為x|x=+k,kZ（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移，得到函數(shù)y=sin(x+)的圖像；（ii）把得到的圖像上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像；（iii）把得到的

10、圖像上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像； （iv）把得到的圖像向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin(2x+)+的圖像。綜上得到y(tǒng)=cos2x+sinxcosx+1的圖像。說明：本題是2000年全國高考試題，屬中檔偏容易題，主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)。這類題一般有兩種解法：一是化成關(guān)于sinx,cosx的齊次式，降冪后最終化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一個(gè)三角函數(shù)的二次三項(xiàng)式。本題（1）還可以解法如下：當(dāng)cosx=0時(shí)，y=1；當(dāng)cosx0時(shí)，y=+1=+1化簡得：2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2

11、y3) 0,解之得：yymax=，此時(shí)對應(yīng)自變量x的值集為x|x=k+,kZ例5已知函數(shù) （）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)； （）如果ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域.解： （）由=0即即對稱中心的橫坐標(biāo)為（）由已知b2=ac 即的值域?yàn)?綜上所述， ， 值域?yàn)?. 說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對知識(shí)進(jìn)行整合的能力。例6在中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且，(1)求的值；(2)若，且a=c，求的面積。解：

12、(1)由正弦定理及，有，即，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，又，所以?2)在中，由余弦定理可得，又，所以有，所以的面積為。三角函數(shù)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)1已知點(diǎn)P（tan，cos）在第三象限，則角的終邊在 （ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2集合Mx|x，kZ與Nx|x，kZ之間的關(guān)系是 （ ）A.MNB.NM C.MN D.MN 3若將分針撥慢十分鐘，則分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是 （ ）A.60 B.60 C.30 D.30 4已知下列各角（1）787，(2)957，(3)289，(4)1711，其中在第一象限的角是 ( )A.（1）（2）

13、 B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4） 5設(shè)a0，角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3a，4a），那么sin2cos的值等于 （ ）A. B. C. D. 6若cos()，2，則sin(2)等于 （ ）A. B. C. D. 7若是第四象限角，則是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 8已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個(gè)圓心角所對的弧長是 （ ）A.2 B. C.2sin1 D.sin2 9如果sinxcosx，且0x，那么cotx的值是 （ ）A. B.或 C. D. 或 10若實(shí)數(shù)x滿足log2x2sin，則|x1|x10|的值等于 （ ）A.2x9

14、 B.92x C.11 D.9 二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)11tan300cot765的值是_. 12若2，則sincos的值是_. 13不等式（lg20)2cosx1，(x(0，)的解集為_. 14若滿足cos，則角的取值集合是_.15若cos130a，則tan50_. 16已知f(x)，若(，)，則f(cos)f(cos)可化簡為_. 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本小題滿分12分）設(shè)一扇形的周長為C(C0)，當(dāng)扇形中心角為多大時(shí)，它有最大面積？最大面積是多少？18(本小題滿分14分）設(shè)90180，角的終邊上一點(diǎn)

15、為P（x，)，且cosx，求sin與tan的值.19(本小題滿分14分)已知，sin，cos，求m的值.20(本小題滿分15分)已知045，且lg(tan)lg(sin)lg(cos)lg(cot)2lg3lg2，求cos3sin3的值.21(本小題滿分15分)已知sin(5)cos()和cos()cos()，且0，0，求和的值. 三角函數(shù)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1下列函數(shù)中，最小正周期為的偶函數(shù)是 （ ）A.ysin2x B.ycosC.ysin2xcos2xD.y 2設(shè)函數(shù)ycos(sinx)，則 （ ）A.它的定義域是1，1 B.它是偶函數(shù)C.它的值域是cos

16、1，cos1 D.它不是周期函數(shù) 3把函數(shù)ycosx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的兩倍，然后把圖象向左平移個(gè)單位.則所得圖象表示的函數(shù)的解析式為 （ ）A.y2sin2xB.y2sin2xC.y2cos(2x)D.y2cos() 4函數(shù)y2sin(3x)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是 （ ）A. B. C. D. 5若sincosm，且m1，則角所在象限是 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 6函數(shù)y|cotx|sinx（0x且x）的圖象是 （ ）7設(shè)y，則下列結(jié)論中正確的是 （ ）A.y有最大值也有最小值 B.y有最大值但無最小值C.y有最

17、小值但無最大值 D.y既無最大值又無最小值 8函數(shù)ysin（2x)的單調(diào)增區(qū)間是 （ ）A.k，k(kZ) B.k，k(kZ)C.k，k(kZ) D.k，k(kZ) 9已知0x，且a0，那么函數(shù)f(x)cos2x2asinx1的最小值是 （ ）A.2a1 B.2a1 C.2a1 D.2a 10求使函數(shù)ysin(2x)cos(2x)為奇函數(shù)，且在0，上是增函數(shù)的的一個(gè)值為 （ ）A. B. C. D. 二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）11函數(shù)y的值域是_. 12函數(shù)y的定義域是_.13如果x，y0，且滿足|sinx|2cosy2，則x_，y_.14已知函數(shù)y2cosx，x0，2

18、和y2，則它們的圖象所圍成的一個(gè)封閉的平面圖形的面積是_ 15函數(shù)ysinxcosxsin2x的值域是_. 16關(guān)于函數(shù)f(x)4sin(2x)(xR)有下列命題：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整數(shù)倍；yf(x)的表達(dá)式可改為y4cos(2x)；yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0)對稱；yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱.其中正確的命題的序號(hào)是_. 三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（本小題滿分12分）如圖為函數(shù)yAsin(x)(A0，0)的圖象的一部分，試求該函數(shù)的一個(gè)解析式.18（本小題滿分14分）已知函數(shù)y(sinxcosx)22cos2

19、x.(xR)(1)當(dāng)y取得最大值時(shí)，求自變量x的取值集合.(2)該函數(shù)圖象可由ysinx(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？19（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)(sinxcosx)（1）求它的定義域和值域；（2）求它的單調(diào)減區(qū)間；（3）判斷它的奇偶性；（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的一個(gè)周期.20（本小題滿分15分）某村欲修建一橫斷面為等腰梯形的水渠（如圖），為降低成本，必須盡量減少水與水渠壁的接觸面.若水渠橫斷面面積設(shè)計(jì)為定值 m，渠深3米，則水渠側(cè)壁的傾斜角應(yīng)為多少時(shí)，方能使修建的成本最低？21 (本小題滿分15分）已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，0)是R上的偶

20、函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（，0)對稱，且在區(qū)間0，上是單調(diào)函數(shù)，求和的值.倒數(shù)關(guān)系：tan cot=1sin csc=1cos sec=1商的關(guān)系：sin/cos=tan=sec/csccos/sin=cot=csc/sec平方關(guān)系：sin2()+cos2()=11+tan2()=sec2()1+cot2()=csc2()平常針對不同條件的常用的兩個(gè)公式sin2()+cos2()=1tan *cot =1一個(gè)特殊公式（sina+sin）*（sina-sin）=sin（a+）*sin（a-）證明：（sina+sin）*（sina-sin）=2 sin(+a)/2 cos(a-)/2 *2 cos(+

21、a)/2 sin(a-)/2=sin（a+）*sin（a-）坡度公式我們通常半坡面的鉛直高度h與水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式寫成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面與水平面的夾角記作a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.銳角三角函數(shù)公式正弦： sin =的對邊/ 的斜邊余弦：cos =的鄰邊/的斜邊正切：tan =的對邊/的鄰邊余切：cot =的鄰邊/的對邊二倍角公式正弦sin2A=2sinAcosA余弦1.Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)2.Cos2a=1-2Sin2(a)3.Cos2a=2Cos2(a)-

22、1即Cos2a=Cos2(a)-Sin2(a)=2Cos2(a)-1=1-2Sin2(a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan2(A)）三倍角公式 sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a = tan a tan(/3+a) tan(/3-a)三倍角公式推導(dǎo)sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-

23、cosa)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sina)=4sina(3/2)-sina=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos(60-a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosacosa-(3/2)2=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4c

24、osa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)現(xiàn)列出公式如下: sin2=2sincos tan2=2tan/(1-tan2() cos2=cos2()-sin2()=2cos2()-1=1-2sin2() 可別輕視這些字符,它們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)起到重要作用

25、。包括一些圖像問題和函數(shù)問題中三倍角公式sin3=3sin-4sin3()=4sinsin(/3+)sin(/3-) cos3=4cos3()-3cos=4coscos(/3+)cos(/3-) tan3=tan()*(-3+tan()2)/(-1+3*tan()2)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式sin2(/2)=(1-cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1-cos)/(1+cos) tan(/2)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin萬能公式sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)

26、/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2)其他sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA2-1) cos4A=1+(-8*cosA2+8*cosA4) tan4A=(4*tanA-4*ta

27、nA3)/(1-6*tanA2+tanA4)五倍角公式sin5A=16sinA5-20sinA3+5sinA cos5A=16cosA5-20cosA3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA2+tanA4)/(1-10*tanA2+5*tanA4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA2) cos6A=(-1+2*cosA2)*(16*cosA4-16*cosA2+1) tan6A=(-6*tanA+20*tanA3-6*tanA5)/(-1+15*tanA2-15*tanA4+tanA6)七倍角公式s

28、in7A=-(sinA*(56*sinA2-112*sinA4-7+64*sinA6) cos7A=(cosA*(56*cosA2-112*cosA4+64*cosA6-7) tan7A=tanA*(-7+35*tanA2-21*tanA4+tanA6)/(-1+21*tanA2-35*tanA4+7*tanA6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA2-1)*(-8*sinA2+8*sinA4+1) cos8A=1+(160*cosA4-256*cosA6+128*cosA8-32*cosA2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA2-7*tanA4+t

29、anA6)/(1-28*tanA2+70*tanA4-28*tanA6+tanA8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA2)*(64*sinA6-96*sinA4+36*sinA2-3) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA2)*(64*cosA6-96*cosA4+36*cosA2-3) tan9A=tanA*(9-84*tanA2+126*tanA4-36*tanA6+tanA8)/(1-36*tanA2+126*tanA4-84*tanA6+9*tanA8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA2+2*sinA-1)*(4*sinA2-

30、2*sinA-1)*(-20*sinA2+5+16*sinA4) cos10A=(-1+2*cosA2)*(256*cosA8-512*cosA6+304*cosA4-48*cosA2+1) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA2+126*tanA4-60*tanA6+5*tanA8)/(-1+45*tanA2-210*tanA4+210*tanA6-45*tanA8+tanA10)N倍角公式根據(jù)棣美弗定理，(cos+ i sin)n = cos(n)+ i sin(n) 為方便描述，令sin=s，cos=c 考慮n為正整數(shù)的情形： cos(n)+ i sin(n) = (c+

31、i s)n = C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . +C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i s)5 + . =比較兩邊的實(shí)部與虛部 實(shí)部：cos(n)=C(n,0)*cn + C(n,2)*c(n-2)*(i s)2 + C(n,4)*c(n-4)*(i s)4 + . i*(虛部)：i*sin(n)=C(n,1)*c(n-1)*(i s)1 + C(n,3)*c(n-3)*(i s)3 + C(n,5)*c(n-5)*(i

32、 s)5 + . 對所有的自然數(shù)n， 1. cos(n)： 公式中出現(xiàn)的s都是偶次方，而s2=1-c2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以c(也就是cos)表示。 2. sin(n)： (1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)： 公式中出現(xiàn)的c都是偶次方，而c2=1-s2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以s(也就是sin)表示。 (2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)： 公式中出現(xiàn)的c都是奇次方，而c2=1-s2(平方關(guān)系)，因此即使再怎么換成s，都至少會(huì)剩c(也就是 cos)的一次方無法消掉。 (例. c3=c*c2=c*(1-s2)，c5=c*(c2)2=c*(1-s2)2)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=si

33、nA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a)/2cos2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 和差化積sin+sin = 2 sin(+)/2 cos(-)/2 sin-sin = 2 cos(+)/2 sin(-)/2cos+cos = 2 cos(+)/2 cos(-)/2cos-cos = -2 sin(+)/2 sin(-)/2tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAt

34、anB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)兩角和公式tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos -cossin積化和差sinsin =-cos(+)-cos(-) /2coscos = cos(+)+cos(-)/2sincos = sin(+)+sin(-)/2cossin = sin(+)-sin(-)/2雙曲函數(shù)sh

35、a = ea-e(-a)/2ch a = ea+e(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2k+）= sincos（2k+）= costan（2k+）= tancot（2k+）= cot公式二：設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（+）= -sincos（+）= -costan（+）= tancot（+）= cot公式三：任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= -sincos（-）= costan（-）= -tancot（-）= -cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-與的

36、三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-）= sincos（-）= -costan（-）= -tancot（-）= -cot公式五：利用公式-和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2-）= -sincos（2-）= costan（2-）= -tancot（2-）= -cot公式六：/2及3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（/2+）= coscos（/2+）= -sintan（/2+）= -cotcot（/2+）= -tansin（/2-）= coscos（/2-）= sintan（/2-）= cotcot（/2-）= tansin（3/2+）= -coscos（3/2+）= sin

37、tan（3/2+）= -cotcot（3/2+）= -tansin（3/2-）= -coscos（3/2-）= -sintan（3/2-）= cotcot（3/2-）= tan(以上kZ)Asin(t+)+ Bsin(t+) =(A +B +2ABcos(-) sin t + arcsin (Asin+Bsin) / A2 +B2; +2ABcos(-) 表示根號(hào),包括中的內(nèi)容三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式）公式一sin(-) = -sincos(-) = costan (-)=-tan公式二sin(/2-) = coscos(/2-) = sin公式三 sin(/2+) = coscos(/2+

38、) = -sin公式四sin(-) = sincos(-) = -cos公式五sin(+) = -sincos(+) = -cos公式六tanA= sinA/cosAtan（/2+）=cottan（/2）=cottan（）=tantan（+）=tan誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限萬能公式sin=2tan(/2)/1+(tan(/2)cos=1-(tan(/2)/1+(tan(/2)tan=2tan(/2)/1-(tan(/2) 其它公式 (1) (sin)2+(cos)2=1（平方和公式）(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2證明下面兩式，只需將一式

39、,左右同除(sin)2，第二個(gè)除(cos)2即可(4)對于任意非直角三角形，總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證：A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=n(nZ)時(shí)，該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A

40、/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)2;+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC其他非重點(diǎn)三角函數(shù)csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)(seca)2+(csca)2=(seca)2(csca)2冪級(jí)數(shù)展開式sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)(k-1)*(x(2k-1)/(2k-1)!+。 (-x)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)k*(x(2k)/(2k)!+ (-x)arcsin x = x +

41、 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + (|x|1)arccos x = - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ) (|x|1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x1)無限公式sinx=x(1-x2/2)(1-x2/42)(1-x2/92)cosx=(1-4x2/2)(1-4x2/92)(1-4x2/252)tanx=8x1/(2-4x2)+1/(92-4x2)+1/(252-4x2)+secx=41/(2-4x2)-1/(92-4x2)+1/(252-4x2)-+(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8(

42、1/4)tan/4+(1/8)tan/8+(1/16)tan/16+=1/arctan x = x - x3/3 + x5/5 -(x1)和自變量數(shù)列求和有關(guān)的公式sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2sin(nx/2)/sin(x/2)tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+sin(2n-1)x=(sinnx)2/sinxcosx+cos3x

43、+cos5x+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)編輯本段內(nèi)容規(guī)律三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在。1三角函數(shù)本質(zhì)： 1根據(jù)右圖，有sin=y/ r; cos=x/r; tan=y/x; cot=x/y。深刻理解了這一點(diǎn)，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來，比如以推導(dǎo)sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 為例：推導(dǎo)：首先畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點(diǎn)。角AOD為，BOD為，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新AOD。A(cos,sin),B(cos，sin),A(cos(-),sin(-)OA=OA=OB=OD=1,D(1,0)cos(-)-12+sin(-)2=(cos-cos)2+(sin-sin)2和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換(a+b)/2與(a-b)/2）單位圓定義單位圓六個(gè)三角函數(shù)也可以