河北省承德市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題理【含解析】

1、河北省承德市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試題 理（含解析）一. 選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將正確答案選項(xiàng)涂在答題卡上)1.集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式可得集合A，解可得集合B，進(jìn)而得到集合A,B的并集【詳解】由題得，則有，故選D【點(diǎn)睛】本題考查求集合的并集，屬于基礎(chǔ)題2.設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】復(fù)數(shù) ，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得到，共軛復(fù)數(shù)為：故答案為D3.下列命題正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C.

2、若，則D. 若，則【答案】C【解析】【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，選出正確的答案.【詳解】A.若，則，取 不成立B.若，則，取 不成立C. 若，則，正確D. 若，則，取 不成立故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，找出反例是解題的關(guān)鍵.4.已知在中，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先，由已知條件可知，再有，這樣可用表示出【詳解】，故選C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，解題時(shí)用向量加減法表示出，然后用基底表示即可5.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知中的三視圖可得該幾

3、何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四分之三圓柱，累加各個(gè)面的面積，可得答案【詳解】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四分之三圓柱，其底面半徑為1，高為2，故其表面積：，故選【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓柱的體積和表面積，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，難度不大，屬于基礎(chǔ)題6.已知向量，則“”是為鈍角的( )A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由充分條件與必要條件的概念，以及向量的夾角公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，則，若，則，但當(dāng)時(shí)， 反向，夾角為；所以由不能推出為鈍角；反之，若為鈍角，則且，即且，能推出；因此，“”是為鈍

4、角的必要不充分條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判定，熟記概念即可，屬于常考題型.7.設(shè)是兩條不同的直線(xiàn)，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答案】A【解析】【分析】依據(jù)立體幾何有關(guān)定理及結(jié)論，逐個(gè)判斷即可【詳解】A正確：利用“垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行”及“兩條直線(xiàn)有一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面”，若且，則 ，又，所以，A正確；B錯(cuò)誤：若，則不一定垂直于平面；C錯(cuò)誤：若，則可能垂直于平面，也可能平行于平面，還可能平面內(nèi)；D錯(cuò)誤：若，則可能在平面內(nèi)，也可能平行于平面，還可能垂直于平面；【點(diǎn)睛】本題主要考查立體

5、幾何中的定理和結(jié)論，意在考查學(xué)生幾何定理掌握熟練程度8.已知ABC的周長(zhǎng)為20，且頂點(diǎn)B （0，4），C （0，4），則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）A. （x0）B. （x0）C. （x0）D. （x0）【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)和定點(diǎn)，得到點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，得到點(diǎn)A的軌跡是橢圓，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，寫(xiě)出橢圓的方程，去掉不合題意的點(diǎn)【詳解】解：ABC的周長(zhǎng)為20，頂點(diǎn)B （0，4），C （0，4），BC8，AB+AC20812，128點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，點(diǎn)A的軌跡是橢圓，a6，c4b220，橢圓的方程是故選B【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，注意橢圓的定義中要

6、檢驗(yàn)兩個(gè)線(xiàn)段的大小，看能不能構(gòu)成橢圓，本題是一個(gè)易錯(cuò)題，容易忽略掉不合題意的點(diǎn)9.斜率為2的直線(xiàn)l過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別相交，則雙曲線(xiàn)的離心率e的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)已知直線(xiàn)的斜率，求出漸近線(xiàn)的斜率范圍，推出的關(guān)系，然后求出離心率的范圍【詳解】雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的斜率為，結(jié)合圖形分析可知，若小于或等于2，則直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一支相交或沒(méi)有交點(diǎn)，不合題意；所以必大于2，即，解得雙曲線(xiàn)的離心率，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線(xiàn)的離心率范圍，屬于中檔題.求離心率范圍問(wèn)題，應(yīng)先將 用有關(guān)的一些量表示出來(lái)，再

7、利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的取值范圍.10.試在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)，使其到焦點(diǎn)的距離與到的距離之和最小，則該點(diǎn)坐標(biāo)為A. B. C. D. 【答案】A【解析】由題意得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)，由定義可得,所以，由圖形可得，當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，此時(shí)故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，所以橫坐標(biāo)即點(diǎn)P的坐標(biāo)為選A點(diǎn)睛：與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略該類(lèi)問(wèn)題一般解法是利用拋物線(xiàn)的定義，實(shí)現(xiàn)由點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的轉(zhuǎn)化(1)將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，使問(wèn)題得解；(2)將拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，利用“與直線(xiàn)上

8、所有點(diǎn)的連線(xiàn)中的垂線(xiàn)段最短”解決11.若函數(shù)在上的最大值為，則的值為()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】對(duì)于函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分類(lèi)討論，求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解【詳解】由題意，函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，解得，不合題意；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，所以最大值為，不成立；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)最大值為，解得，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用求解函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，合理分類(lèi)討論求得函數(shù)的最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題12.如圖，設(shè)橢圓右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，B為橢圓在第

9、二象限上的點(diǎn)，直線(xiàn)BO交橢圓于C點(diǎn)，若直線(xiàn)BF平分線(xiàn)段AC于M，則橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M，連接OM，則OM為ABC的中位線(xiàn)，可得OFAAFB，且，即可得出e【詳解】如圖，設(shè)中點(diǎn)為，連接，則為的中位線(xiàn)，于是，且，即，可得故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理、相似三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.已知是定義域R上的奇函數(shù),周期為4,且當(dāng)時(shí),則_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的周期性可得f（31）f（-1

10、），結(jié)合奇偶性可得f（-1）-f（1），進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的解析式計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，yf（x）的周期為4，則f（31）f（-1）又由f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f（-1）-f（1），若當(dāng)x0，1時(shí)，則f（1）1則1；故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的求值，屬于基礎(chǔ)題14.設(shè)函數(shù)為參數(shù)，且的部分圖象如圖所示，則的值為_(kāi).【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象首先求得最小正周期，從而解得；代入可得到，結(jié)合即可求得結(jié)果.【詳解】由圖象可得最小正周期：，即 又 ，又 本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)圖象求解函數(shù)解析式的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)整體對(duì)應(yīng)的方式

11、確定最值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，從而得到初相的取值.15.若x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)【答案】10【解析】【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，利用線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)求解【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下：作出直線(xiàn)，當(dāng)直線(xiàn)往下平移時(shí)，變大，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用線(xiàn)性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值知識(shí)，考查作圖及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題16.在數(shù)列中，則的值為_(kāi)【答案】1【解析】【分析】由，可得，利用“累加法”可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗裕?各式相加，可得，所以，故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)，屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)常見(jiàn)思路為：（1）項(xiàng)的序號(hào)較小時(shí)，逐步遞推求

12、出即可；（2）項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列；（3）將遞推關(guān)系變形，利用累加法、累乘法以及構(gòu)造新數(shù)列法求解.三、解答題：(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.在銳角中，角，的對(duì)邊分別為，若.（1)求角；（2）若，則周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用切化成弦和余弦定理對(duì)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得角的正弦值；（2）利用成正弦定理把邊化成角，從而實(shí)現(xiàn)的周長(zhǎng)用角B的三角函數(shù)進(jìn)行表示，即周長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角形中角，求得函數(shù)值域.【詳解】（1）由，得到，又，所以.（2），設(shè)周長(zhǎng)為，由正弦定理知，由合分比定理知，即，即.又因

13、為為銳角三角形，所以.，周長(zhǎng).【點(diǎn)睛】對(duì)運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，首先要明確變化的量是什么？或者選定什么量為變量？然后，利用函數(shù)與方程思想，把所求的目標(biāo)表示成關(guān)于變量的函數(shù)，再研究函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行問(wèn)題求解.18.已知數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）將式子合理變形，即可化成，從而證明是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，并利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式.（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式是由等比數(shù)列與等差數(shù)列通項(xiàng)公式乘積得到，即可判斷其可運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解前n項(xiàng)和.【詳解】（）證明：由題意可得： ，則，又故是以首項(xiàng)為2，公比為

14、2等比數(shù)列，所以，故（2）由（1）知 【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的證明，以及錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，屬于中檔題.對(duì)于等比數(shù)列的證明主要有兩種方法：（1）定義法，證得即可，其中為常數(shù)；（2）等比中項(xiàng)法：證得即可.19.如圖，已知點(diǎn)H在正方體的對(duì)角線(xiàn)上，HDA=（1）求DH與所成角的大??；（2）求DH與平面所成角的正弦值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)H（m，m，1）（m0），求出、，利用向量的夾角公式可求DH與CC所成角的大??；（2）求出平面A1BD的法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論【詳解】（1）以為原點(diǎn)，射線(xiàn)為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)H（m，m，1）

15、（m0），則（1，0，0），（0，0，1），連接BD，B1D1則（m，m，1）（m0），由已知，60，可得2m，解得m，（，1），cos，45，即DH與CC所成角的大小為45；（2）設(shè)平面的法向量為則，令得是平面的一個(gè)法向量，設(shè)DH與平面所成的角為所以【點(diǎn)睛】本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查空間角，正確運(yùn)用向量的夾角公式是關(guān)鍵.20.已知橢圓的離心率為，過(guò)頂點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上且滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的斜率的值.【答案】(1);（2）.【解析】【詳解】(1)因?yàn)閑=,b=1,所以a=2,故橢圓方程為. 4分(2)設(shè)l的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2

16、,y2),M(m,n).聯(lián)立，解得 (1+4k2)x2+8kx=0，因?yàn)橹本€(xiàn)l與橢圓C相交于兩點(diǎn)，所以=(8k)20,所以x1+x2=，x1x2=0，點(diǎn)M在橢圓上，則m2+4n2=4,化簡(jiǎn)得x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0, 4k()+4=0,解得k=.故直線(xiàn)l的斜率k=.21.已知函數(shù)f（x）=x2-（a+1）x+alnx+1（）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的極大值；（）求a的范圍，使得f（x）1恒成立【答案】（）極大值為；（）【解析】【分析】（）由于x=3是f（x）的極值點(diǎn)，則f（3）=0求出a

17、，進(jìn)而求出f（x）0得到函數(shù)的增區(qū)間，求出f（x）0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的極大值；（）由于f（x）1恒成立，即x0時(shí)，恒成立，設(shè)，求得其導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論參數(shù)a，得到函數(shù)g（x）的最小值大于等于0，即可得到a的范圍【詳解】解：（）x=3是f（x）的極值點(diǎn)，解得a=3當(dāng)a=3時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，x（0，1）1（1，3）3（3，+）f（x）+0-0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增f（x）的極大值為；（）要使得f（x）1恒成立，即x0時(shí)，恒成立，設(shè)，則，（）當(dāng)a0時(shí)，由g（x）0得單減區(qū)間為（0，1），由g（x）0得單增區(qū)間為（1，+），故，得；（ii）當(dāng)0a1時(shí)，由g（x）0得單減區(qū)間為（a

18、，1），由g（x）0得單增區(qū)間為（0，a），（1，+），此時(shí)，不合題意；（iii）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+）上單增，不合題意；（iv）當(dāng)a1時(shí)，由g（x）0得單減區(qū)間為（1，a），由g（x）0得單增區(qū)間為（0，1），（a，+），此時(shí)，不合題意綜上所述：時(shí)，f（x）1恒成立【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件考查考生的運(yùn)算、推導(dǎo)、判斷能力22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為（1）求直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程與曲線(xiàn)C的普通方程；（2）若N是曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn)，P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線(xiàn)的距離的最大值【答案】（1）,