高一數(shù)學(xué)點(diǎn)到直線的距離

1、點(diǎn)到直線的距離教學(xué)設(shè)計(jì) 杭州四中 邸士榮 一內(nèi)容和內(nèi)容解析“點(diǎn)到直線的距離”是新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修2第三章第3節(jié)“直線的交點(diǎn)與距離公式”中的重要知識(shí)點(diǎn)。教材按照“提出問題（如何求點(diǎn)到直線的距離）、解決問題（推導(dǎo)公式）、應(yīng)用公式”的線索展開研究，既是直線方程應(yīng)用的延續(xù)，又是坐標(biāo)法這一核心知識(shí)的發(fā)展，同時(shí)還是充分展現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問題優(yōu)越性的載體。作為直線方程的一個(gè)應(yīng)用，公式的推導(dǎo)過程蘊(yùn)涵了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合，分類討論，屬于具有較高思維價(jià)值和探究價(jià)值的教學(xué)內(nèi)容。同時(shí)，該公式還將在學(xué)生今后的代數(shù)、立體幾何及圓錐曲線學(xué)習(xí)過程中，作為解析幾何的一個(gè)重要工具廣泛用之于問題的求解過程當(dāng)中，

2、因此，該內(nèi)容又具有很大的應(yīng)用價(jià)值。不僅如此，該內(nèi)容還是剛剛學(xué)過的兩直線交點(diǎn)及兩點(diǎn)間距離公式的用武之地。就內(nèi)容本身來說，作為公式的學(xué)習(xí)與應(yīng)用又是引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用平面幾何知識(shí)、強(qiáng)化直線方程的建立過程的好素材。因此，這是一節(jié)具有承上啟下、繼往開來作用的一個(gè)重要基礎(chǔ)內(nèi)容，是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)研究解析幾何的重要工具。二重、難點(diǎn)及教學(xué)目標(biāo)解析本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)積累了兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、斜率、直線方程的各種形式，兩直線間位置關(guān)系判斷的依據(jù)等知識(shí)，并且經(jīng)歷了建立這些公式、解決這些問題的過程，積累了一定的用坐標(biāo)法思想解決問題的經(jīng)驗(yàn)與各種具體方法的前提下來探究點(diǎn)到直線的距離公式的。學(xué)生要經(jīng)歷從平面幾何的定性作

3、圖過渡到高中解析幾何的定量計(jì)算這樣一個(gè)認(rèn)識(shí)過程，其學(xué)習(xí)平臺(tái)是學(xué)生已經(jīng)掌握了直線的傾角、斜率、直線的位置關(guān)系、直線方程、兩直線的交點(diǎn)等相關(guān)知識(shí)。因此，這節(jié)課既是問題教學(xué)，又是公式教學(xué)。要著力解決的問題是如何在已知點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程的情況下求的點(diǎn)到直線的距離。為此:教學(xué)重點(diǎn)：公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：公式的推導(dǎo)。教學(xué)關(guān)鍵：怎樣發(fā)現(xiàn)并理出推導(dǎo)公式的思路。根據(jù)本節(jié)課在教材中所處的地位和作用，結(jié)合本節(jié)知識(shí)容量，將這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：知識(shí)培養(yǎng)目標(biāo)：在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上，理解推導(dǎo)方法，掌握公式特點(diǎn)，學(xué)會(huì)公式的運(yùn)用，領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)涵在公式推導(dǎo)及范例解決過程中的數(shù)學(xué)思想與方法。情感教育目標(biāo)：讓學(xué)生在問題的探

4、究與解決中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力，感受解決問題的愉悅，有效培養(yǎng)勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力資源，培養(yǎng)其良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。能力培養(yǎng)目標(biāo)：讓學(xué)生在對教學(xué)過程的充分參與中，體會(huì)由特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法，從而有效培養(yǎng)學(xué)生分析、探究能力、靈活運(yùn)用公式能力及用解析法分析解決問題的能力。通過問題的多解教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維品質(zhì)。 三教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課有兩個(gè)難點(diǎn)需要加以突破：一是公式推導(dǎo)的思路的發(fā)現(xiàn)。畢竟學(xué)生對坐標(biāo)法接觸時(shí)間不長，知識(shí)的遷移與靈活運(yùn)用水平還十分有限，教師必須著力精心創(chuàng)設(shè)良好的思維情景才能讓學(xué)生在“憤”“悱”狀態(tài)下發(fā)現(xiàn)問題解決的思路；二是找到求解思

5、路后，推導(dǎo)公式需要進(jìn)行較為煩瑣的運(yùn)算和化簡過程，這一過程是學(xué)生的知識(shí)、能力、意志品質(zhì)等得以發(fā)展的過程，同時(shí)又是耗時(shí)費(fèi)力的過程。而運(yùn)算化簡能力又往往是學(xué)生的弱項(xiàng)。時(shí)間運(yùn)用上的矛盾，思維品質(zhì)上的欠缺，都需要教者在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)認(rèn)真考慮，合理取舍，作出精心安排。四教學(xué)支持條件分析 新課程理念的新穎與超前，坐標(biāo)法處理問題的簡潔明快，現(xiàn)代多媒體教學(xué)手段的運(yùn)用，數(shù)學(xué)核心概念與方法的突出可以讓我們在短短的四十分鐘內(nèi)演繹出一幕精彩的教學(xué)活劇來。而以下諸多條件有利于本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)施與完成。1作為兩直線的位置關(guān)系的最后一個(gè)內(nèi)容，在這之前學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了直線方程的各種形式，有了對兩直線位置關(guān)系的定性認(rèn)識(shí)和對兩直線相

6、交的定量認(rèn)識(shí)，特別是兩點(diǎn)間距離公式及直線方程的學(xué)習(xí)已經(jīng)為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好了知識(shí)和方法上的準(zhǔn)備。同時(shí)，學(xué)生對解析幾何的的實(shí)質(zhì)中，用坐標(biāo)系溝通直線與方程的研究辦法有了初步的認(rèn)識(shí)，數(shù)形結(jié)合的思想正逐步趨于成熟。對杭四中的學(xué)生來說，基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)該比較扎實(shí)，思維比較活躍。2又見到：“點(diǎn)到直線的距離”（初中已經(jīng)學(xué)習(xí)并定義），學(xué)生會(huì)產(chǎn)生“似曾相識(shí)燕歸來”之感：既熟悉又陌生，既困惑又好奇，探學(xué)尋動(dòng)機(jī)由此產(chǎn)生。學(xué)生通過前一段時(shí)間的學(xué)習(xí)尤其用斜率對兩直線方程位置關(guān)系的判斷已經(jīng)初步感悟到坐標(biāo)法研究幾何問題的優(yōu)越性，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣比較濃厚。3數(shù)學(xué)源于生活，生活中的點(diǎn)線距隨處可見，這將為學(xué)生學(xué)習(xí)探究本節(jié)內(nèi)容提供感性支持。

7、五教學(xué)策略與手段 1根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況、認(rèn)知特點(diǎn)，采取問題教學(xué)法模式。從學(xué)生熟知的簡單問題出發(fā)，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂方式，引導(dǎo)學(xué)生探索點(diǎn)到直線的距離的求法。讓學(xué)生在師生互動(dòng)、合作交流、共同探討的氛圍中，理解公式推導(dǎo)的過程及知識(shí)應(yīng)用，進(jìn)一步提高學(xué)生把幾何問題代數(shù)化的數(shù)學(xué)能力。 2采取現(xiàn)代化的教學(xué)手段，增大教學(xué)的容量和直觀性，有效提升教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量。 3以反饋調(diào)空為手段，力求反饋的全面性（優(yōu)、中、差）與實(shí)效性（及時(shí)、中肯）。 4教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、準(zhǔn)備課件，搜集資料。六教學(xué)過程設(shè)計(jì)1舊知鋪墊，引入新課問題1。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面上兩點(diǎn)之間的距離公式。這個(gè)公式的形式是怎樣

8、的？它是怎樣推導(dǎo)的？如何用？用該公式求距離與以往的方法有哪些不同？ 公式是用構(gòu)造直角三角形的方法結(jié)合勾股定理導(dǎo)出的。知道坐標(biāo)直接代入。設(shè)計(jì)意圖：一為推導(dǎo)公式（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距）打伏筆，二為新知識(shí)提供一個(gè)“最近發(fā)現(xiàn)區(qū)”三為學(xué)生提供一個(gè)知識(shí)生長點(diǎn)，四是點(diǎn)出這部分內(nèi)容涉及到的核心方法坐標(biāo)法。問題2。距離是幾何中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。你認(rèn)為，除兩點(diǎn)間的距離外，解析幾何中還應(yīng)該有哪些距離？ 學(xué)生思考后回答：點(diǎn)到直線的距離，平行直線之間的距離。從而引出本節(jié)課題。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，讓學(xué)生在對教學(xué)活動(dòng)的參與中引出本節(jié)課要研究的新課題，教自然地導(dǎo)入新課。2創(chuàng)設(shè)情景，知識(shí)發(fā)展。 問題3。平面幾何中，點(diǎn)

9、到直線的距離是怎樣定義？設(shè)計(jì)意圖：通過回憶初中對點(diǎn)到直線距離的定性作圖，新舊聯(lián)系，以舊引新，為距離的定量描述做好鋪墊。問題4。解析幾何中，你認(rèn)為要求得點(diǎn)到直線的距離，需要擁有哪些條件？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感悟解析法的特點(diǎn)，進(jìn)一步知曉用代數(shù)方法研究幾何問題的手段與方法。問題5。如何在知道點(diǎn)P坐標(biāo)和直線方程的情況下求得P到該直線的距離？情形1。點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離。情形2點(diǎn)到與坐標(biāo)軸平行的直線之間的距離情形3。點(diǎn)（1，1）到直線 的距離設(shè)計(jì)意圖：從簡單問題入手，讓學(xué)生能沿著教師設(shè)置的高而可攀的梯子拾級(jí)而上，在由特殊到一般、由抽象到具體的思維活動(dòng)過程中提出問題，并逐步解決問題。問題6。上面問題的問題都很特殊

10、，你能由此提出一個(gè)更據(jù)一般性和挑戰(zhàn)性的問題嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：把提問的主動(dòng)權(quán)也交給學(xué)生，讓學(xué)生提出下面問題：已知點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線之間的距離。教師引導(dǎo)：這是本節(jié)課我們要徹底解決的核心問題。我們不能總用最原始的方法解決問題。怎么辦？推導(dǎo)公式。問題7。求直線的斜率，我們應(yīng)該考慮哪些情況？相應(yīng)的，所要求的距離應(yīng)該怎樣具體地求出來？1 讓學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)思路。2 教師點(diǎn)撥，總結(jié)思路設(shè)計(jì)意圖：發(fā)揮教師在教學(xué)中的主導(dǎo)作用，問題8。上面的推導(dǎo)方法清晰自然，大家都能想得到，但有點(diǎn)繁。有別的處理方法嗎？設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生探索的主動(dòng)權(quán)，給學(xué)生在公式推導(dǎo)中自主創(chuàng)新的機(jī)會(huì)。用直角三角形中的等面積法來求。解：設(shè)，則與軸、軸都相交

11、。如圖，過點(diǎn)分別作兩坐標(biāo)軸的平行線交于R，S，則直線PR的方程為，R直線PS的方程為 ， S那么 由得 問題9。該公式推導(dǎo)中用到數(shù)學(xué)方法了嗎？如果有，涉及到哪些？ 讓學(xué)生感悟到：公式推導(dǎo)過程中不僅用到了化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等十分重要的數(shù)學(xué)思想，還蘊(yùn)涵著探索與創(chuàng)造，這使我們能感覺到數(shù)學(xué)的生機(jī)與樂趣。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的高度來認(rèn)識(shí)所參與的數(shù)學(xué)活動(dòng)，可以使思維層次提升到一個(gè)新的高度。問題10。公式有哪些結(jié)構(gòu)特征？公式在或者時(shí)還成立嗎？ 公式的分子：保留直線方程一般式的風(fēng)格，充分表明公式與直線方程有關(guān)。 公式的分母：有點(diǎn)距離公式的味道。 象其他我們學(xué)過的一些公式一樣，公式簡潔明了，給

12、我們一種端莊秀麗的美感。 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生快速記住公式，同時(shí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美。3范例選講，知識(shí)應(yīng)用問題11。求點(diǎn)P（-1，2）到直線之間的距離。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在剛剛學(xué)習(xí)新知后運(yùn)用新知，同時(shí)進(jìn)一步了解公式的適應(yīng)范圍。變式一。求點(diǎn)P（-1，2）到直線之間的距離。變式二。求點(diǎn)P（1，1）到直線之間的距離。設(shè)計(jì)意圖：（1）熟練掌握公式的用法。 （2）通過（3）讓學(xué)生既能體會(huì)到公式適用的更廣范圍，又讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一種判定點(diǎn)是否在直線上的新方法，同時(shí)也為判斷三點(diǎn)共線問題拓展思路。問題12。已知點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求的面積 師生活動(dòng)：（1）怎樣求三角形面積？需要具備那些條件？ （2）你能否設(shè)計(jì)該問題的一個(gè)求解方案？ （3）如何實(shí)施求解方案？有別的解法嗎？ 解法1。求底、求高解決。 解法2。割補(bǔ)法處理解法3。用余弦定理求內(nèi)角，然后用解決解法4。向量法處