高中數(shù)學(xué)講義-極坐標(biāo)與參數(shù)方程

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程一、教學(xué)目標(biāo) 本次課是一堂新課，通過(guò)本次課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生理解極坐標(biāo)和參數(shù)方程的概念等基礎(chǔ)知識(shí)，掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化，掌握一般常見曲線和直線的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程。深刻理解參數(shù)方程所代表的數(shù)學(xué)思想換元思想。2、 考綱解讀極坐標(biāo)和參數(shù)方程是新課標(biāo)考綱里的選考內(nèi)容之一，只有理科生選學(xué)。在每年的高考試卷中，極坐標(biāo)和參數(shù)方程都是放在一道填空題中，與平面幾何作為二選一的考題出現(xiàn)的。由于極坐標(biāo)是新添的內(nèi)容，考綱要求比較簡(jiǎn)單，所以在考試中一般以基礎(chǔ)題出現(xiàn)，不會(huì)有很難的題目。三、知識(shí)點(diǎn)回顧（一）曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)，

2、即并且對(duì)于t每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù)（二）常見曲線的參數(shù)方程如下：1過(guò)定點(diǎn)（x0，y0），傾角為的直線：（t為參數(shù)）其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P（x0，y0）為起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于t點(diǎn)M（x，y）為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論設(shè)A、B是直線上任意兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于2中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：（為參數(shù)）3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的橢圓：（為參數(shù)）（或）中心在點(diǎn)（x0,y

3、0）焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程4中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸（或y軸）上的雙曲線：（為參數(shù)）（或）5頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線：（t為參數(shù)，p0）直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過(guò)定點(diǎn)P（x0，y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）（三）極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個(gè)長(zhǎng)度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?。?duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長(zhǎng)度，表示從Ox到OM的角，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì)(, )就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。2、極坐標(biāo)有四個(gè)要素：極點(diǎn)；極軸；長(zhǎng)度單位

4、；角度單位及它的方向極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)應(yīng)惟一點(diǎn)P(，)，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)不惟一一個(gè)點(diǎn)可以有無(wú)數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P(，)（極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(,)或（，），(Z)極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意取若對(duì)、的取值范圍加以限制則除極點(diǎn)外，平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一了，如限定0，0或0,則下列極坐標(biāo)方程中，表示直線的是（ ）。 （A）= （B）cos= (0) （C）tg=1 （D）sin=1(0)（5） 若點(diǎn)A(4, )與B關(guān)于直線=對(duì)稱，在0, 條件下，B的極坐標(biāo)是 。（6）直線cos()=1與極軸所成的角是 。（7）

5、直線cos()=1與直線sin()=1的位置關(guān)系是 。（8）直線y=kx1 (k0且k)與曲線2sinsin20的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）。 （A）0 （B）1 （C）2 （D）325、討論下列問(wèn)題；（1）圓的半徑是1，圓心的極坐標(biāo)是(1, 0)，則這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程是（ ）。 （A）cos （B）sin （C）2cos （D）2sin（2）極坐標(biāo)方程分別是cos和sin的兩個(gè)圓的圓心距是（ ）。 （A）2 （B） （C）1 （D）（3）在極坐標(biāo)系中和圓=4sin相切的一條直線方程是（ ） （A）sin=2 （B）cos=2 （C）sin=4 （D）cos=4（4）圓DcosEsin與極軸相切的充

6、分必要條件是（ ） （A）DE0 （B）D2E20 （C）D0，E0 （D）D0，E0（5）圓2sin2cos的圓心的極坐標(biāo)為 。（6） 若圓的極坐標(biāo)方程為=6cos，則這個(gè)圓的面積是 。（7）若圓的極坐標(biāo)方程為=4sin，則這個(gè)圓的直角坐標(biāo)方程為 。（8）設(shè)有半徑為4的圓，它在極坐標(biāo)系內(nèi)的圓心的極坐標(biāo)為(4, 0)，則這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程為 。26、當(dāng)a、b、c滿足什么條件時(shí)，直線與圓相切？27、試把極坐標(biāo)方程 化為直角坐標(biāo)方程，并就m值的變化討論曲線的形狀。28、過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F且傾角為的弦長(zhǎng)|AB|，并證明：為常數(shù)學(xué)。29、設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左、右端點(diǎn)分別為A、A,過(guò)F1作一條長(zhǎng)度等于橢圓短軸長(zhǎng)的弦MN,設(shè)MN