雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：1掌握雙曲線的定義，能說(shuō)出其焦點(diǎn)、焦距的意義；2能根據(jù)定義，按照求曲線方程的步驟推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握兩類標(biāo) 準(zhǔn)方程；3能解決較簡(jiǎn)單的求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題；4 培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和邏輯推理能力。教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程。教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情景，弓I入新課：師：我們先來(lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題：（打開幾何畫板）已知定點(diǎn)Fi（ 1,0）和F2（1,0），定圓Ci的圓心為Fi , 且半徑為r，動(dòng)圓C2過(guò)定點(diǎn)F2，且與定圓相切。（1 ）若r 4，試求動(dòng)圓圓心的軌跡；（2）若r 1,試求動(dòng)圓圓心的軌跡。（教師結(jié)

2、合幾何畫板演示分析）：師：當(dāng)r 4時(shí)，我們得到的軌跡是什么生：是橢圓。是：為什么生：因?yàn)楫?dāng)r 4時(shí)動(dòng)圓C2內(nèi)切于定圓Ci，所以兩個(gè)圓的圓心距 MFi滿足MFi 4 MF2，移項(xiàng)后可以得到：MFi| MF? 4滿足橢圓的定義，所以得到的軌跡是一個(gè)以Fi、F2為定點(diǎn)，4為定長(zhǎng)的橢圓。師：很好。那么，當(dāng)r I呢，此時(shí)動(dòng)圓C2與定圓Ci相切有幾種情況生：有兩種情況：內(nèi)切和外切。師：我們先來(lái)考察兩圓外切時(shí)的情況（演示），我們得到的軌跡滿足什么條件生（同時(shí)教師板書）：由于兩圓外切，所以兩個(gè)圓的圓心距MFi滿足MFi i MF2，移項(xiàng)后可以得到：MFi| |MF2 I。（教師演示軌跡）師：我們?cè)賮?lái)考察兩圓內(nèi)

3、切時(shí)的情況（演示），我們得到的軌跡又滿足什么條件生（同時(shí)教師板書）：由于兩圓內(nèi)切，所以兩個(gè)圓的圓心距MFi滿足MFi| |MF2 I，移項(xiàng)后可以得到：MFi| |MF2I。（教師演示軌跡）師（同時(shí)演示兩種情況下的軌跡）：我們可以得到與定圓相切且過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心滿足|MFi| IMF2II即|MFi MF2II I，圓心的軌跡我們稱之為雙曲線。二、新課講解：1、定義給出師：今天我們來(lái)學(xué)習(xí)雙曲線。同學(xué)們能否結(jié)合剛才的問(wèn)題給雙曲線下個(gè)一般定義生：雙曲線是到平面上兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。師：由橢圓的定義，一般情

4、況下，我們?cè)O(shè)該常數(shù)為2a。那么什么情況下表示的是雙曲線的右支，什么情況下表示的是雙曲線的左支生：當(dāng)MF/ |MF2 2a時(shí)，表示的是雙曲線的右支，當(dāng)MFMF?2a時(shí)，表示的是雙曲線的左支。2、定義探究（教師引導(dǎo)學(xué)生分情況討論）：師：這個(gè)常數(shù)2a有沒(méi)有限制條件生：有。這個(gè)常數(shù) 2a要比焦距Fi F2小。師：很好。為什么要有這個(gè)限制條件呢其他情況會(huì)是怎樣的呢我們一起來(lái)分析一下：（1） 若a=0,則有MFi| |MF2 0即MFi| MF?，此時(shí)軌跡為線段 F1F2的中垂線；（2）若2a=F1F2,則有MFi|MF2|FiF2，此時(shí)軌跡為直線FiF?上除去線段FiF?中間部分，以Fi、F2為端點(diǎn)的兩

5、條射線；（3）若2a FiF2 ,則根據(jù)三角形的性質(zhì)，軌跡不存在。3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程：師：我們學(xué)過(guò)求曲線的方程的一般步驟，現(xiàn)在我們一起根據(jù)定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（師生互動(dòng)，共同推導(dǎo)之）第一步：建立直角坐標(biāo)系；第二步：設(shè)點(diǎn)：設(shè) M（x，y）,2a；第三步：?jiǎn)l(fā)學(xué)生根據(jù)定義寫出焦點(diǎn)分別為Fi（ c,0）和F2（c,0），M到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于P M MFi第四步：建立方程:第五步：化簡(jiǎn)，得到MF2m點(diǎn)的軌跡構(gòu)成的點(diǎn)集:2a ；(Xa22c）2y_b2i(a.(x c)2 y2 2a ；0,b0)教師強(qiáng)調(diào)：我們得到了焦點(diǎn)在2 2務(wù)與 i（a 0,b 0），這里c a2 b2師：那么

6、如果焦點(diǎn)在 y軸上呢（學(xué)生練習(xí)）2生（練習(xí)后）：此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該是 每a2x軸上，且焦點(diǎn)是Fi（ c,0）和F2（c,0）的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為a2b2i(a 0,b0)。4 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的探討：師：剛才我們共同推導(dǎo)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。請(qǐng)同學(xué)想一下，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中字母a、b、c的關(guān)系如何是不是a b生：a、b、c滿足等式c2 a2 b2，所以有a2 c2 b2，可以得到a,b c ,但不能判斷a b。師：很好。我們?cè)谇箅p曲線標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)程中還發(fā)現(xiàn)，確定焦點(diǎn)對(duì)求雙曲線方程很重要。那么如何根 據(jù)方程判定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上呢i，我們發(fā)現(xiàn)焦點(diǎn)所在軸相x2 y2y2 x2生：由于焦點(diǎn)在 x軸和y軸上標(biāo)準(zhǔn)

7、方程分別為 2 i和22abab關(guān)的未知數(shù)的分母總是 a,所以可以由a來(lái)判定。2 2師：很好。如果我們知道的方程是i，那么你如何尋找 a32生：因?yàn)閍所在的這一項(xiàng)未知數(shù)的系數(shù)是正的，所以只要找正的系數(shù)就可以了。2 2師：如果方程是-y i呢32生：先化成標(biāo)準(zhǔn)方程。師：請(qǐng)同學(xué)總結(jié)一下。生：化標(biāo)準(zhǔn)，找正號(hào)。5.運(yùn)用新知：2 2【練習(xí)】已知方程 i表示雙曲線，則 m的取值范圍是 ，此時(shí)9 m i雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ，焦距是；【變式】若將9改成2 m，則m的取值范圍是 ?！纠齣】已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為Fi（ 5,0）、F2 （5,0），雙曲線上一點(diǎn) P到Fi、F2的距離的差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線

8、的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)再 x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為22x y2 牙 1(a0,b0)，a bc=5。因?yàn)?2a=6, 2c=10，所以 a=3, 所以 b2523216，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 y16【變式】已知兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為F1 ( 5,0)、等于6，求P點(diǎn)的軌跡方程。解：因?yàn)镻F1y22x9F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P到F1、F2的距離的差PF26，所以P的軌跡是雙曲線 的右支，設(shè)雙 曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為2X2 a因?yàn)樗詁r 1(a 0,b b22a=6， 2c=10，252320)，所以 a=3， c=5。16，2 y16x2所以所求P點(diǎn)的軌跡方程為9【例2】已知雙曲線的焦點(diǎn)

9、在 y軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為-9(3, 4展)、(,5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。4解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2 22 1(a 0,b 0)，a2 b2因?yàn)辄c(diǎn)R、(4.2)21(x 3)。25a2P2在雙曲線上，所以點(diǎn)M 1 b29 2可解得：4產(chǎn)12 ab2Pi、P2的坐標(biāo)適合方程，代入得:16。2 y162x 彳1。9【變式】已知雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)所以所求雙曲線得標(biāo)準(zhǔn)方程為:Pi、P2的坐標(biāo)分別為(3, 4.2)(-,5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。(分情況討論)4【練習(xí)】(1) ABC 邊兩個(gè)端點(diǎn)是 B(0,6)和C(0, 6)，頂點(diǎn)A滿足 AB AC 8，求A的軌跡方程。-，求頂9(2) ABC 一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是 B(0,6)和C(0, 6)，另兩邊所在直線的斜率之積是 點(diǎn)A的軌跡。三、本課小結(jié)：師：我們總結(jié)一下本節(jié)課我們學(xué)了什