全國青年教師觀摩大賽數(shù)學賽課一等獎作品：《任意角的三角函數(shù)》教案

1、參加全國課堂教學比賽教案2008-8-20 數(shù)學必修4第一章三角函數(shù)課題：1.2.1 任意角的三角函數(shù)“有一種觀點嚴重威脅著科學的生命：數(shù)學是一門不知所云的學科，它只是從定義和公理出發(fā)推導出來的一系列結(jié)論，而這些公理除了必須相互一致外，完全出自數(shù)學家心靈的自由創(chuàng)造。如果這種說法正確的話，那么數(shù)學就不可能吸引任何一個有智慧的人，它將是定義、法則和三段論的游戲，既無動力也無目的?！闭訰.柯朗數(shù)學是什么在準備這節(jié)課時恰好讀到R.柯朗寫的這段話，頗有感觸，這也是作出以下教學設(shè)計的一個重要原因。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，在數(shù)學和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。本

2、章中，學生將在數(shù)學1中學習函數(shù)概念與基本初等函數(shù)的基礎(chǔ)上，學習三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，這是學生在高中階段學習的最后一個基本初等函數(shù)。與以往的三角函數(shù)內(nèi)容相比較，本章加強了三角函數(shù)作為刻畫現(xiàn)實世界的數(shù)學模型，借助單位圓理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及通過建立三角函數(shù)模型解決實際問題等。本節(jié)課是在學習完“任意角和弧度制”后的一節(jié)新授課任意角的三角函數(shù)，內(nèi)容雖然屬于“傳統(tǒng)內(nèi)容”，但為了更好地突出“三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學模型”這一本質(zhì)，教材通過現(xiàn)實世界的周期現(xiàn)象，在學生感受引入三角函數(shù)必要性的基礎(chǔ)上，引出三角函數(shù)概念，特別強調(diào)了單位圓的直觀作用，用單位圓上點的坐標定義正弦函數(shù)，余弦函數(shù)，這樣可以使

3、學生在三角函數(shù)學習之初就能感受到單位圓的重要性，同時為后續(xù)借助單位圓的直觀討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定堅實的基礎(chǔ)，刪減了任意角的余切、正割、余割概念的學習。任意角三角函數(shù)這個概念是全章的一個承前啟后的核心內(nèi)容，它的地位和作用、及與其他知識內(nèi)容的聯(lián)系、與其他相關(guān)學科的聯(lián)系，可以從下面的知識結(jié)構(gòu)圖中得到很好反映。地位、作用和聯(lián)系：任意角弧度制初中：銳角三角函數(shù)、相似三角形、圓單位圓三角函數(shù)線三角函數(shù)符號誘導公式同角三角關(guān)系式任意角的三角函數(shù)高中：函數(shù)概念，指、對、冪函數(shù)的經(jīng)驗背景：周期現(xiàn)象、圓周運動聯(lián)系特殊指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)周期函數(shù)物理、生物、自然界周期現(xiàn)象任意角的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)推廣類比

4、本節(jié)課學習的認知基礎(chǔ)主要是幾何中圓的性質(zhì)、相似形的有關(guān)知識，在數(shù)學1中相應(yīng)的函數(shù)概念，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗；主要的學習內(nèi)容是三角函數(shù)的概念，單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，借助它的直觀定義三角函數(shù)，可以更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)，可以使學生更好地理解三角函數(shù)的概念，體會人們也把三角函數(shù)稱作“圓函數(shù)”的原因，并為后續(xù)內(nèi)容的學習帶來方便。因為從數(shù)學史的發(fā)展看，為解直角三角形而引入銳角三角函數(shù)；為解任意三角形而推廣到鈍角三角函數(shù)；為了刻畫一些簡單的周期運動（已和解三角形毫無關(guān)系）而再次推廣到任意角的三角函數(shù)，它是一個最基本的、最有表現(xiàn)力的周期函數(shù)，是描述一般周期函數(shù)的基石，是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物

5、，這是三角函數(shù)最本質(zhì)的地方。教學中，如果簡單的從復習銳角三角函數(shù)出發(fā)，直接推廣到任意角三角函數(shù)，雖然有利于學生從自己已有認知基礎(chǔ)出發(fā)學習三角函數(shù)。但對學生理解數(shù)學是不利的，容易讓學生認為：數(shù)學只是數(shù)學家做的一些規(guī)定，“它只是從定義和公理出發(fā)推導出來的一系列結(jié)論，而這些公理除了必須相互一致外，完全出自數(shù)學家心靈的自由創(chuàng)造。它將是定義、法則和三段論的游戲，既無動力也無目的?！睘榇?，教學設(shè)計以數(shù)學史的發(fā)展為背景，以突出任意角三角函數(shù)概念的本質(zhì)為核心，從學生已有的反映周期現(xiàn)象變化的日常經(jīng)驗出發(fā)，特別設(shè)計了摩天輪的情境，以數(shù)學實際應(yīng)用為線索，完成任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程。通過這個概念學習，體會數(shù)學

6、模型的思想，數(shù)形結(jié)合思想，了解數(shù)學新概念引入的必要性、合理性、嚴謹性，并進一步增進對數(shù)學的理解。由此確定本節(jié)課的教學重、難點和關(guān)鍵（1）重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義；（2）難點：任意角的三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程；（3）關(guān)鍵：以數(shù)學應(yīng)用為明線，講數(shù)學背景、講數(shù)學應(yīng)用；以數(shù)學文化為暗線，講數(shù)學概念學習的必要性、合理性。二、目標和目標解析本節(jié)課的教學目標是： （1）知識和技能目標：了解任意角三角函數(shù)定義產(chǎn)生的背景和應(yīng)用；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；加深對函數(shù)一般概念的理解。（2）過程與方法：通過參與知識的“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過程，培養(yǎng)合情猜測的能力，體會函數(shù)模型思想，數(shù)形結(jié)合思想。培養(yǎng)

7、觀察、分析、探索、歸納、類比及解決問題的能力。（3）情感、態(tài)度、價值觀：在數(shù)學史的學習中開闊視野，感受著數(shù)學文化的熏陶。從中感悟數(shù)學概念的合理性、嚴謹性、科學性。感悟數(shù)學的本質(zhì)，培養(yǎng)追求真理的精神。三、教學問題診斷分析學生雖然已有銳角三角函數(shù)的知識和經(jīng)驗，但他們自己在閱讀教材時，會產(chǎn)生以下的疑惑：(1)為什么要學習了任意角后就要研究任意角三角函數(shù)？(2)任意角三角函數(shù)定義為什么要引入坐標系？(3)的正弦為什么規(guī)定用y比r，而不是y的絕對值比r？為此要利用學生的日常生活經(jīng)驗，設(shè)計數(shù)學應(yīng)用的問題情境，讓學生讓學生感受到“數(shù)學是自然的”、“數(shù)學是有用的”。摩天輪這個實際問題的解決有一定難度，學生自己

8、獨立解決有困難，放開讓學生討論，方法是多樣的，但要花費很多時間，容易偏離本節(jié)課的教學中心，為此，教學中教師要加強引導，并設(shè)計了合情推理的教學環(huán)節(jié)。在比較hh0MP與猜想: hhrsint后，引出直角坐標系定義任意角三角函數(shù)，學生能理解和接受，但自己想不到，教學中要在思考方向上引導，比如“要想兩者和諧統(tǒng)一，必須”，“在說明MP時，為了表述簡潔明了，用怎樣的一個量來代替MP”。三角函數(shù)是 “從角的集合到比值的集合”的對應(yīng)關(guān)系，與學生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過運算才能得到，任意一個角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點的選取無關(guān)）也需要證明，教學時需要安排環(huán)節(jié)

9、幫助學生理解。四、教學支持條件分析三角函數(shù)與數(shù)學1的函數(shù)概念是一般與特殊的關(guān)系，教學中應(yīng)當注意發(fā)揮學生頭腦中函數(shù)概念及在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學習中建立的經(jīng)驗的指導作用。教學中要做好鋪墊，通過聯(lián)系和類比，使學習明確三角函數(shù)與已有函數(shù)概念的共通性，同時認識三角函數(shù)的特殊性描述周期現(xiàn)象的最有力的數(shù)學模型。利用單位圓上的坐標定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)。直接用（弧度制下）任意角的集合到區(qū)間-1，1上的映射來定義，去掉了“求比值”這一中間過程，有利于學生理解任意角的三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系。結(jié)合三角函數(shù)引導，學生進一步理解集合與對應(yīng)觀點下的函數(shù)概念，函數(shù)中研究的基本問題和基本思想（根據(jù)刻

10、畫現(xiàn)實中周期現(xiàn)象的需要，引進三角函數(shù)來描述周期性變化的規(guī)律），對學生的數(shù)學思維水平提高是非常有幫助的。這需要教師在思考方向、知識聯(lián)系等方面加以引導。五、教學過程設(shè)計 1、導入學生集體朗讀： 東升西落照蒼穹，影短影長角不同晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮教師：日出日落，寒來暑往，自然界中存在許多“按一定規(guī)律周而復始”的現(xiàn)象，稱之為“周期現(xiàn)象”。我們曾學習過用“指數(shù)函數(shù)”模型刻畫人口增長問題、儲蓄中復利計算問題，用“對數(shù)函數(shù)”模型刻畫地震的震級變化、溶液酸堿度的pH值變化，那么用怎樣的數(shù)學的模型來刻畫周期現(xiàn)象呢？周期現(xiàn)象一般與周期運動有關(guān)，一個簡單而基本的例子便是“圓周上一點的旋轉(zhuǎn)運動”請看下面的實

11、例（設(shè)計意圖：學生集體朗讀，一是集中注意力盡快進入上課狀態(tài)，二是在理科教學中增加點文學味，三是引出周期現(xiàn)象，詩句引自湖南版必修2，接下來指出在必修1中學習過兩種重要函數(shù)模型，意在調(diào)動學生學習“函數(shù)”一章的經(jīng)驗，提出用怎樣的數(shù)學的模型來刻畫周期現(xiàn)象。讓學生初步了解本節(jié)課學習的任務(wù)。接下來的教學設(shè)計，在結(jié)構(gòu)上盡可能地與“函數(shù)”一章相同，突出“建構(gòu)研究應(yīng)用”這一主線。）2、情境選擇數(shù)學模型OAp問題：摩天輪的中心離地面的高度為h0，它的直徑為2r，逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒（一秒轉(zhuǎn)了多少度？），若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點出發(fā)（如圖所示），求相對于地面的高度h與時間t的函數(shù)關(guān)系式。

12、教師：讓我們想象一下整個運動過程，高度h是怎樣變化的？師生：開始高度h先漸漸增高，再漸漸降低，然后再漸漸增高，最后回到初始位置；第二周、第三周周而復此，呈“周期現(xiàn)象”。（設(shè)計意圖：是突出研究問題的“周期性”特點，如果展開）教師：已學過的函數(shù)沒有這種性質(zhì)，應(yīng)該用怎樣一個函數(shù)模型來刻畫？MMAP教師：讓我們不妨先從一個簡單具體情形入手。例如過了20秒后，你離地面的高度為多少？學生：（設(shè)計意圖：解決問題的一般策略，先特殊后一般。學生也加深對問題理解。）教師：人距離地面的高度hh0+MP。其中h0是不變量，MP表示點P到水平位置OA的距離是變量，可以通過點P旋轉(zhuǎn)POA的大小，利用初中銳角三角函數(shù)來計算

13、。的確，隨著時間t變化，點P的位置在變化，角度POA在變化，進而MP的值在變化。（設(shè)計意圖：點P的位置隨著角度而變化，一是為下面引出三角函數(shù)做準備，二是突出“函數(shù)味”，這也是初高中對三角函數(shù)學習的不同之處。）教師：進一步，再計算幾個。師生：過了50秒，hhrsin50過了70秒，hhrsin70一般的，過了t秒呢？想法（愿望）：h(t)hrsint教師：這樣想合情，但合理嗎？有什么問題？師生：隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動，角度也不知不覺地推廣了任意角。對任意角，sin該如何定義？引出任意角三角函數(shù)（設(shè)計意圖：先猜想再探究，是一種合情推理，使教學環(huán)節(jié)顯得生動，同時感受到接下來新知識學習的必要性。以實際問題解

14、決為背景，引入任意角三角函數(shù)概念，是想讓學生感受到“數(shù)學是自然的”、“數(shù)學是有用的”，）3、探究分析數(shù)學模型教師：對任意角，sin該如何定義？對前面這個問題往下具體分析，雖然可以通過轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)計算各種情況，但表述上太繁瑣，當時間為t秒時，猜想: hhrsint形式簡潔，讓我們實在不愿舍棄。于是與hh0MP比較，要想兩者和諧統(tǒng)一，必須有：rsintMP 即 sint師生小結(jié)：如圖，點P在圓周上旋轉(zhuǎn)運動，引起POA的變化，任一個POA,對應(yīng)著唯一點P，進而有唯一的MP，得到，PMPPPMMMsinPOA教師：不過就這樣表述，在說明MP時，還是不夠簡潔明了。教師：MP何時取正值，何時取負值？

15、根據(jù)這些特點，用怎樣的一個量來代替MP，可以使上面的表述更簡潔？它的絕對值與MP長度相等，符號在一、二區(qū)域能是正的，在三、四區(qū)域能是負的.師生：引入直角坐標系，用點P的縱坐標y來替代MP或MP.（設(shè)計意圖：這樣安排是想讓學生感受到任意角三角函數(shù)定義中“坐標系的引入”，“坐標比值法的規(guī)定”不僅有必要、有好處，而且順其自然，體會“數(shù)學是自然的”，而不是完全出自數(shù)學家心靈的自由創(chuàng)造。）4、定義建立三角函數(shù)模型教師：在上述求解中，引出一個更為重要的問題，任意一個角的正弦怎么定義呢？師生：這首先要借助直角坐標系，把是“放在”直角坐標系內(nèi)，接下來，要以原點為圓心作圓，半徑為，與的終邊上相交于點P，得點P的

16、坐標（x,y），a的終邊P(x,y)Oxy那么：教師：能這樣定義嗎？這可是我們自己規(guī)定的! 問題1:當是銳角時，此規(guī)定與初中定義矛盾嗎？結(jié)論：不矛盾，而且坐標法的引入擺脫了銳角的束縛。問題2：圓的半徑大小有限制嗎？ 結(jié)論：根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角a，這個比值不會隨點P在a的終邊上的位置的改變而改變，是唯一確定的問題3：半徑為取多少時，會使得比值更加簡潔？結(jié)論：可以考慮取1.這樣的圓我們稱單位圓。即，在直角坐標系中,以原點為圓心,以單位長度1為半徑的圓。教師：聯(lián)系已學過的知識，類比正弦函數(shù)的定義，你能給出任意角余弦、正切的定義嗎？a的終邊P(x,y)Oxy如圖，設(shè)是一個任意角,它的終邊

17、與單位圓交于點,那么:叫做的正弦，即；叫做的余弦，即；叫做的正切，即.教師：這正是我們教科書上的定義方式，請同學們閱讀教材。（設(shè)計意圖：數(shù)學概念的學習有概念形成和概念同化兩種方式，任意角三角函數(shù)定義的教學運用的是概念同化方式，安排問題1、2的環(huán)節(jié)，正是為了完成同化過程。）教師：當圓的半徑不等于1時，則有，比值叫做的正弦 記作：比值叫做的余弦 記作：比值叫做的正切 記作：小結(jié)：三角函數(shù)的以上兩種方式是等價的，都是表示點P的縱坐標與的比值。只是在單位圓的背景下，1，從形式上看更簡潔。我們教科書上就選用了單位圓背景下的定義方式。、應(yīng)用例題教學：例1、求的正弦、余弦和正切值。例2、已知角a的終邊經(jīng)過點

18、P0(3，4)，求角a的正弦、余弦和正切值練習1：填表0（設(shè)計意圖：例題與練習都是為了及時鞏固對定義的理解，同時在解答過程中充分利用單位圓的作用，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想。練習選擇的特殊值，是為了體現(xiàn)出定義的一般性，同時為定義域的學習做好準備。）、聯(lián)系問題：為什么稱它們?yōu)椤昂瘮?shù)”，從一般函數(shù)概念角度怎樣來理解正弦、余弦、正切函數(shù)？對應(yīng)法則怎樣由自變量的值找到函數(shù)值；對于每個確定的角，放入直角坐標系后，都有唯一的終邊與之對應(yīng)，終邊與單位圓都有唯一確定的交點，任意角唯一的交點P（x，y）唯一的終邊直角坐標系中與單位圓所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)用集合與對應(yīng)的函數(shù)觀點看三角函數(shù)，這是一種“多對一”的函數(shù)；定義域自變量的取值范圍；可以看出，當 (kZ)時，的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標x等于0，所以無意義除此之外，對于確定的角，正弦、余弦、正切函數(shù)都有意義。又因為角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實數(shù)為自變量的函數(shù).（設(shè)計意圖：通過與函數(shù)概念的聯(lián)系，進一步理解集合與對應(yīng)觀點下的函數(shù)概念，明確三角函數(shù)與已有函數(shù)概念的共通性，三角函數(shù)與函數(shù)概念是一般與特殊的關(guān)系。） 課堂練習：1、求的正弦、余弦和正切值。2、已知角的終邊經(jīng)過點，求角的正弦、余弦和正切值。（設(shè)計意圖：它們的作用主