馬氏鏈模型及matlab程序

1、一、用法，用來(lái)干什么，什么時(shí)候用二、步驟，前因后果，算法的步驟，公式三、程序四、舉例五、前面國(guó)賽用到此算法的備注一下馬氏鏈模型用來(lái)干什么馬爾可夫預(yù)測(cè)法是應(yīng)用概率論中馬爾可夫鏈(Markov chain )的理論和方法來(lái)研究分析時(shí)間序列的變化規(guī)律，并由此預(yù)測(cè)其未來(lái)變化趨勢(shì)的一種預(yù)測(cè)技術(shù)。什么時(shí)候用應(yīng)用馬爾可夫鏈的計(jì)算方法進(jìn)行馬爾可夫分析，主要目的是根據(jù)某些變量現(xiàn)在的情況及其變動(dòng)趨向，來(lái)預(yù)測(cè)它在未來(lái)某特定區(qū)間可能產(chǎn)生的變動(dòng)，作為提供某種決策的依據(jù)。馬爾可夫鏈的基本原理我們知道，要描述某種特定時(shí)期的隨機(jī)現(xiàn)象如某種藥品在未來(lái)某時(shí)期的銷(xiāo)售情況，比如說(shuō)第n季度是暢銷(xiāo)還是滯銷(xiāo)，用一個(gè)隨機(jī)變量Xn便可以了，但

2、要描述未來(lái)所有時(shí)期的情況，則需要一系列的隨機(jī)變量 Xi，X2,，Xn，.稱(chēng) Xt，t T，T是參數(shù)集為隨機(jī)過(guò)程， X 的取值集合 稱(chēng)為狀態(tài)空間若隨機(jī)過(guò)程 Xi 的參數(shù)為非負(fù)整數(shù)，Xn為離散隨機(jī)變量，且 Xn 具有無(wú)后效性(或稱(chēng)馬爾可夫性)，則稱(chēng)這一隨機(jī)過(guò)程為馬爾可夫鏈(簡(jiǎn)稱(chēng)馬氏鏈)所謂無(wú)后效性，直觀地說(shuō)，就是如果把 Xn 的參數(shù)n看作時(shí)間的話， 那么它在將來(lái)取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與過(guò)去取什么值無(wú)關(guān).對(duì)具有N個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈， 描述它的概率性質(zhì)，最重要的是它在 n時(shí)刻處于狀態(tài)i下一時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的一步轉(zhuǎn)移概率：P(X j |Xn i) Pij(n)i, j 1,2, N若假定上式與n無(wú)

3、關(guān)，即卩門(mén)(0) Pij(1)Pij(n)，則可記為卩門(mén)(此時(shí)，稱(chēng)過(guò)程是平穩(wěn)的)，并記P11P12P1 NP21P22P2NP( 1 )Pn 1PN2PN N稱(chēng)為轉(zhuǎn)移概率矩陣.轉(zhuǎn)移概率矩陣具有下述性質(zhì)：(1)Pi j 0, i, j 1, 2, N .即每個(gè)元素非負(fù).N(2)Pij 1, i 1, 2, N .即矩陣每行的元素和等于如果我們考慮狀態(tài)多次轉(zhuǎn)移的情況，則有過(guò)程在 步轉(zhuǎn)移概率：n時(shí)刻處于狀態(tài)i， n+k時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的kP（Xnk j |Xn i） p（k）（n） i,j 1,2, ,N同樣由平穩(wěn)性，上式概率與n無(wú)關(guān)，可寫(xiě)成 p（k）.記(k) P11(k) P12(k)P1Np(

4、k)(k) P21(k) P22(k)P2N(k)PN1(k)PN2(k)Pnn(2)稱(chēng)為k步轉(zhuǎn)移概率矩陣.其中 pi（k）具有性質(zhì):p(k)0, i,j 1,2,N,N ；p(k)1, i 1,2,j 1一般地有，若p為一步轉(zhuǎn)移矩陣，則k步轉(zhuǎn)移矩陣(k)P11Jk)P12Jk)P1 Np(k)(k)P21(k)P22(k)P2N(k)pN1(k) pN 2(k) pN N（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算(3)估算的方法通常有兩種：一是主對(duì)事件發(fā)生的可能性大小的一現(xiàn)通過(guò)實(shí)例介紹如下.例3記錄了某抗病毒藥的陣.在馬爾可夫預(yù)測(cè)方法中，系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率的估算非常重要.觀概率法，它是根據(jù)人們長(zhǎng)期積累的經(jīng)驗(yàn)以

5、及對(duì)預(yù)測(cè)事件的了解, 種主觀估計(jì)，這種方法一般是在缺乏歷史統(tǒng)計(jì)資料或資料不全的情況下使用二是統(tǒng)計(jì)估算法,6年24個(gè)季度的銷(xiāo)售情況，得到表 1 試求其銷(xiāo)售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩表1某抗病毒藥24個(gè)季度的銷(xiāo)售情況季度銷(xiāo)售狀態(tài)季度銷(xiāo)售狀態(tài)季度銷(xiāo)售狀態(tài)季度銷(xiāo)售狀態(tài)11 （暢銷(xiāo)）71（暢銷(xiāo)）131（暢銷(xiāo)）192（滯銷(xiāo)）21（暢銷(xiāo)）81（暢銷(xiāo)）141（暢銷(xiāo)）201（暢銷(xiāo)）32（滯銷(xiāo)）91（暢銷(xiāo)）152（滯銷(xiāo)）212（滯銷(xiāo)）41（暢銷(xiāo)）102（滯銷(xiāo)）162（滯銷(xiāo)）221（暢銷(xiāo)）52（滯銷(xiāo)）111（暢銷(xiāo)）171（暢銷(xiāo)）231（暢銷(xiāo)）62（滯銷(xiāo)）122（滯銷(xiāo)）181（暢銷(xiāo)）241（暢銷(xiāo)）分析表中的數(shù)據(jù)，其中有 15個(gè)

6、季度暢銷(xiāo)，9個(gè)季度滯銷(xiāo)，連續(xù)岀現(xiàn)暢銷(xiāo)和由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)入滯銷(xiāo)以及 由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)入暢銷(xiāo)的次數(shù)均為7,連續(xù)滯銷(xiāo)的次數(shù)為 2由此，可得到下面的市場(chǎng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表（表 2）.表2市場(chǎng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況表現(xiàn)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率以頻率代替概率，可得連續(xù)暢銷(xiāo)的概率P11連續(xù)出現(xiàn)暢銷(xiāo)的次數(shù)出現(xiàn)暢銷(xiāo)的次數(shù)15 10.5分母中的數(shù)為15減1是因?yàn)榈?4季度是暢銷(xiāo)，無(wú)后續(xù)記錄，需減1 同樣得由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)入滯銷(xiāo)的概率：暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)入滯銷(xiāo)的次數(shù)出現(xiàn)暢銷(xiāo)的次數(shù)7151 .5滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)入暢銷(xiāo)的概率:滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)入暢銷(xiāo)的次數(shù)p?1“1出現(xiàn)滯銷(xiāo)的次數(shù)0.78連續(xù)滯銷(xiāo)的概率:p22連續(xù)滯銷(xiāo)的次數(shù) 出現(xiàn)滯銷(xiāo)的次數(shù)0.22綜上,得銷(xiāo)售狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為:p11 p120.50.

7、5P21P220.78 0.22所求轉(zhuǎn)移概率矩陣從上面的計(jì)算過(guò)程知，即將表中數(shù)分別除以該數(shù)所在行的數(shù)字和便可:7P的元素其實(shí)可以直接通過(guò)表2中的數(shù)字計(jì)算而得到,77777772277PiiPl2p21p22程序:Matlabformat ratclca= 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1;for i=1:2for j=1:2f(i,j)=le ngth(fi ndstr(i j,a);endendfni=(sum(f)for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i);endP由此，推廣到一般情況，我們得到估計(jì)轉(zhuǎn)移概率的方法：

8、假定系統(tǒng)有m種狀態(tài)Si, S2，Sm,根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移的歷史記錄，得到表3的統(tǒng)計(jì)表格，以 ?ij表示系統(tǒng)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移概率估計(jì)值，則由表3的數(shù)據(jù)計(jì)算估計(jì)值的公式如下：n ikk 1(3 )帶利潤(rùn)的馬氏鏈在馬氏鏈模型中，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)的狀態(tài)可能發(fā)生轉(zhuǎn)移，這種轉(zhuǎn)移常常會(huì)引起某種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變化.如抗病毒藥的銷(xiāo)售狀態(tài)有暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)兩種，在時(shí)間變化過(guò)程中， 有時(shí)呈連續(xù)暢銷(xiāo)或連續(xù)滯銷(xiāo)，有時(shí)由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)為滯銷(xiāo)或由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)為暢銷(xiāo)，每次轉(zhuǎn)移不是盈利就是虧本.假定連續(xù)暢銷(xiāo)時(shí)盈rii元，連續(xù)滯銷(xiāo)時(shí)虧本 22元，由暢銷(xiāo)轉(zhuǎn)為滯銷(xiāo)盈利ri2元，由滯銷(xiāo)轉(zhuǎn)為暢銷(xiāo)盈利元，這種隨著系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移， 賦予一定利潤(rùn)的馬氏

9、鏈，稱(chēng)為有利潤(rùn)的馬氏鏈. 對(duì)于一般的具有轉(zhuǎn)移矩陣p11p12p1 NPp21p22p2NPN1PN 2Pn n的馬氏鏈，當(dāng)系統(tǒng)由i轉(zhuǎn)移到j(luò)時(shí)，賦予利潤(rùn)rij （i, j=1, 2，N），則稱(chēng)riiri2riNr21r22r2N（5）rN 2rN N為系統(tǒng)的利潤(rùn)矩陣，rij 0稱(chēng)為盈利，rij 0稱(chēng)為虧本，rij = 0稱(chēng)為不虧不盈.隨著時(shí)間的變化，系統(tǒng)的狀態(tài)不斷地轉(zhuǎn)移， 從而可得到一系列利潤(rùn)， 由于狀態(tài)的轉(zhuǎn)移是隨機(jī) 的，因而一系列的利潤(rùn)是隨機(jī)變量， 其概率關(guān)系由馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率決定. 例如從抗病毒藥的銷(xiāo)售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，得到一步利潤(rùn)隨機(jī)變量xj、xj的概率分布分別為:(1)X1門(mén)1門(mén)2概率P1

10、1P12(1)X22122概率P21P22其中 P11+ pi2 = 1 ， p21+ p22 = 1 .如果藥品處于暢銷(xiāo)階段，即銷(xiāo)售狀態(tài)為 是多少為此，引入一些計(jì)算公式.i =1,我們想知道，經(jīng)過(guò) n個(gè)季度以后，期望獲得的利潤(rùn)首先，定義v（n）為抗病毒藥現(xiàn)在處于i （i1, 2），經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移之后的總期望利潤(rùn)，則步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為:2(1) 、Vi E(xi ) ri1Pi1ri2Pi2ri j pi jj 1其中E(x(1)是隨機(jī)變量Xi的數(shù)學(xué)期望.二步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為：2 (2) (2) (1) (1) (1),ViE(Xi)ri1V1pi1ri2vPi2 Vjpijj 1其中隨機(jī)變量x

11、（2）（稱(chēng)為二步利潤(rùn)隨機(jī)變量）的分布為:P(Xirij v(1) Pij, j 1,2例如，若0.50.59 3PR0.40.637則抗病毒藥銷(xiāo)售的一步利潤(rùn)隨機(jī)變量:(1)X193X21)3-7概率概率抗病毒藥暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)時(shí)的一步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)分別為：vJE(X1 )11P1112山29 5 30.5 6vjE(xJ) Qp21r22 P223 0.4 70.63二步利潤(rùn)隨機(jī)變量為：(2)X19+63-3x22)3+6-7-3概率概率抗病毒藥暢銷(xiāo)和滯銷(xiāo)時(shí)的二步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)分別為:(2)1Eg)W11V1 P1112VP12(96) 0.5(33) 0.57.5(2)E(x22)21(1)iV1

12、 P21r22v2) P22(36) 0.4(73) 0.62.4一般地定義k步轉(zhuǎn)移利潤(rùn)隨機(jī)變量 x(k) (i 1,2,N)的分布為：P(x(k)rijv(k 1) Pij j 1,2, N則系統(tǒng)處于狀態(tài)i經(jīng)過(guò)k步轉(zhuǎn)移后所得的期望利潤(rùn)v(k)的遞推計(jì)算式為:NVi(k)E(Xi(k)(rij v(k1)pijj 1NN (k 1)(1) N (k 1)rij PijVjPi jViVjPi j( 6)j 1j 1j 1當(dāng)k=1時(shí)，規(guī)定邊界條件 v(0)0 .稱(chēng)一步轉(zhuǎn)移的期望利潤(rùn)為即時(shí)的期望利潤(rùn)，并記Viqi, i 1,2, N .可能的應(yīng)用題型題型一、市場(chǎng)占有率預(yù)測(cè)例題1在購(gòu)買(mǎi)該藥的總共 1

13、000家對(duì)象（購(gòu)買(mǎi)力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等）中，買(mǎi) A、B、C三藥廠的 各有400家、300家、300家，預(yù)測(cè)A、B、C三個(gè)廠家生產(chǎn)的某種抗病毒藥在未來(lái)的市場(chǎng)占有情 況。顧客訂貨情況如下表5：表5 顧客訂貨情況表下季度訂貨情況合計(jì)ABC來(lái)A160120120400自B1809030300C1803090300合計(jì)5202402401000模型建立與求解一、問(wèn)題分析目前的市場(chǎng)占有情況為：在購(gòu)買(mǎi)該藥的總共1000家對(duì)象（購(gòu)買(mǎi)力相當(dāng)?shù)尼t(yī)院、藥店等）中，買(mǎi)A、B、C三藥廠的各有 400家、300家、300家，那么A、B、C三藥廠目前的市場(chǎng)占有份額分別 為：40%、30%、30%稱(chēng)（，）為目前市場(chǎng)的占有分布

14、或稱(chēng)初始分布.此外，我們需要查清使用對(duì)象的流動(dòng)情況。流動(dòng)情況的調(diào)查可通過(guò)發(fā)放信息調(diào)查表來(lái)了解顧客以往的資料或?qū)?lái)的購(gòu)買(mǎi)意向，也可從下一時(shí)期的訂貨單得岀。由題已知顧客訂貨情況如下表5表5 顧客訂貨情況表下季度訂貨情況合計(jì)ABC來(lái)A160120120400自B1809030300C1803090300合計(jì)5202402401000模型的建立模型構(gòu)建假定在未來(lái)的時(shí)期內(nèi)，顧客相同間隔時(shí)間的流動(dòng)情況不因時(shí)期的不同而發(fā)生變化，以1、2、3分別表示顧客買(mǎi) A、B、C三廠家的藥這三個(gè)狀態(tài)，以季度為模型的步長(zhǎng)（即轉(zhuǎn)移一步所需的時(shí)間），那么根據(jù)表 5，我們可以得模型的轉(zhuǎn)移概率矩陣:P11P12PP21P22P31

15、P32P13P23P3316012040040018090300300180303003001204000.4300.6300900.60.30.30.30.10.10.3300矩陣中的第一行（，）表示目前是A廠的顧客下季度有 40%仍買(mǎi)A廠的藥，轉(zhuǎn)為買(mǎi) B廠和C廠的各有30% 同樣，第二行、第三行分別表示目前是B廠和C廠的顧客下季度的流向.由P我們可以計(jì)算任意的k步轉(zhuǎn)移矩陣，如三步轉(zhuǎn)移矩陣：0.40.30.30.4960.2520.252P(3)P30.60.30.10.5040.2520.2440.60.10.30.5040.2440.252從這個(gè)矩陣的各行可知三個(gè)季度以后各廠家顧客的流動(dòng)

16、情況.如從第二行（，）知,3客三個(gè)季度后有 轉(zhuǎn)向買(mǎi)A廠的藥，仍買(mǎi)B廠的，轉(zhuǎn)向買(mǎi)C廠的藥.設(shè)s（k）（ p1k）, p2k）, p3k）表示預(yù)測(cè)對(duì)象k季度以后的市場(chǎng)占有率，初始分布則為B廠的顧S(k)s（0）（ p10）, p20）, p30），市場(chǎng)占有率的預(yù)測(cè)模型為已知S（0）（ 0.4, 0.3, 0.3），由此，我們可預(yù)測(cè)任意時(shí)期A、B、C三廠家的市場(chǎng)占有率例如，三個(gè)季度以后的預(yù)測(cè)值為：0.4960.2520.252s(3)( p1(3),p23),p(33) s(0) p3(0.4 0.3 0.3)0.5040.2520.2440.5040.2440.252(0.5008 0.24960

17、.2496 )大致上，A廠占有一半的市場(chǎng)，B廠、C廠各占四分之一.模型（7）可推廣到N個(gè)狀態(tài)的情形：P11p12p1 NkS(k)S(k1)pS(0)Pk(P1(0),p：20),pN0) P21p22p2N(8)pN1pN 2pN N如果我們按公式（7）繼續(xù)逐步求 A、B、C三家的市場(chǎng)占有率,會(huì)發(fā)現(xiàn),當(dāng)k大到定的程度,S （k）將不會(huì)有多少改變，即有穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率，設(shè)其穩(wěn)定值為S(p1 , p2,P3)，滿足S(0) pk s(k 1)p(7)Pl P2 P31 事實(shí)上，如果市場(chǎng)的顧客流動(dòng)趨向長(zhǎng)期穩(wěn)定下去，則經(jīng)過(guò)一段時(shí)期以后的市場(chǎng)占有率將會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，即顧客的流動(dòng)，不會(huì)影響市場(chǎng)的占

18、有率，而且這種占有率與初始分布無(wú) 關(guān).如何求出這種穩(wěn)定的市場(chǎng)占有率呢模型求解以A、B、C三家的情況為例，當(dāng)市場(chǎng)出現(xiàn)平衡狀態(tài)時(shí)，從公式（7）可得方程S = S P,即0.40.30.3(P1, P2, P3) (Pi, P2, P3) 0.60.30.10.60.10.3由此得P10.4P10.6 P20.6 P3P20.3p10.3p20.1P3P30.3p10.1P20.3p3經(jīng)整理，并加上條件 p1P2 P31，得0.6p10.6p20.6p300.3p1 0.7p2 0.1p300.3p1 0.1p2 0.7p30pi P2 P31上方程組是三個(gè)變量四個(gè)方程的方程組，在前三個(gè)方程中只有二

19、個(gè)是獨(dú)立的，任意刪去一個(gè)，從剩下的三個(gè)方程中，可求出唯一解：pi0.5，p2 0.25， P3 0.25這就是A、B C三家的最終市場(chǎng)占有率.一般N個(gè)狀態(tài)的穩(wěn)定市場(chǎng)占有率(穩(wěn)態(tài)概率)S (p1, p2,pN )可通過(guò)解方程組pi1p12p1 Np21p22p2 N(P1, P2,PN ) ( P1, P2,PN )(9)pN 1pN2pN NNPk 1k 1求得，而(9)的前N個(gè)方程中只有 N-1個(gè)是獨(dú)立的，可任意刪去一個(gè)。MATLAB 程序：format ratP=,;a=p-eye (3) ;o nes(1,3);b=zeros(3,1);1;p_limit=ab題型二、期望利潤(rùn)預(yù)測(cè)企業(yè)追逐市場(chǎng)占有率的真正目的是使利潤(rùn)增加，因此，競(jìng)爭(zhēng)各方無(wú)論是為了奪回市場(chǎng)份額，還是為了保住或者提高市場(chǎng)份額，在制訂對(duì)策時(shí)都必須對(duì)期望利潤(rùn)進(jìn)行預(yù)測(cè).預(yù)測(cè)主要分兩步進(jìn)行：市場(chǎng)統(tǒng)計(jì)調(diào)查.首先調(diào)查銷(xiāo)路的變化情況，即查清由暢銷(xiāo)