04論文《貝克萊悖論與點(diǎn)態(tài)連續(xù)性概念及有關(guān)問(wèn)題》

1、論文第04篇：貝克萊悖論與點(diǎn)態(tài)連續(xù)性概念及有關(guān)問(wèn)題討論微積分的11篇論文第04篇（本文發(fā)表在高等數(shù)學(xué)研究2013年第5期上，以原文為準(zhǔn)）貝克萊悖論與點(diǎn)態(tài)連續(xù)性概念及有關(guān)問(wèn)題徐利治（大連理工大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)院，遼寧 大連 116024）摘要：貝克萊類型的悖論可由函數(shù)的點(diǎn)態(tài)連續(xù)性概念及正則化賦值所澄清微分學(xué)基礎(chǔ)與極限理論無(wú)可質(zhì)疑微積分的模式真理性有別于量子物理學(xué)的物理學(xué)真理性關(guān)鍵詞：微積分；極限；形式悖論；點(diǎn)態(tài)連續(xù)性；模式真理性中圖分類號(hào)：O172.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-1399(2013)05-0033-03最近看到高等數(shù)學(xué)研究2012年第4、5、6期上，有關(guān)討論“微分之謎”的三篇

2、文章，引起我的好奇和興趣，特撰此文，供感興趣者參考1 從貝克萊悖論說(shuō)起數(shù)學(xué)史告訴我們，17世紀(jì)60年代至80年代，牛頓與萊布收稿日期：2013-03-01；修改日期：2013-05-20作者簡(jiǎn)介：徐利治（1920-），男，江蘇張家港人，教授，從事計(jì)算數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)及數(shù)學(xué)方法論研究Email：尼茨不約而同地發(fā)明了微積分學(xué)早期的微積分學(xué)被牛頓稱之為“流數(shù)術(shù)”按流數(shù)術(shù)的算法，一個(gè)可微分函數(shù)y=f (x)的導(dǎo)數(shù)(x)=，其中左端差商的算法中，必須假定x0，差商的除法完成后，接著又令x=0，才能獲得(x)當(dāng)年，牛頓以運(yùn)動(dòng)學(xué)為背景，利用流數(shù)術(shù)界定并計(jì)算瞬時(shí)速度及曲線

3、的切線斜率時(shí)，常把上述統(tǒng)一算法的結(jié)果稱之為“終極比”(Ultimate ratio)，這表明牛頓的心目中是有“變量趨限”的直覺思想的但當(dāng)時(shí)作為變量數(shù)學(xué)的微分學(xué)還處于萌芽時(shí)期（幼兒時(shí)期），還想不到采用抽象層次較高的極限思想及其運(yùn)作方式來(lái)表述所論對(duì)象，以致在粗略而濃縮的算法中出現(xiàn)了“x0與x=0”的形式矛盾 18世紀(jì)著名的英國(guó)主教貝克萊正是抓住了上述形式矛盾在他于1734年出版的分析學(xué)家(Analyst)一書中，對(duì)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)概念及其算法的“不合邏輯性”進(jìn)行了一系列質(zhì)難，其后，人們就把“x0與x=0”（也即“dx0和dx=0”）的形式矛盾稱之為“貝克萊悖論”確實(shí)，在常量數(shù)學(xué)中，每個(gè)量都是一意確定的，

4、假如在同一個(gè)代數(shù)等式中相繼出現(xiàn)“x0與x=0”，則就成為荒謬的式子了貝克萊頭腦中根本沒有變量概念，仍以代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待含有變量的算式，從而提出了上述悖論，自然是不必奇怪的事情了事實(shí)上正因?yàn)榕ｎD的流數(shù)術(shù)算法中，未能明確宣示變量觀點(diǎn)，致使貝克萊基于常量數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)理念，對(duì)流數(shù)術(shù)進(jìn)行全面攻擊，還把“流數(shù)”（即導(dǎo)數(shù)）譏之為“消逝量的鬼魂”看來(lái)這真是一種帶有必然性的“數(shù)學(xué)歷史現(xiàn)象”，這一現(xiàn)象也說(shuō)明人類對(duì)“變量數(shù)學(xué)”的理性建模要經(jīng)歷艱辛過(guò)程同樣不必奇怪的一個(gè)現(xiàn)象是，有了極限論之后，居然還出現(xiàn)了一個(gè)“現(xiàn)代型的貝克萊悖論”，這就是文1與文3中再三論述的一種“悖論”文1，3甚至試圖以此來(lái)顛覆極限理論但正如文2短評(píng)

5、所指出，文1的論據(jù)是不成立的其實(shí)文3的答辯也是無(wú)用的，此點(diǎn)且容后文細(xì)說(shuō)“原始的貝克萊悖論”中，“x0”是直接由于x作為除數(shù)(分母)之故，而“現(xiàn)代型貝克萊悖論”中觀察到“x0”的條件蘊(yùn)含于極限過(guò)程“x0”之中，僅從這一點(diǎn)來(lái)看，后者似乎要比前者高出一個(gè)層次事實(shí)上，只要明確了函數(shù)的“點(diǎn)態(tài)連續(xù)性”概念和“正則化賦值”定義，即可看出無(wú)論是原始的或現(xiàn)代的貝克萊悖論，其實(shí)都不是真正的悖論，它們恰好體現(xiàn)了變量極限過(guò)程的本質(zhì)下一節(jié)將闡明這一數(shù)學(xué)真理2 貝克萊悖論不是悖論正如人們所知，有了極限論（即建立在實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)的極限理論）實(shí)變函數(shù)就有了在一點(diǎn)處的“躍距”概念和“點(diǎn)態(tài)連續(xù)性”概念如設(shè)函數(shù)y=f (x)在x=0處

6、有左右側(cè)極限f (0-)和f (0+)（可按-語(yǔ)言加以定義，此處從略），即f (x)=f (0-)，f (x)=f (0+)這里可以假設(shè)f (0)原先并無(wú)定義，而左右極限之差d=| f (0+)-f (0-)|便稱為緊接0點(diǎn)處的“躍距”對(duì)xOy坐標(biāo)平面上的曲線y=f (x)而言，其幾何意義是十分明顯的如果補(bǔ)充定義f (0) = f (0+)-f (0-)，也即把0點(diǎn)左右側(cè)的極限均值作為 f 在x = 0處的賦值，則就稱 f 在0點(diǎn)處獲得正則化(normalization) 特別地，如果f (0+)=f (0-)=，則可記f (x)=，此時(shí)“躍距”為0，可稱之為“點(diǎn)態(tài)連續(xù)性條件”再給出正則化賦值

7、的結(jié)果f (0) =(+)=f (x)，即可見函數(shù)（及曲線）已獲得在x = 0處的“連續(xù)性表征”很明顯，正是根據(jù)函數(shù)極限的存在性所導(dǎo)致的“點(diǎn)態(tài)連續(xù)性條件”以及“正則化”（連續(xù)化）賦值手段而得出了上式，故上式自然具有無(wú)可質(zhì)疑的邏輯合理性現(xiàn)在，作為簡(jiǎn)例取f (x)=（m為正整數(shù)），并設(shè)函數(shù)在x=0點(diǎn)處原無(wú)定義易知函數(shù)在0點(diǎn)處的極限為0，故由“連續(xù)性表征式”立得= 0這其中當(dāng)然已經(jīng)用到了點(diǎn)態(tài)連續(xù)性條件與連續(xù)化賦值手段特別地，令m=1，將自變量x改記為x，則就得到了文1，3中稱之為“悖論”根源的合理等式（又稱“蛇足”）x= 0再返回到使用極限手續(xù)計(jì)算可微函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的整個(gè)過(guò)程（文獻(xiàn)1，3中曾以y=x2為

8、例列出了極限算式）只需認(rèn)識(shí)到差商極限的存在性已蘊(yùn)含了函數(shù)點(diǎn)態(tài)連續(xù)性條件并保證了正則化（連續(xù)化）賦值的合理性，則就不致于會(huì)把極限等式中先后出現(xiàn)的“x0與x=0”的合理現(xiàn)象看成為悖論了 最后要說(shuō)明的是，雖然文1，3中的思辨性論述（即把極限過(guò)程中的變量“x0”與過(guò)程完成后對(duì)正則化極限賦值時(shí)取定的常數(shù)“x=0”混為一談），根本不可能構(gòu)成對(duì)極限論的真正沖擊，但是貝克萊型悖論的重復(fù)出現(xiàn)，至少表明在大學(xué)微積分（或數(shù)學(xué)分析）的教學(xué)中，有必要花一定時(shí)間，或在教材中用一定篇幅，來(lái)講述或討論悖論出現(xiàn)的歷史必然性及其在極限論觀點(diǎn)下得以消除的理論根據(jù)3 略談微積分的模式真理性文1首段就說(shuō)到極限理論存在“三大錯(cuò)誤”，這里

9、我只想指出其中第3條所謂“與物理實(shí)踐不相符合”的說(shuō)法是有相當(dāng)?shù)览淼?，并由此?lián)想到微積分的“模式真理性”概念確實(shí)有別于物理學(xué)真理觀 20世紀(jì)50年代，有一位學(xué)物理的青年教師朋友對(duì)我說(shuō)，按照量子論，有普朗克（Planck）的最短時(shí)間單位和最小長(zhǎng)度單位，即10-44 s，10-33 cm，由此他曾提出疑問(wèn)，按照微分學(xué)界定的牛頓瞬時(shí)速度概念=是否并無(wú)實(shí)際意義？的確，小于tp的時(shí)間并不存在，故時(shí)間變量t0的過(guò)程自然是不可能實(shí)現(xiàn)的由此類推，因?yàn)樾∮趌p長(zhǎng)度的線段也不存在，所以物理世界中并不存在數(shù)學(xué)上所說(shuō)的光滑曲線和光滑曲面，當(dāng)然用導(dǎo)數(shù)計(jì)算切線斜率的過(guò)程也是不切實(shí)際的可是另一方面我們又知道，將微積分學(xué)及其發(fā)

10、展起來(lái)的諸分支學(xué)科應(yīng)用于解決各類高端科技問(wèn)題時(shí)，卻往往顯示出“不可思議的有效性”，這又怎樣解釋呢？ 后來(lái)接受了科學(xué)反映論，弄清楚數(shù)學(xué)是研究抽象模式的科學(xué)，才讓我開始悟通了上述疑問(wèn)的合理答案 如所知，科學(xué)反映論的一個(gè)重要觀點(diǎn)是，一般正常人發(fā)育健全的頭腦，簡(jiǎn)稱“人腦”，往往具有以“抽象概念形式”反映事物間實(shí)在關(guān)系的本能人腦機(jī)制的這種本能及其局限性，又決定了理性思維產(chǎn)生的抽象概念必然具有“單相性”（分離性與一意性）、“簡(jiǎn)單性”（理想性）與邏輯合理性（可演繹性）所以一般說(shuō)來(lái)，抽象概念形式往往只能是簡(jiǎn)略地、定向地反映事物實(shí)在關(guān)系的特定方面或某些被分離出來(lái)的共性特征，因此其邏輯合理性當(dāng)然不可能等同于實(shí)在關(guān)

11、系所蘊(yùn)含的現(xiàn)實(shí)真理性 因?yàn)槲⒎e分學(xué)是處理變量變化過(guò)程與計(jì)算方法的理想化模式，它是抽象過(guò)程的產(chǎn)物，所以即可用上述觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)明其特征與功能正是為了尋求具有簡(jiǎn)單性與統(tǒng)一性的有關(guān)變量變化過(guò)程的表述與計(jì)算方法，才不得不在基礎(chǔ)性的極限論中引入“x0與x”等理想性的抽象概念反過(guò)來(lái)不妨設(shè)想一下，假如只許可使用物理世界中存在的量子單位如t=tp與x=lp等數(shù)量來(lái)處理“變化率問(wèn)題”，情況將變得如何偏狹而煩瑣顯而易見，正是因?yàn)閠=0與x=0是對(duì)t=tp與x=lp的高精度逼近與近似，所以在含有量子單位的物理問(wèn)題計(jì)算中，如果代之以t0與x0等極限過(guò)程，實(shí)際上就是對(duì)物理計(jì)算過(guò)程的高精度近似，由此類推，即可理解為什么微積分應(yīng)

12、用于力學(xué)、物理學(xué)及技術(shù)科學(xué)等實(shí)際問(wèn)題的分析計(jì)算時(shí)，能有“不可思議的有效性”了極限理論的引入不只是使微積分有了嚴(yán)謹(jǐn)合理的邏輯基礎(chǔ)，從而具備了數(shù)學(xué)的模式真理性，而且使眾多的變量算法，獲得了統(tǒng)一的簡(jiǎn)單形式，成為可操作的數(shù)學(xué)工具雖然微積分的模式真理性往往能以高精度的近似性來(lái)反映物理世界的現(xiàn)實(shí)真理性，但前者畢竟具有本質(zhì)上的局限性例如，維爾斯特拉斯(Weierstrass)提供的“連續(xù)而處處不可微函數(shù)”的例子以及后來(lái)出現(xiàn)的眾多例子，其構(gòu)造都不存在于物理世界中它們只是理想化地存在于合理的邏輯框架中事實(shí)上，數(shù)學(xué)中的一切概念都具有“理想化”性質(zhì)，只是由于和事物的實(shí)在關(guān)系存在某種或隱或顯的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，或高精度近

13、似關(guān)系時(shí)，才獲得應(yīng)用的可能性4 結(jié)束語(yǔ)多年前，我曾聞知，讀過(guò)分析學(xué)家著作的后人們已經(jīng)早有評(píng)論，認(rèn)為該著作中并未發(fā)現(xiàn)有任何形式邏輯上的差錯(cuò)，只是其觀點(diǎn)與結(jié)論未能反映導(dǎo)數(shù)算法所蘊(yùn)含的變量極限過(guò)程的概念本質(zhì)這一現(xiàn)象有其客觀原因我想，類似的評(píng)論也適用于文1，3再者，有關(guān)數(shù)學(xué)模式論，已有不少文獻(xiàn)20年前鄭毓信和我合作的著作4中，曾詳細(xì)地討論了“模式真理性”問(wèn)題最后要說(shuō)的是，多年來(lái)高等數(shù)學(xué)研究編輯部一直寄贈(zèng)刊物給我，以至在我現(xiàn)今93歲時(shí)，還能有機(jī)會(huì)從讀刊興趣中，引發(fā)出寫作此文的動(dòng)機(jī)，特在此謹(jǐn)向該刊編輯部諸同志致以誠(chéng)摯的感謝參考文獻(xiàn)：1師教民論極限理論的微分之謎J高等數(shù)學(xué)研究，2012，(15)4：44-4

14、62張景中關(guān)于論極限理論的微分之謎的思考J高等數(shù)學(xué)研究，2012，(15)5：223師教民答關(guān)于的思考J高等數(shù)學(xué)研究，2012，(15)6：29-304徐利治，鄭毓信數(shù)學(xué)模式論M南寧：廣西教育出版社，1993On Berkeleys Paradox, Point-wiseContinuity Concept andRelated QuestiousXU Lizhi（Hsu.L.C） (School of mathematical Science, Dalian University of Technology, Dalian 116024, PRC)Abstract：The reasonable fact that x0 and x=0 occuring, re-spectively, within and after the limit process of x0 for getting the derivative(x), does not create any riddle or paradox as descriled in somepapers. Also re