高中數(shù)學(xué)圓錐曲線試題含答案

1、理 數(shù)圓錐曲線1. (2014大綱全國(guó),9,5分)已知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cosAF2F1=()A.B.C.D.答案 1.A解析 1.由題意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,cosAF2F1=.故選A.2. (2014大綱全國(guó),6,5分)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,離心率為,過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn).若AF1B的周長(zhǎng)為4,則C的方程為()A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案 2.A解析 2.由題意及橢圓的定義知4a=4,則a=,

2、又=,c=1,b2=2,C的方程為+=1,選A.3. (2014重慶,8,5分)設(shè)F1、F2分別為雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|PF2|=ab,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.3答案 3.B解析 3.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,依題意不妨設(shè)mn0,于是mn=m=3n.a=n,b=nc=n,e=,選B.4. (2014廣東,4,5分)若實(shí)數(shù)k滿足0k9,則曲線-=1與曲線-=1的()A.焦距相等B.實(shí)半軸長(zhǎng)相等C.虛半軸長(zhǎng)相等D.離心率相等答案 4.A解析 4.0k0,25-k0.-=1與-=1均表示雙曲線,又

3、25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,它們的焦距相等,故選A.5. (2014福建,9,5分)設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的點(diǎn),則P,Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A.5B.+C.7+D.6答案 5.D解析 5.設(shè)Q(cos ,sin ),圓心為M,由已知得M(0,6),則|MQ|=5,故|PQ|max=5+=6.6.(2014山東,10,5分)已知ab0,橢圓C1的方程為+=1,雙曲線C2的方程為-=1,C1與C2的離心率之積為,則C2的漸近線方程為()A.xy=0B.xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案 6.A解析 6.設(shè)橢圓C1和雙曲線C2的離心率分別為

4、e1和e2,則e1=,e2=.因?yàn)閑1e2=,所以=,即=,=.故雙曲線的漸近線方程為y=x=x,即xy=0.7.(2014天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線平行于直線l:y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1答案 7.A解析 7.由題意得=2且c=5.故由c2=a2+b2,得25=a2+4a2,則a2=5,b2=20,從而雙曲線方程為-=1.8.(2014山東青島高三第一次模擬考試, 10) 如圖，從點(diǎn)發(fā)出的光線，沿平行于拋物線的對(duì)稱軸方向射向此拋物線上的點(diǎn)，經(jīng)拋物線反射后，穿過(guò)焦點(diǎn)射向拋物線上的點(diǎn)，再

5、經(jīng)拋物線反射后射向直線上的點(diǎn)，經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則等于（ ）A B CD答案 8. B解析 8.由題意可得拋物線的軸為軸，所以所在的直線方程為，在拋物線方程中，令可得，即從而可得，因?yàn)榻?jīng)拋物線反射后射向直線上的點(diǎn)，經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，所以直線的方程為，故選B9.(2014安徽合肥高三第二次質(zhì)量檢測(cè)，4) 下列雙曲線中，有一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的是（ ） A. B. C. D. 答案 9. D解析 9. 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，雙曲線的焦點(diǎn)在軸且為滿足條件. 故選D.10. (2014江西,15,5分)過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(a

6、b0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于_.答案 10.解析 10.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則+=1,+=1.、兩式相減并整理得=-.把已知條件代入上式得,-=-,=,故橢圓的離心率e=.11. (2014湖南,15,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a0)經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn),則=_.答案 11.1+解析 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C,F,又拋物線y2=2px(p0)經(jīng)過(guò)C、F兩點(diǎn),從而有即b2=a2+2ab,-2-1=0,又1,=1+.12.(2014安徽,14,5分)設(shè)F1,F2分別是橢圓E

7、:x2+=1(0b1)的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF1|=3|F1B|,AF2x軸,則橢圓E的方程為_(kāi).答案 12.x2+y2=1解析 12.不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,AF2x軸,A(c,b2)(其中c2=1-b2,0b0).又|AF1|=3|F1B|,由=3得B,代入x2+=1得+=1,又c2=1-b2,b2=.故橢圓E的方程為x2+y2=1.13.(2014浙江,16,4分)設(shè)直線x-3y+m=0(m0)與雙曲線-=1(a0,b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)P(m,0)滿足|PA|=|PB|,則該雙曲線的離心率是_.答案 13.解析 13.由得A,由得B,則

8、線段AB的中點(diǎn)為M.由題意得PMAB,kPM=-3,得a2=4b2=4c2-4a2,故e2=,e=.14. (2014天津薊縣第二中學(xué)高三第一次模擬考試，12) 拋物線+12y=0的準(zhǔn)線方程是_.答案 14. y=3解析 14. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由此可以判斷焦點(diǎn)在y軸上，且開(kāi)口向下，且p=6，所以其準(zhǔn)線方程為y=3.15. (2014大綱全國(guó),21,12分)已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=|PQ|.()求C的方程;()過(guò)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l與C相交于M、N兩點(diǎn),且A、M、B、N四點(diǎn)在同一

9、圓上,求l的方程.答案 15.查看解析解析 15.()設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.由題設(shè)得+=,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(5分)()依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率為-m,所以l的方程為x=-y+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.設(shè)M(x3

10、,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點(diǎn)為E,|MN|=|y3-y4|=.(10分)由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|=|BE|=|MN|,從而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+=.化簡(jiǎn)得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)16. (2014四川,20,13分)已知橢圓C:+=1(ab0)的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.()求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;()設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線x=-3上任意一點(diǎn),過(guò)F作TF的

11、垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));(ii)當(dāng)最小時(shí),求點(diǎn)T的坐標(biāo).答案 16.查看解析解析 16.()由已知可得解得a2=6,b2=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是+=1.()(i)由()可得,F的坐標(biāo)是(-2,0),設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,m).則直線TF的斜率kTF=-m.當(dāng)m0時(shí),直線PQ的斜率kPQ=,直線PQ的方程是x=my-2.當(dāng)m=0時(shí),直線PQ的方程是x=-2,也符合x(chóng)=my-2的形式.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立,得消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,其判別式=16m2+8(m2+3)0.所以

12、y1+y2=,y1y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4=.所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.所以直線OM的斜率kOM=-,又直線OT的斜率kOT=-,所以點(diǎn)M在直線OT上,因此OT平分線段PQ.(ii)由(i)可得,|TF|=,|PQ|=.所以=.當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=,即m=1時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)取得最小值.所以當(dāng)最小時(shí),T點(diǎn)的坐標(biāo)是(-3,1)或(-3,-1).17. (2014廣東,20,14分)已知橢圓C:+=1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),離心率為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程.答案 17.查看解析解

13、析 17.(1)由題意知c=,e=,a=3,b2=a2-c2=4,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.(2)設(shè)兩切線為l1,l2,當(dāng)l1x軸或l1x軸時(shí),l2x軸或l2x軸,可知P(3,2).當(dāng)l1與x軸不垂直且不平行時(shí),x03,設(shè)l1的斜率為k,且k0,則l2的斜率為-,l1的方程為y-y0=k(x-x0),與+=1聯(lián)立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直線l1與橢圓相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(-9)k2-2x0y0k+-4=0,k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一個(gè)根,同理,-是

14、方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一個(gè)根,k=,整理得+=13,其中x03,點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13(x3).檢驗(yàn)P(3,2)滿足上式.綜上,點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=13.18. (2014江西,20,13分)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,B分別在C的兩條漸近線上,AFx軸,ABOB,BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求雙曲線C的方程;(2)過(guò)C上一點(diǎn)P(x0,y0)(y00)的直線l:-y0y=1與直線AF相交于點(diǎn)M,與直線x=相交于點(diǎn)N.證明:當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí),恒為定值,并求此定值.答案 18.查看解析解析 18.(1)設(shè)F(c,0),因?yàn)?/p>

15、b=1,所以c=,直線OB的方程為y=-x,直線BF的方程為y=(x-c),解得B.又直線OA的方程為y=x,則A,kAB=.又因?yàn)锳BOB,所以=-1,解得a2=3,故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y00),即y=.因?yàn)橹本€AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點(diǎn)為M;直線l與直線x=的交點(diǎn)為N,則=.因?yàn)镻(x0,y0)是C上一點(diǎn),則-=1,代入上式得=,所求定值為=.19. (2014陜西,2017,13分)如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(ab0,y0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y0)連接而成,C1與C2的公共點(diǎn)為A,B,其

16、中C1的離心率為.()求a,b的值;()過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A,B),若APAQ,求直線l的方程.答案 19.查看解析解析 19.()在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左,右頂點(diǎn).設(shè)C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2.a=2,b=1.()解法一:由()知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y0).易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP),直線l過(guò)點(diǎn)B,x=1是方程(

17、*)的一個(gè)根.由求根公式,得xP=,從而yP=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為.同理,由得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k).=(k,-4),=-k(1,k+2).APAQ,=0,即k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-.經(jīng)檢驗(yàn),k=-符合題意,故直線l的方程為y=-(x-1).解法二:若設(shè)直線l的方程為x=my+1(m0),比照解法一給分.20.(2014江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F1、F2分別是橢圓+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),連結(jié)BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C,連結(jié)F1C.(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為,且B

18、F2=,求橢圓的方程;(2)若F1CAB,求橢圓離心率e的值.答案 20.查看解析解析 20.設(shè)橢圓的焦距為2c,則F1(-c,0),F2(c,0).(1)因?yàn)锽(0,b),所以BF2=a.又BF2=,故a=.因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以+=1,解得b2=1.故所求橢圓的方程為+y2=1.(2)因?yàn)锽(0,b),F2(c,0)在直線AB上,所以直線AB的方程為+=1.解方程組得所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又AC垂直于x軸,由橢圓的對(duì)稱性,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為.因?yàn)橹本€F1C的斜率為=,直線AB的斜率為-,且F1CAB,所以=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.21.(2014遼寧,2

19、0,12分)圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,當(dāng)該三角形面積最小時(shí),切點(diǎn)為P(如圖),雙曲線C1:-=1過(guò)點(diǎn)P且離心率為.()求C1的方程;()橢圓C2過(guò)點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn),直線l過(guò)C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A,B兩點(diǎn),若以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P,求l的方程.答案 21.查看解析解析 21.()設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)(x00,y00),則切線斜率為-,切線方程為y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此時(shí),兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為S=.由+=42x0y0知當(dāng)且僅當(dāng)x0=y0=時(shí)x0y0有最大值,即S有最小值,因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)

20、.由題意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程為x2-=1.()由()知C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0),(,0),由此設(shè)C2的方程為+=1,其中b10.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程為+=1.顯然,l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2).由題意知=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.將,代入式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1. 因此直線l的方程為x-y-=0或x+y-=0.22.(2012太原高三月考，20,12分)已知曲線C:x2+=1.()由曲線C上任一點(diǎn)E向x軸作垂線,垂足為F,動(dòng)點(diǎn)P滿足:=3,求P點(diǎn)的軌跡方程,并討論其軌跡的類型;()如果直線l的斜率為,且過(guò)點(diǎn)M(0,-2),直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn),又=-,求曲線C的方程.答案 22.()設(shè)E(x0,y0),P(x,y),則F(x0,0),=3,(x-x0,y)=3(x-x0,y-y0),代入曲線C中得x2+=1為所求的P點(diǎn)