基本初等函數(shù)I(3)

1、、填空題1. （安徽兩地三校國慶聯(lián)考）為了得到函數(shù),x +3y = lg10的圖像，只需把函數(shù)y=lgx的圖像上所有點(diǎn)（C.向左平移向右平移向左平移向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度個(gè)單位長度個(gè)單位長度個(gè)單位長度答案C2. （昆明一中四次月考理）下列四個(gè)函數(shù)3 2y = x 1 ； y二 si n3x y=x ； x-Xe ey中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是（23.（A） 1答案：C(B)(C) 3(D) 4（昆明一中二次月考更多http:/url.cin/OAShZy理）已知：；,貝則“-匚；-丄女-”的（A.充分不必要條件

2、B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案：Aa log2 x（當(dāng) x - 2時(shí)）4. （玉溪一中期中理）已知函數(shù)f （x）二x2 _4在點(diǎn)x=2處連續(xù)，貝帰數(shù)a匸當(dāng)x2時(shí)）x-2的值是（）A .2B .3C .4D .5答案：B5. （玉溪一中期中理）函數(shù) y =loga（x 3）-1 （a 0,且a=1）的圖象恒過定點(diǎn) A，若1 2點(diǎn)A在直線mx ny 1 = 0上，其中m,n均大于0,則 -的最小值為（）m nA. 2B. 4C . 8D. 16答案：C7.(祥云一中三次月考理)函數(shù)f(X)=0;在以下過程中，他用“二分法”又取了 4個(gè)x的值，計(jì)算了其函數(shù)值的正負(fù)，并得出

3、判斷：方程的近似解是x-1.8那么他再取的x的4個(gè)值分別依次是.答案 1 . 5, 1. 75, 1. 875, 1 . 8125;X2-6x4173.(祥云一中二次月考理)函數(shù)y在匚3,1】上的值域?yàn)?2丿4.(祥云一中二次月考理)已知函數(shù)(x) = log8 x ,它的反函數(shù)為f J(x)，則答案：答案：4三、解答題1.(本小題滿分14分)已知a e R,函數(shù)f (x )=( x? +ax )ex (xe r e為自然對數(shù)的底數(shù)).(i)當(dāng)a =2時(shí)，求函數(shù)f x的單調(diào)遞增區(qū)間；(n)若函數(shù)f x在-1,1上單調(diào)遞增,求a的取值范圍；(川)函數(shù)f x是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值

4、范圍；若不是，請說明理由解：(i )當(dāng) a =2時(shí)，f xi；=x2 2x ex,.f (x) -2x2ex 亠ix22xex-x22ex.1 分令 f (x)0,即=-x22 ex 0, 7 ex 0,x220.解得： x ； -J2 .函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 - .2,2 .4分(n)T函數(shù)f x在-1,1上單調(diào)遞增，.f(x) 0對-1,1都成立，:f (x)二-2xa ex 亠x2axex=-x2亠a -2 x aex,|-x a - 2 x a ex 0 對 x， -1,1 都成立.5 分i * x2e 0, - x - a-2 x a 0對 x 二 1,1 都成立,6 分2

5、 2即a x 2 x 1才取/-1對x -1,1都成立.x+1x + 1x+11 1 1令 y=x1,則 y=120. y=x1 -(川)若函數(shù)f x在R上單調(diào)遞減，則f (x) 0對xR都成立.2 2.: = a-2 4a 0,即a 4 0對X R都成立，即 II X2 a -2 x a ex 0 對 x R都成立，x2(e 0,. x- a-2 x-a 1)，則f(x)的反函數(shù)是A f 4(x)= 22(X ： 2)2B f (x) =2 (x 2)C. f (x)x-2 .=2 (x ： 2)1x 2D. f (x) =2 (x 2)答案A2.(聊城一模) 已知函數(shù)f (x) = 4 -

6、 x2,g(x)是定義在(：,0) - (0/:)上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí)，g(x)二log2 x,則函數(shù)y二f (x) g(x)的大致圖象為0bi.Vro答案B3.(番禺一模)已知函數(shù)f(x)Oxg2X，2X,X 0,若 f (a)=丄，則 a 二(x 乞 0.2B. 、2C. -1 或D . 1或 -2答案C14.(臨沂一模)已知函數(shù)f(x)= (-)x -log3x，若xo是方程f(x)=0的解，且OXi0時(shí)是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(2x)=f(三)的x +4所有x之和為C、一 8答案C7.(云南師大附中)若函數(shù)y =e2x 2與函數(shù)y = f x的圖象關(guān)于直線y = x對稱，貝U f x =A

7、. In ： Jx -1B.C. ln x 亠 1D. ln 寸5 +1答案B8.(青島一模)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,)上為增函數(shù)，且f(1) = 0 ,則不等式f(X)- f ( -X)0的解集為XA.(-1,o)U(1, *) B.(-：，-1)U(0,1) C.(：，-1)U(1, =) D . (T,0)U(01)答案D9.(日照一模)(6)函數(shù)f(x) =ln3-的零點(diǎn)一定位于區(qū)間2 xA . (1 , 2) B . (2, 3)C. ( 3, 4)D . (4, 5)答案A11.(泰安一模)已知函數(shù)y=f(x)與y = ex互為反函數(shù)，函數(shù) y=g(x)的圖像與y=f(x)圖像關(guān)于

8、x軸對稱，若g(a)=1,則實(shí)數(shù)a值為(D) e(A) -e1(B)- e1(C)- e答案C12.(江門一模)1函數(shù)y二ig(2x -1)的定義域是3x - 2A.2,B.廣12、.2, 3 丿| 2x 114.(棗莊一模)設(shè)函數(shù)f(x)=-32x 1答案Cx +1,x -1,0)13.(棗莊一模)已知f(X)= b +i,xqo,i，則關(guān)于右圖中函數(shù)圖象的表述正確的是( )A 是f(X-1)的圖象B .是f (-X)的圖象C.是f (| x|)或| f (x) |的圖象D .以上說法都不對 答案D(x 1)5(一仁 x 豈 2),則 f(f(f() - 5)二2(x 2)C. 7答案C15

9、.(深圳一模) 若函數(shù)f(x) =loga(x b)的圖象如右圖，其中=ax b的大致圖象是C.A.答案D、填空題1.(青島一模) 定義：區(qū)間為必丨為：x2的長度為x2-x!.已知函數(shù)y = 2兇的定義域?yàn)閘a,b】，值域?yàn)?,2】，則區(qū)間Ia,b】的長度的最大值與最小值的差為 答案12. (冠龍高級中學(xué)3月月考)已知函數(shù)f(x) =x2 - x，若f log3 m W f (2),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。8答案(- ，8)91 13. (閔行三中模擬) 若函數(shù)y = f(x)的值域是一,3，則函數(shù)F(x)= f(x)的值域2 f(x)是10答案2,扌4. (上海普陀區(qū))已知函數(shù)f (x 1 l

10、oga x(a 0且a = 1), f(x)是f (x)的反函數(shù)，若y = f J(x)的圖像過點(diǎn)(3,4)，則a =答案25.(上海十校聯(lián)考)已知函數(shù)f x = mx?亠m - 3 x 1的值域是0, ：)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案 0,1|9, :6. (上海盧灣區(qū)4月?？?(上海盧灣區(qū)4月模考)設(shè)f ( X)的反函數(shù)為f，( X)，若函數(shù)f(X)的圖像過點(diǎn)(1,2)，且f1(2x1，則X=.1 答案丄27. (宣威六中第一次月考)已知函數(shù) f(x)二ex Jn(x 1)-1(x _0)，則函數(shù)f(x)的最小值是答案0三、解答題3321、(聊城一模) 已知函數(shù)f(x)二x axb(a,b

11、為實(shí)數(shù)，且a 1)在區(qū)間1, 1上最2大值為1，最小值為2。(1 )求f (x)的解析式；(2)若函數(shù)g(x) = f (x) -mx在區(qū)間2, 2上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。解: (1) f (x) = 3x2 -3ax,令f(x) =0,得x1 =0,x2 二 a, a 1,f(x)在|-1,0上為增函數(shù)，在0,1上為減函數(shù).f (0) = b = 1,3 3 口-1)=孑，鮒)=2-?a, f(-1) In解: (I) f(x) =ex,x + m由x=0是極值點(diǎn)，故f(0) =0,得e0 =0.0 + m故 m=1.故 f (x)二 ex -In(x 1) -1(x -1)x 1

12、當(dāng)-1 V xV 0時(shí)，f(x) =e - v 0,函數(shù)在(-1 , 0)內(nèi)是減函數(shù)；x +11當(dāng)x 0時(shí)，f(x)=ex 0,函數(shù)f (x)在(0, +8)內(nèi)是增函數(shù)。x +1所以x=0時(shí)，f(0)=0，則函數(shù)f(x)取得最小值為0. 6分(n)由(I)知：f (x) 0,故 e-1 ln( x+1)。t a b_0 ab1且 ab= 0 故 ea 43 -1 ln (a - b 1)8分又a +1(a -b 1)-b+1(a -b 1)(b 1) - (a 1) b+1ab -b2= b(a-b) 0 b 1b 1故a +1(a -b 1)b+110分故aIn (a -b 1) - In+

13、 1b +1由得ea -1 In 口12分b +12 23、(臨沂一模)設(shè)函數(shù) f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a.(I )當(dāng)a=0時(shí)，f(x) h(x)在(1,+ a)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(II)當(dāng)m=2時(shí)，若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x) 在1,3 上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍(III )是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性?xIn x若存在，求出m的值，若不存在，說明理由。解：(1 )由 a=O,f(x) h(x)可得-mlnx -xx記，則f(x) h(x)在(1,+ a)上恒成立等價(jià)于m乞(x)min In x求

14、得 (x)二In x -1ln2x當(dāng) x (1,e)時(shí)；(x) ：0；當(dāng) x (e,二)時(shí)，:(x)0故(x)在x=e處取得極小值，也是最小值, 即(x)min 二(e) =e，故 m 乞 e (2) 函數(shù)k(x)=f(x)-h(x) 在:1,3 :上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程x-2lnx=a ,在1,3 :上恰有兩個(gè)相異實(shí)根。2令 g(x)=x-2Inx,則 g (x) =1 -一x當(dāng) x 1,2)時(shí)，g(x) g(3),只需 g(2)a 0,解得 x或x-(舍去)故m0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為|I單調(diào)遞減區(qū)間為(。，擰)而h(x)在(。,)上的單調(diào)遞減區(qū)間是eq，單調(diào)遞增區(qū)間是故只需1，

15、解之得m=!即當(dāng)m=!時(shí)，函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在其公共定義域上具有2 2 2相同的單調(diào)性。2x4、(東莞一模) 已知 f (x) =x ax a (a _2,x R) , g(x) =e_，(x)二 f (x) g(x).(1 )當(dāng)a =1時(shí)，求：(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 求g(x)在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x =1及曲線g(x)所圍成的封閉圖形的面積；(3) 是否存在實(shí)數(shù)a，使C(x)的極大值為3 ?若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由解：(1)當(dāng) a =1 時(shí)，(x) = (x2 x 1)e,心(x) =(-x2 x) . ( 1 分)當(dāng): J(x)0 時(shí),0：;x：1;當(dāng) G

16、(x) ：0 時(shí),x 1 或 x：0.(3 分)(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為：(皿,0) , (1,畑).(4 分)(2)切線的斜率為k =g(0) - -e |x衛(wèi)-1 ,-切線方程為y - -x T (6分)所求封閉圖形面積為1112 111Se 一(X 1)dx (e x 1)dx 二(ex x)|o0022 e(8分)(3) ：；：(x) =(2x a)e -e(x2 ax a) =e-x2 (2 -a)x , ( 9 分)(10 分)令 ” (x) =0,得x= 0或x = 2a .列表如下:x(-m, 0)0(0, 2 一 a)2-a(2 - a, +)(X)一

17、0+0(X)極小/極大設(shè)(a) =(4 a)ea3(a) =(3 a)ea 0 ,在(_：,2)上是增函數(shù)，(13分) Ma)乞與2) =2 ：3，即(4a)ea*=3 ,不存在實(shí)數(shù) a,使事(x)極大值為3. ( 14)In x5、(茂名一模)已知f(x)二ax-lnx,x (0,e, g(x)，其中e是自然常數(shù)，a R.x(i)討論a =1時(shí)，f (x)的單調(diào)性、極值；1(n)求證：在(i)的條件下，f (x) - g(xp -；2(川)是否存在實(shí)數(shù) a，使f (x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.1 X 1(i) f(x)=x-l nx , f(x)=1二 1 分x

18、 x當(dāng) 0 X ： 1時(shí)，f/(X)： 0 ,此時(shí)f (x)單調(diào)遞減當(dāng)1 0=: x :a1 a2 1 + J1 + a2即函數(shù)f(X )在(1w a )上單調(diào)遞增；a a1 - T - a2a當(dāng) 一 1 ： a : 0 時(shí)，有.： 0, f x 0二 x ：11 7a即函數(shù)f x在(-：J),(匸上：)上單調(diào)遞增aa),(7、解：(1)an 1 =an 2an4,兩邊加 an 得：an 1 an =2(an an4)(n - 2),an 1 an是以 2 為公比，a! a 4為首項(xiàng)的等比數(shù)列an 1 an =42nl= 2 2由 an 1 二 an 2anj 兩邊減 2an 得:an 1 2

19、an-(a 2a) (n 2) . a* .1 -2an是以-1為公比，a2-2ai=-2為首項(xiàng)的等比數(shù)列.an 1 2an -2L(-1)n =2_(-1)n -得：3an =22n2-(-1)n所以，所求通項(xiàng)為an2n3當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an 1厶3丄3二an 22n 12n -1J22nL_2n2n-2n_14l-2*.2“3 2nJ 2n3,1122二/ . 2n j _ 2_2n2n = 2 (尹班)(_ 2)1 1.+aa2丄：3(1 1g2 222an3221心歹31當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，：an2 1寫2_(可O 00,又n 1為偶數(shù)an 1.由(1)知,丄:丄丄丄丄310分a2ana1a2

20、an an 1f(n )1f(n) f(n 1)12分kd f(k) 1-f(1)f(2)1f(2)1f (1) f(n 1) f(1)1 1 f(3)12.f (n) f(n 1)8、(深圳一模)2已知函數(shù) f (x) = aln(12x) - x ( a 0， x (0,1). |jO(3)證明：,f (n 1) - f (n) = f (n) - 0.f(n 1) _ f (n),. f (n 1)_ f(n) _ f (n 1)八心 f (1) = 202f(n 1)f (n) f(n) f (n) f (n) 1 f (n) f(n) 1(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;2(n)若

21、不等式1 n2，_n2ln(1 )對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.a解：(I) f (x)2X1 +ax2-2ax -2x a1 +ax由-2ax2 - 2x a =0，得 x一仁.2a212a一1 一 一2a212a:0 ,-12a2 12a-1.2a212a2a211：1.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為2a2a21 -12a,1)1221(n)【法一】不等式2八In( 1),即為咒#：ln(1 ) 亍 (探)nnnn1 .令 x，當(dāng) n N 時(shí)，x (0,1.n則不等式 序)即為-In(1 2x) - x2 . 9分令 g(x)=ln(12x)-x2, x (0,1,在f (

22、x)的表達(dá)式中，當(dāng)a =2時(shí)，f(x)二g(x),又；a =2時(shí),1 、 1、-g(x)在(0,)單調(diào)遞增，在(一，1)單調(diào)遞減.2 2111g(x)在x時(shí)，取得最大，最大值為g() = In 2.224211因此，對一切正整數(shù) n，當(dāng)n =2時(shí)，ln(1 )2取得最大值In 2_nn41.實(shí)數(shù)的取值范圍是，-l n 2 - .41 2 2 1【法二】不等式ln(1 )，即為_ ln(1 )2n n14分1n2 1設(shè) g(x) =ln(1)2 (x -1),x x2_ 2 g (x)二 1 x2 x22-2x 2x 4+ =x3x3(x 2)令 g(x)=o.10分當(dāng) X (1,2)時(shí)，g (x)0 ,當(dāng) x (2,：)時(shí)，g (x) : 0 .1.當(dāng)x二2時(shí)，g(x)取得最大值In 2 -41因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是_ In 2 -1 .41 29、(湛江一模) 已知函數(shù) f(x) =(a )x ln x