圖論模型在實際中的應(yīng)用課件

1、數(shù)學(xué)建模,雷濤 羅睿辭 王堯 汪瑜婧,圖論模型在實際中的應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的定義,目前還沒有統(tǒng)一的定義 數(shù)學(xué)模型是為一種特殊目的而建立的一個抽象的、簡化的結(jié)構(gòu)。 描述現(xiàn)實世界的一部分特征 表現(xiàn)事物之間的一部分客觀聯(lián)系,圖論模型在實際中的應(yīng)用,數(shù)學(xué)模型的分類,微分方程模型 差分方程模型 層次分析模型 線性規(guī)劃模型 動態(tài)規(guī)劃模型 圖論模型 其它模型,圖論模型在實際中的應(yīng)用,主要內(nèi)容,建模的方法和步驟 汪瑜婧 圖論模型的建立 羅睿辭 圖論模型的選擇和關(guān)系的簡化 雷濤 其它數(shù)學(xué)模型舉例 王堯,圖論模型在實際中的應(yīng)用,建模的方法和步驟,模型準備 模型假設(shè) 模型的建立 模型求解與分析 模型檢驗 模型應(yīng)用,圖論

2、模型在實際中的應(yīng)用,問題的提出,2007CUMCM B題 乘公交，看奧運 給定若干條公交線路，以及在每條公交線路中任意相鄰的兩站之間所花費的時間。 并且給定乘客在任意站點換乘的耗時 要求給出任意兩公汽站點之間線路選擇問題的一般數(shù)學(xué)模型與算法，求出最佳的公交線路,圖論模型在實際中的應(yīng)用,模型的假設(shè),對”最優(yōu)”的理解有三個具有代表性的指標： 時間最短 花費最少 最方便（換乘次數(shù)最少） 不同的人群對最優(yōu)的理解不同,需要根據(jù)實際定義.可以根據(jù)需要定義代價函數(shù),三個指標的權(quán)重不同,代價值也不同。 以時間最短為例,圖論模型在實際中的應(yīng)用,模型的建立,G=(V,E) 每個車站：G的頂點 每條公交線路相鄰兩點

3、的連線：G的邊 邊的權(quán)重：耗費時間 點的權(quán)重：換乘時間 并不是一個簡單圖，兩點間可能有多條邊,5,9,3,7,a,c,b(8,圖論模型在實際中的應(yīng)用,考慮a經(jīng)過b到c的最短路徑 由于有換乘的情況，只記錄任意兩點間的最短路徑是不夠的。 并非一個標準的圖論模型,與經(jīng)典最短路徑問題比較,5,6,7,a,c,b(8,Min(a,b)=5 Min(b,c)=3 Min(a,c)=5+6=11,3,圖論模型在實際中的應(yīng)用,轉(zhuǎn)化成標準的圖論模型,每條公交線路抽象為一層 層與層之間相連的頂點均代表同一個車站 它們之間的邊(虛線)的權(quán)值為換乘花費的時間,調(diào)用M*M次Dijkstra算法才能得到最優(yōu)解 M為公交線

4、路的總數(shù),圖論模型在實際中的應(yīng)用,回顧上圖 導(dǎo)致無法使用標準算法原因: Min(a,b)和Min(b,c)之間需要計算附加耗時 不用換車的線路成為最佳路徑 改進的想法:一次性地處理不用換車的情況,5,6,7,a,c,Min(a,b)=5 Min(b,c)=3 Min(a,c)=5+6=11,3,b(8,圖論模型在實際中的應(yīng)用,模型的求解,標準算法: 每次選擇一個新頂點進行擴展 所有頂點擴展完畢即為最優(yōu)解 修改后的算法 每次對一個頂點所能選擇的所有公交線路擴展 所有不用換乘就能到達的頂點均在一次中處理 所有頂點擴展完畢即為最優(yōu)解,圖論模型在實際中的應(yīng)用,算法描述,一次將擴展出多個頂點,用最小值堆

5、保存 初始: 起點對應(yīng)的節(jié)點S入堆；并賦予標志信息Time(S)=0 取堆頂,對此定點,逐一枚舉所有不用換乘就能到達的頂點,更新堆中對應(yīng)點的標志信息. 不斷重復(fù)取堆頂?shù)倪^程,直到取出的頂點為最終目標T Time(T)即為所求,圖論模型在實際中的應(yīng)用,舉例說明算法步驟,3,2,4,5,1,3,2,a,b,c,d,e,f,g,12,9,8,15,9,20,6,11,9,22,5,考慮頂點b到頂點g的路徑,圖論模型在實際中的應(yīng)用,問題重述,加入步行的因素,即任意兩個車站之間人都可能通過步行到達,并給出步行的時間代價,圖論模型在實際中的應(yīng)用,由于每兩點之間均有步行路徑,每次擴展都將涉及到所有頂點,復(fù)雜

6、度增加不少 改進的辦法 預(yù)處理 找到兩個相鄰頂點之間路徑的最小值,如果它加上兩個頂點的權(quán)值之后后,仍然小于一些其它的路徑,就可以將其它路徑刪除.這樣至少可以刪除不少步行路徑 考慮實際情況,可設(shè)定步行時間的上限,5,6,7,a,c,加入步行的路徑 并給定權(quán)值,20,圖論模型在實際中的應(yīng)用,算法的總結(jié),關(guān)鍵在于如何解決換乘的耗時 擴展節(jié)點的策略與經(jīng)典算法不同 算法實際用到了分支界限法的思想 類似于回溯法，但是求解的目標不同。 目標：找到使目標函數(shù)取極值的解,圖論模型在實際中的應(yīng)用,分支界限法思想,以廣度優(yōu)先或以最小耗費（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹 從一個點開始，每次以一定的策略擴展一些

7、結(jié)點。每一個活結(jié)點一旦成為擴展結(jié)點，就一次性產(chǎn)生其所有子結(jié)點，并從活節(jié)點中移除。在產(chǎn)生 的子結(jié)點中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的子結(jié)點被舍棄，其余的加入活結(jié)點表中,圖論模型在實際中的應(yīng)用,選擇擴展的節(jié)點,從活結(jié)點表中選擇下一擴展結(jié)點可能有不同的方式 隊列式分支限界法：先入先出的原則 優(yōu)先隊列式分支限界法：選擇優(yōu)先級最高的節(jié)點進行擴展 最大效益問題：最大值堆 最小耗費問題：最小值堆,圖論模型在實際中的應(yīng)用,一個簡單的例子,印刷電路板將布線區(qū)域劃分為nm個方格陣列 精確的電路板布線問題要求確定連接方格a的中點到方格b的中點的最短布線方案。 布線時電路只能沿直線或直角布線。 為避免線路相交，已布線方

8、格做上封閉標記，其他線路布線不允許穿過封閉區(qū)域,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,建模步驟的總結(jié),模型的準備 提出問題，搜集數(shù)據(jù)。 模型的假設(shè) 根據(jù)實際情況，提出合理的假設(shè)簡化問題。 模型的建立 根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學(xué)工具，構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),圖論模型在實際中的應(yīng)用,建模步驟的總結(jié),模型的分析與求解 已建立的模型是否有標準解法 轉(zhuǎn)化

9、成標準模型 對已有的標準解法修改，以適應(yīng)模型的求解 模型的檢驗 靈敏性，魯棒性 模型的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型的引入,引例 現(xiàn)有6個人，任意兩人之間或者相互認識，或者相互不認識，證明這6個人中，或者有3個人彼此都認識，或者有3個人彼此不認識,圖論模型在實際中的應(yīng)用,思路一,只有6個人，人數(shù)非常少，可以枚舉任意兩人之間的關(guān)系，然后判斷每一種情況是否符合題意。如果所有情況都滿足，則命題成立。 雖然只有6個人，但是這樣做的時間復(fù)雜度可不低，枚舉次數(shù)為215 只能借助計算機了,有沒有人可以直接證明的辦法呢,圖論模型在實際中的應(yīng)用,思路二,有了圖論這個強大的工具 我們還是像往常一樣，以人為

10、頂點，關(guān)系為邊，建圖 但是為了以后的直觀，這里圖的建立有一點小小的不同： 如果兩個人之間相互認識，則在這兩個人(頂點)間連一條紅色邊，如果兩個人不認識，則在這兩個人(頂點)間連一條藍色邊(下面會看到這樣做的好處) 那么這樣我們就得到了一個由紅邊和藍邊組成的6階完全圖 我們實際上要證明的就是這個圖中或者存在一個紅三角形(認識)，或者存在一個藍三角形(不認識,圖論模型在實際中的應(yīng)用,任取一個頂點v0，由它連出5條邊到其它的頂點，這五條邊只有紅色和藍色兩種 根據(jù)抽屜原理，肯定有一種顏色的邊有3條或3條以上,不妨設(shè)為紅色,vi,v0,vj,vk,如果vi,vj,vk之間的邊都是藍邊，則圖中存在一個藍三

11、角形 如果至少有1條為紅邊，那么它總會與v0發(fā)出的兩條紅邊組成一個紅三角形。 這樣就證明了這個命題,圖論模型在實際中的應(yīng)用,現(xiàn)有n根長度不同的小木棍，每根木棍數(shù)量無限，取出一些小木棍可以拼出一根長度為這些小木棍長度之和的木棍?，F(xiàn)在要求最小的整數(shù)k，使得長度大于等于k的木棍都能夠被給出的n根小木棍拼出,例如，現(xiàn)在有3根小木棍，長度分別3,5,7 它們可以拼出長度為3,5,6,7,8,9,10,11,12,13的木棍，看上去5就是答案，怎么證明呢？ 可以考慮把能夠拼出來的木棍長度x根據(jù)模3的結(jié)果分成3類(0,1,2) 對于x mod 3=0,3能夠拼出來，那么6,9,12等等模3為0的數(shù)都可以被拼

12、出來 對于x mod 3=1，7能被拼出來，那么7,10,13等等都能被拼出來 對于x mod 3=2，5能被拼出來，那么8,11,14等等都能被拼出來 也就是說，5確實是我們要求的答案,這個題看上去似乎毫無頭緒，那就先看看簡單的情況吧,圖論模型在實際中的應(yīng)用,根據(jù)上面的證明，可以發(fā)現(xiàn)一種思路，不妨把上述結(jié)果推廣一下： 設(shè)n根木棍的長度為L1,L2,Ln,不妨設(shè)L1為所有木棍中最短的 現(xiàn)在把能夠拼出的木棍長度根據(jù)模L1的結(jié)果分為L1類(0,1L1-1),若某一類中的數(shù)模L1的結(jié)果為i,則它們組成的集合為Si 顯然，如果存在一個集合Si為空，則問題無解 現(xiàn)在考慮所有集合都不為空的情況： 設(shè)每個集

13、合的最小元為b0,b1bl1-1 (集合不為空，肯定存在最小元) 那么如何去求題目要求的k呢,圖論模型在實際中的應(yīng)用,考慮這樣一個值：k=max bn - L1，10. k不屬于任何Si集合,否則與k是某個S中最小元。即k不能被小木棍拼出。 對任意Lk,設(shè)L Sp，L+L1maxbn=bp 故Lbp-L1 而L bp (mod p) 所以 L=bp，所以L一定能夠被拼出 由以上兩點可知，k一定是不能被拼出的木棍長度中的最大值 那么k+1就是我們要求的答案,圖論模型在實際中的應(yīng)用,還剩下最后一步：求b0,b1,b2bl1-1,也就是每個集合中的最小元 事實上，每一個能被拼出來的木棍長度x，都是從

14、0開始，用已有的小木棍拼出來的。那么就可以把集合的編號看做頂點，小木棍的長度看邊的長度，建立一個圖。對于每個點i(集合i)，都連出n條邊，長度為L1,L2Ln。對于長度為Lk的邊，連向編號為(i+Lk) mod L1的頂點。 對于從頂點i到j(luò)的一條長度為L的路徑，表示集合i中的一個數(shù)加上L后得到的數(shù)屬于集合j。 對于任意一個能拼出來的數(shù)x(設(shè)x mod L1=p),根據(jù)上面的建圖規(guī)則，x一定是點0到p的一條路徑的長度。 反過來，0到p的所有路徑長度都屬于Sp。 所以，可以得出結(jié)論：Sp中的最小元其實就是頂點0到頂點p的最短路徑長度。 有了這個結(jié)論，我們就可以很容易的求出序列bn了 至此，這個問

15、題也就被完美的解決,圖論模型在實際中的應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模模型的選擇、關(guān)系的簡化,很多問題都是通過建立圖論模型解決的 圖論中常見的模型有序列、樹、各種圖 如何有效選擇數(shù)學(xué)模型，簡化原問題中元素之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵,圖論模型在實際中的應(yīng)用,題目,坐船問題（改編自湖南省信息學(xué)省隊選拔賽試題） 北大有n個學(xué)生去公園劃船： 一只船最多坐2個人； 出于娛樂目的，大家決定同船的2個人要么同姓要么同名； 每個人都必須上船，且不能有腳踏多只船的情況 問最少需要幾只船,圖論模型在實際中的應(yīng)用,例子,6個同學(xué)：姚金宇，李金宇，姚峰宏，陳峰宏,姚金宇 李金宇,陳峰宏 姚峰宏,圖論模型在實際中的應(yīng)用,例子,4個同學(xué)：

16、陳峰宏，囧峰宏，羅睿辭，廖葉子 羅睿辭同學(xué)想和廖葉子同學(xué)坐同一船是不行的，因為他們不同名也不同姓,圖論模型在實際中的應(yīng)用,將每一同學(xué)視為一元素，元素之間的關(guān)系為同名或者同姓 構(gòu)圖是很自然的思路：2名同學(xué)同名或者同姓就連一條邊 一條邊就代表了一種坐船的搭配方式 用最少的邊覆蓋圖中的點一般圖的最小邊覆蓋問題 一般圖最大匹配問題，算法復(fù)雜，實現(xiàn)麻煩,建模,圖論模型在實際中的應(yīng)用,建模,圖是本題信息最充分、最自然的模型，但其中數(shù)據(jù)關(guān)系存在很多冗余，沒有充分利用原題的條件 單獨看同名、同姓這2種關(guān)系，它們都是等價關(guān)系，具有傳遞性 那么換一種模型構(gòu)造如何？ 把圖轉(zhuǎn)換成樹來考慮,圖論模型在實際中的應(yīng)用,建模

17、,對于原圖中的每一個連通分量，一定可以轉(zhuǎn)換成一棵二叉樹 樹中一個結(jié)點的左孩子跟其同姓； 一個結(jié)點的右孩子跟其同名。 證明用反證法,圖論模型在實際中的應(yīng)用,問題的解決,含有n個點的連通分量，至少需要(n+1) div 2只船 使用貪心法，一定可以構(gòu)造出一個只需(n+1) div 2只船的解,羅納爾多是羅貫中的獨生子，去掉他們2個，樹依然連通,廖睿辭依然是羅睿辭的獨生子，將它們分成一組,得到了一個最優(yōu)解,圖論模型在實際中的應(yīng)用,貪心構(gòu)造,1、若葉子結(jié)點是父親的獨生子，則刪去它們2個，樹依然保持性質(zhì) 2、若父親結(jié)點有2個孩子 重復(fù)以上步驟直至樹為空或者只剩一個結(jié)點為止,圖論模型在實際中的應(yīng)用,貪心舉

18、例,圖論模型在實際中的應(yīng)用,貪心舉例,圖論模型在實際中的應(yīng)用,貪心舉例,圖論模型在實際中的應(yīng)用,貪心舉例,圖論模型在實際中的應(yīng)用,貪心舉例,圖論模型在實際中的應(yīng)用,貪心舉例,圖論模型在實際中的應(yīng)用,小結(jié),通過無向圖到二叉樹的轉(zhuǎn)化，將一個復(fù)雜的匹配問題用簡單貪心解決了 建模是一個去粗取精的過程，要盡可能利用對我們有利的信息，而忽略那些與我們目標無關(guān)的信息 LCA與RMQ問題之間相互轉(zhuǎn)化，就是樹形模型與序列模型相互輔助的經(jīng)典例子 希望本例會對同學(xué)們今后的解題有所幫助,圖論模型在實際中的應(yīng)用,其它數(shù)學(xué)模型舉例,圖論模型在實際中的應(yīng)用,圖論模型在實際中的應(yīng)用,棋 盤 多 項 式,圖論模型在實際中的應(yīng)用,At,圖論模型在實際中的應(yīng)用,另外，我們回到剛才的問題 我們可以注意到白格主教和黑格主教是不會互相攻擊的 所以問題可以化簡為白格放i(i=k)