2020屆山東高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第八章§82直線平面平行的判定和性質(zhì)

1、高考數(shù)學(xué),山東專用,8.2,直線、平面平行的判定和性質(zhì),A,組,山東省卷、課標(biāo)卷題組,考點(diǎn),平行的判定和性質(zhì),五年高考,1,2019,課標(biāo)全國理,18,12,分,如圖,直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面是菱形,AA,1,4,AB,2,BAD,60,E,M,N,分別是,BC,BB,1,A,1,D,的中點(diǎn),1,證明,MN,平面,C,1,DE,2,求二面角,A,MA,1,N,的正弦值,解析,本題主要考查線面平行的判定定理,線面垂直的性質(zhì)定理,二面角求解等知識(shí)點(diǎn),旨在考,查學(xué)生的空間想象能力,以直四棱柱為模型考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),1,連接,B,1,C,ME

2、,因?yàn)?M,E,分別為,BB,1,BC,的中點(diǎn),所以,ME,B,1,C,且,ME,B,1,C,又因?yàn)?N,為,A,1,D,的中,點(diǎn),所以,ND,A,1,D,由題設(shè)知,A,1,B,1,DC,可得,B,1,C,A,1,D,故,ME,ND,因此四邊形,MNDE,為平行四,邊形,MN,ED,又,MN,平面,EDC,1,所以,MN,平面,C,1,DE,2,由已知可得,DE,DA,以,D,為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?x,軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐,標(biāo)系,D,xyz,則,A,2,0,0,A,1,2,0,4,M,1,2,N,1,0,2,(0,0,-4,(-1,2,(-1,0,-2,(0,1,2,1,2,DA

3、,3,1,A,A,1,A,M,3,1,A,N,MN,3,0,設(shè),m,x,y,z,為平面,A,1,MA,的法向量,則,所以,可取,m,1,0,設(shè),n,p,q,r,為平面,A,1,MN,的法向量,則,所以,可取,n,(2,0,-1,于是,cos,m,n,所以二面角,A,MA,1,N,的正弦值為,1,1,A,0,A,0,m,M,m,A,3,2,0,4,0,x,y,z,z,3,1,MN,0,A,0,n,n,N,3,0,2,0,q,p,r,m,n,m,n,2,3,2,5,15,5,10,5,思路分析,1,要證明線面平行,可先證線線平行,通過作輔助線及題設(shè)條件可得,MN,ED,從而,可得,MN,與平面,C

4、,1,DE,平行,2,建立空間直角坐標(biāo)系,找到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面,A,1,MA,與平面,A,1,MN,的法向量,再由向量的,夾角公式求解,解題關(guān)鍵,建立空間直角坐標(biāo)系后,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),正確求解平面的法向量是解決本題的關(guān)鍵,2,2017,山東文,18,12,分,由四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,截去三棱錐,C,1,B,1,CD,1,后得到的幾何體如圖所,示,四邊形,ABCD,為正方形,O,為,AC,與,BD,的交點(diǎn),E,為,AD,的中點(diǎn),A,1,E,平面,ABCD,1,證明,A,1,O,平面,B,1,CD,1,2,設(shè),M,是,OD,的中點(diǎn),證明,平面,A,1,EM,平面,B

5、,1,CD,1,證明,本題考查線面平行與面面垂直,1,取,B,1,D,1,的中點(diǎn),O,1,連接,CO,1,A,1,O,1,由于,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是四棱柱,四邊形,ABCD,為正方形,O,為,AC,與,BD,的交點(diǎn),所以,A,1,O,1,OC,A,1,O,1,OC,因此四邊形,A,1,OCO,1,為平行四邊形,所以,A,1,O,O,1,C,又,O,1,C,平面,B,1,CD,1,A,1,O,平面,B,1,CD,1,所以,A,1,O,平面,B,1,CD,1,2,因?yàn)?AC,BD,E,M,分別為,AD,和,OD,的中點(diǎn),所以,EM,BD,又,A,1,E,平面,ABCD,BD

6、,平面,ABCD,所以,A,1,E,BD,因?yàn)?B,1,D,1,BD,所以,EM,B,1,D,1,A,1,E,B,1,D,1,又,A,1,E,EM,平面,A,1,EM,A,1,E,EM,E,所以,B,1,D,1,平面,A,1,EM,又,B,1,D,1,平面,B,1,CD,1,所以平面,A,1,EM,平面,B,1,CD,1,3,2016,山東,17,12,分,在如圖所示的圓臺(tái)中,AC,是下底面圓,O,的直徑,EF,是上底面圓,O,的直徑,FB,是圓臺(tái)的一條母線,1,已知,G,H,分別為,EC,FB,的中點(diǎn),求證,GH,平面,ABC,2,已知,EF,FB,AC,2,AB,BC,求二面角,F,BC,

7、A,的余弦值,1,2,3,解析,1,證明,設(shè),FC,中點(diǎn)為,I,連接,GI,HI,在,CEF,中,因?yàn)辄c(diǎn),G,是,CE,的中點(diǎn),所以,GI,EF,又,EF,OB,所以,GI,OB,在,CFB,中,因?yàn)?H,是,FB,的中點(diǎn),所以,HI,BC,又,HI,GI,I,所以平面,GHI,平面,ABC,因?yàn)?GH,平面,GHI,所以,GH,平面,ABC,2,解法一,連接,OO,則,OO,平面,ABC,又,AB,BC,且,AC,是圓,O,的直徑,所以,BO,AC,以,O,為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,O,xyz,由題意得,B,0,2,0,C,2,0,0,所以,(-2,2,0,過點(diǎn),F,作,FM

8、,垂直,OB,于點(diǎn),M,所以,FM,3,可得,F,0,3,故,(0,3,設(shè),m,x,y,z,是平面,BCF,的法向量,3,3,BC,3,3,2,2,FB,BM,3,BF,3,由,可得,可得平面,BCF,的一個(gè)法向量,m,因?yàn)槠矫?ABC,的一個(gè)法向量,n,(0,0,1,所以,cos,m,n,所以二面角,F,BC,A,的余弦值為,解法二,連接,OO,過點(diǎn),F,作,FM,垂直,OB,于點(diǎn),M,BC,0,BF,0,m,m,2,3,2,3,0,3,3,0,x,y,y,z,3,1,1,3,m,n,m,n,7,7,7,7,則有,FM,OO,又,OO,平面,ABC,所以,FM,平面,ABC,可得,FM,3,

9、過點(diǎn),M,作,MN,垂直,BC,于點(diǎn),N,連接,FN,可得,FN,BC,從而,FNM,為二面角,F,BC,A,的平面角,又,AB,BC,AC,是圓,O,的直徑,所以,MN,BM,sin 45,2,2,FB,BM,6,2,從而,FN,可得,cos,FNM,所以二面角,F,BC,A,的余弦值為,42,2,7,7,7,7,評(píng)析,正確找到二面角的平面角或正確計(jì)算平面的法向量是求解的關(guān)鍵,B,組,課標(biāo)卷、其他自主命題省,區(qū)、市,卷題組,考點(diǎn),平行的判定和性質(zhì),1,2019,課標(biāo)全國理,7,5,分,設(shè),為兩個(gè)平面,則,的充要條件是,A,內(nèi)有無數(shù)條直線與,平行,B,內(nèi)有兩條相交直線與,平行,C,平行于同一條

10、直線,D,垂直于同一平面,答案,B,本題考查直線、平面平行與垂直的位置關(guān)系,以充要條件和面面平行為背景考查,推理論證能力與空間想象能力,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理,A,C,D,選項(xiàng)中,與,可能相交,故選,B,易錯(cuò)警示,A,C,D,三個(gè)選項(xiàng)中學(xué)生均可能忽略,相交的情況,2,2017,課標(biāo)全國文,6,5,分,如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B,為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q,為所,在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線,AB,與平面,MNQ,不平行的是,答案,A,本題考查線面平行的判定,B,選項(xiàng)中,AB,MQ,且,AB,平面,MNQ,MQ,平面,MNQ,則,AB,平面,MNQ,C,選項(xiàng)中,AB,MQ,且

11、,AB,平面,MNQ,MQ,平面,MNQ,則,AB,平面,MNQ,D,選項(xiàng)中,AB,NQ,且,AB,平面,MNQ,NQ,平面,MNQ,則,AB,平面,MNQ,故選,A,方法總結(jié),線面平行的判定方法,1,線面平行的判定定理,2,面面平行的性質(zhì)定理,3,2016,課標(biāo)全國,14,5,分,是兩個(gè)平面,m,n,是兩條直線,有下列四個(gè)命題,如果,m,n,m,n,那么,如果,m,n,那么,m,n,如果,m,那么,m,如果,m,n,那么,m,與,所成的角和,n,與,所成的角相等,其中正確的命題有,填寫所有正確命題的編號(hào),答案,解析,由,m,n,m,可得,n,或,n,在,內(nèi),當(dāng),n,時(shí),與,可能相交,也可能平

12、行,故錯(cuò),易知,都正確,4,2019,江蘇,16,14,分,如圖,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,D,E,分別為,BC,AC,的中點(diǎn),AB,BC,求證,1,A,1,B,1,平面,DEC,1,2,BE,C,1,E,證明,本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查,空間想象能力和推理論證能力,1,因?yàn)?D,E,分別為,BC,AC,的中點(diǎn),所以,ED,AB,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,AB,A,1,B,1,所以,A,1,B,1,ED,又因?yàn)?ED,平面,DEC,1,A,1,B,1,平面,DEC,1,所以,A,1,B,1,平面,DEC

13、,1,2,因?yàn)?AB,BC,E,為,AC,的中點(diǎn),所以,BE,AC,因?yàn)槿庵?ABC,A,1,B,1,C,1,是直棱柱,所以,C,1,C,平面,ABC,又因?yàn)?BE,平面,ABC,所以,C,1,C,BE,因?yàn)?C,1,C,平面,A,1,ACC,1,AC,平面,A,1,ACC,1,C,1,C,AC,C,所以,BE,平面,A,1,ACC,1,因?yàn)?C,1,E,平面,A,1,ACC,1,所以,BE,C,1,E,5,2019,天津理,17,13,分,如圖,AE,平面,ABCD,CF,AE,AD,BC,AD,AB,AB,AD,1,AE,BC,2,1,求證,BF,平面,ADE,2,求直線,CE,與平面,

14、BDE,所成角的正弦值,3,若二面角,E,BD,F,的余弦值為,求線段,CF,的長,1,3,解析,本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí),考查用,空間向量解決立體幾何問題的方法,考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力,重點(diǎn),考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算,依題意,可以建立以,A,為原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)?x,軸,y,軸,z,軸正方向的空間直角坐標(biāo)系,如圖,可得,A,0,0,0,B,1,0,0,C,1,2,0,D,0,1,0,E,0,0,2,設(shè),CF,h,h,0,則,F,1,2,h,1,證明,依題意,(1,0,0,是平面,ADE,的法向量,又,(0

15、,2,h,可得,0,又因?yàn)橹本€,BF,平面,ADE,所以,BF,平面,ADE,AB,AD,AE,AB,BF,BF,AB,2,依題意,(-1,1,0,(-1,0,2,(-1,-2,2,設(shè),n,x,y,z,為平面,BDE,的法向量,則,即,不妨令,z=1,可得,n,(2,2,1,因此有,cos,n,所以,直線,CE,與平面,BDE,所成角的正弦值為,3,設(shè),m,x,y,z,為平面,BDF,的法向量,則,即,不妨令,y,1,可得,m,BD,BE,CE,BD,0,BE,0,n,n,0,2,0,x,y,x,z,CE,CE,CE,n,n,4,9,4,9,BD,0,BF,0,m,m,0,2,0,x,y,y,

16、hz,2,1,1,h,由題意,有,cos,m,n,解得,h,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意,所以,線段,CF,的長為,m,n,m,n,2,2,4,4,3,2,h,h,1,3,8,7,8,7,思路分析,從已知條件線面垂直、線線垂直、線線平行入手,建立空間直角坐標(biāo)系,將立體幾,何中的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)關(guān)系,從而進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算,再將向量運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為立體幾何,中的位置關(guān)系或長度,方法總結(jié),利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟,觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量,設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直,其相應(yīng)方向向量數(shù)量積為零列出方程組求出法向量,將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量

17、關(guān)系,根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角或距離,6,2018,江蘇,15,14,分,在平行六面體,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AA,1,AB,AB,1,B,1,C,1,求證,1,AB,平面,A,1,B,1,C,2,平面,ABB,1,A,1,平面,A,1,BC,證明,本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系,考查空間想象能,力和推理論證能力,1,在平行六面體,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AB,A,1,B,1,因?yàn)?AB,平面,A,1,B,1,C,A,1,B,1,平面,A,1,B,1,C,所以,AB,平面,A,1,B,1,C,2,在平行六面體,ABCD,

18、A,1,B,1,C,1,D,1,中,四邊形,ABB,1,A,1,為平行四邊形,又因?yàn)?AA,1,AB,所以四邊形,ABB,1,A,1,為菱形,所以,AB,1,A,1,B,因?yàn)?AB,1,B,1,C,1,BC,B,1,C,1,所以,AB,1,BC,又因?yàn)?A,1,B,BC,B,A,1,B,平面,A,1,BC,BC,平面,A,1,BC,所以,AB,1,平面,A,1,BC,又因?yàn)?AB,1,平面,ABB,1,A,1,所以平面,ABB,1,A,1,平面,A,1,BC,7,2017,江蘇,15,14,分,如圖,在三棱錐,A,BCD,中,AB,AD,BC,BD,平面,ABD,平面,BCD,點(diǎn),E,F,E,

19、與,A,D,不重合,分別在棱,AD,BD,上,且,EF,AD,求證,1,EF,平面,ABC,2,AD,AC,證明,1,在平面,ABD,內(nèi),因?yàn)?AB,AD,EF,AD,所以,EF,AB,又因?yàn)?EF,平面,ABC,AB,平面,ABC,所以,EF,平面,ABC,2,因?yàn)槠矫?ABD,平面,BCD,平面,ABD,平面,BCD,BD,BC,平面,BCD,BC,BD,所以,BC,平面,ABD,因?yàn)?AD,平面,ABD,所以,BC,AD,又,AB,AD,BC,AB,B,AB,平面,ABC,BC,平面,ABC,所以,AD,平面,ABC,又因?yàn)?AC,平面,ABC,所以,AD,AC,方法總結(jié),立體幾何中證明

20、線線垂直的一般思路,1,利用兩平行直線垂直于同一條直線,a,b,a,c,b,c,2,線面垂直的性質(zhì),a,b,a,b,8,2016,四川,18,12,分,如圖,在四棱錐,P,ABCD,中,AD,BC,ADC,PAB,90,BC,CD,AD,E,為棱,AD,的中點(diǎn),異面直線,PA,與,CD,所成的角為,90,1,在平面,PAB,內(nèi)找一點(diǎn),M,使得直線,CM,平面,PBE,并說明理由,2,若二面角,P,CD,A,的大小為,45,求直線,PA,與平面,PCE,所成角的正弦值,1,2,解析,1,在梯形,ABCD,中,AB,與,CD,不平行,延長,AB,DC,相交于點(diǎn),M,M,平面,PAB,點(diǎn),M,即為所

21、求的一個(gè)點(diǎn),理由如下,由已知,BC,ED,且,BC,ED,所以四邊形,BCDE,是平行四邊形,從而,CM,EB,又,EB,平面,PBE,CM,平面,PBE,所以,CM,平面,PBE,說明,延長,AP,至點(diǎn),N,使得,AP,PN,則所找的點(diǎn)可以是直線,MN,上任意一點(diǎn),2,解法一,由已知,CD,PA,CD,AD,PA,AD,A,所以,CD,平面,PAD,從而,CD,PD,所以,PDA,是二面角,P,CD,A,的平面角,所以,PDA,45,設(shè),BC,1,則在,Rt,PAD,中,PA,AD,2,過點(diǎn),A,作,AH,CE,交,CE,的延長線于點(diǎn),H,連接,PH,易知,PA,平面,ABCD,又,CE,平

22、面,ABCD,從而,PA,CE,于是,CE,平面,PAH,所以平面,PCE,平面,PAH,過,A,作,AQ,PH,于,Q,則,AQ,平面,PCE,所以,APH,是,PA,與平面,PCE,所成的角,在,Rt,AEH,中,AEH,45,AE,1,所以,AH,在,Rt,PAH,中,PH,2,2,2,2,PA,AH,3,2,2,所以,sin,APH,解法二,由已知,CD,PA,CD,AD,PA,AD,A,所以,CD,平面,PAD,于是,CD,PD,從而,PDA,是二面角,P,CD,A,的平面角,所以,PDA,45,由,PA,AB,可得,PA,平面,ABCD,設(shè),BC,1,則在,Rt,PAD,中,PA,

23、AD,2,作,Ay,AD,以,A,為原點(diǎn),以,的方向分別為,x,軸,z,軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐,標(biāo)系,A,xyz,AH,PH,1,3,AD,AP,則,A,0,0,0,P,0,0,2,C,2,1,0,E,1,0,0,所以,(1,0,-2,(1,1,0,(0,0,2,設(shè)平面,PCE,的法向量為,n,x,y,z,由,得,設(shè),x,2,則可得,n,(2,-2,1,設(shè)直線,PA,與平面,PCE,所成角為,則,sin,所以直線,PA,與平面,PCE,所成角的正弦值為,PE,EC,AP,PE,0,EC,0,n,n,2,0,0,x,z,x,y,AP,AP,n,n,2,2,2,2,2,2,2,1,1

24、,3,1,3,9,2015,江蘇,16,14,分,如圖,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,已知,AC,BC,BC,CC,1,設(shè),AB,1,的中點(diǎn)為,D,B,1,C,BC,1,E,求證,1,DE,平面,AA,1,C,1,C,2,BC,1,AB,1,證明,1,由題意知,E,為,B,1,C,的中點(diǎn),又,D,為,AB,1,的中點(diǎn),因此,DE,AC,又因?yàn)?DE,平面,AA,1,C,1,C,AC,平面,AA,1,C,1,C,所以,DE,平面,AA,1,C,1,C,2,因?yàn)槔庵?ABC,A,1,B,1,C,1,是直三棱柱,所以,CC,1,平面,ABC,因?yàn)?AC,平面,ABC,所以,AC,C

25、C,1,又因?yàn)?AC,BC,CC,1,平面,BCC,1,B,1,BC,平面,BCC,1,B,1,BC,CC,1,C,所以,AC,平面,BCC,1,B,1,又因?yàn)?BC,1,平面,BCC,1,B,1,所以,BC,1,AC,因?yàn)?BC,CC,1,所以矩形,BCC,1,B,1,是正方形,因此,BC,1,B,1,C,因?yàn)?AC,B,1,C,平面,B,1,AC,AC,B,1,C,C,所以,BC,1,平面,B,1,AC,又因?yàn)?AB,1,平面,B,1,AC,所以,BC,1,AB,1,評(píng)析,本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,考查空間想象能力和推理論證能,力,10,2015,安徽,19,13,分,

26、如圖所示,在多面體,A,1,B,1,D,1,DCBA,中,四邊形,AA,1,B,1,B,ADD,1,A,1,ABCD,均為正,方形,E,為,B,1,D,1,的中點(diǎn),過,A,1,D,E,的平面交,CD,1,于,F,1,證明,EF,B,1,C,2,求二面角,E,A,1,D,B,1,的余弦值,解析,1,證明,由正方形的性質(zhì)可知,A,1,B,1,AB,DC,且,A,1,B,1,AB,DC,所以四邊形,A,1,B,1,CD,為平,行四邊形,從而,B,1,C,A,1,D,又,A,1,D,面,A,1,DE,B,1,C,面,A,1,DE,于是,B,1,C,面,A,1,DE,又,B,1,C,面,B,1,CD,1

27、,面,A,1,DE,面,B,1,CD,1,EF,所以,EF,B,1,C,2,因?yàn)樗倪呅?AA,1,B,1,B,ADD,1,A,1,ABCD,均為正方形,所以,AA,1,AB,AA,1,AD,AB,AD,且,AA,1,AB,AD,以,A,為原點(diǎn),分別以,為,x,軸,y,軸和,z,軸單位正向量建立如圖所示的空間直角坐標(biāo),系,可得點(diǎn)的坐標(biāo),A,0,0,0,B,1,0,0,D,0,1,0,A,1,0,0,1,B,1,1,0,1,D,1,0,1,1,而,E,點(diǎn)為,B,1,D,1,的中點(diǎn),所,以,E,點(diǎn)的坐標(biāo)為,0.5,0.5,1,設(shè)面,A,1,DE,的法向量,n,1,r,1,s,1,t,1,而該面上向量

28、,(0.5,0.5,0,(0,1,-1,由,n,1,n,1,AB,AD,1,AA,1,A,E,1,A,D,1,A,E,1,A,D,得,r,1,s,1,t,1,應(yīng)滿足的方程組,1,1,1,為其一組解,所以可取,n,1,(-1,1,1,設(shè)面,A,1,B,1,CD,的法向量,n,2,r,2,s,2,t,2,而該面上向量,(1,0,0,(0,1,-1,由此同理可得,n,2,(0,1,1,所以結(jié)合圖形知二面角,E,A,1,D,B,1,的余弦值為,1,1,1,1,0.5,0.5,0,0,r,s,s,t,1,1,A,B,1,A,D,1,2,1,2,n,n,n,n,2,3,2,6,3,評(píng)析,本題考查直線與直線

29、的平行關(guān)系以及二面角的求解,考查空間想象能力、邏輯推理能,力以及運(yùn)算求解能力,正確求解各點(diǎn)坐標(biāo)以及平面法向量是解決問題的關(guān)鍵,C,組,教師專用題組,考點(diǎn),平行的判定和性質(zhì),1,2019,課標(biāo)全國文,19,12,分,如圖,直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的底面是菱形,AA,1,4,AB,2,BAD,60,E,M,N,分別是,BC,BB,1,A,1,D,的中點(diǎn),1,證明,MN,平面,C,1,DE,2,求點(diǎn),C,到平面,C,1,DE,的距離,解析,本題考查了線面平行、垂直的判定和點(diǎn)到平面的距離,通過平行、垂直的證明,考查了,學(xué)生的空間想象力,體現(xiàn)了直觀想象的核心素養(yǎng),1,連接,B

30、,1,C,ME,因?yàn)?M,E,分別為,BB,1,BC,的中點(diǎn),所以,ME,B,1,C,且,ME,B,1,C,又因?yàn)?N,為,A,1,D,的中,點(diǎn),所以,ND,A,1,D,由題設(shè)知,A,1,B,1,DC,可得,B,1,C,A,1,D,故,ME,ND,因此四邊形,MNDE,為平行四邊形,MN,ED,又,MN,平面,C,1,DE,所以,MN,平面,C,1,DE,2,過,C,作,C,1,E,的垂線,垂足為,H,由已知可得,DE,BC,DE,C,1,C,所以,DE,平面,C,1,CE,1,2,1,2,故,DE,CH,從而,CH,平面,C,1,DE,故,CH,的長即為,C,到平面,C,1,DE,的距離,由

31、已知可得,CE,1,C,1,C,4,所以,C,1,E,故,CH,從而點(diǎn),C,到平面,C,1,DE,的距離為,17,4,17,17,4,17,17,思路分析,1,連接,B,1,C,ME,證明四邊形,MNDE,是平行四邊形,得出,MN,DE,然后利用線面平行,的判定定理證出結(jié)論,2,注意到,DE,平面,BCC,1,B,1,只需過點(diǎn),C,作,C,1,E,的垂線便可求解,2,2016,江蘇,16,14,分,如圖,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,D,E,分別為,AB,BC,的中點(diǎn),點(diǎn),F,在側(cè)棱,B,1,B,上,且,B,1,D,A,1,F,A,1,C,1,A,1,B,1,求證,1,直線,

32、DE,平面,A,1,C,1,F,2,平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F,證明,1,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,A,1,C,1,AC,在,ABC,中,因?yàn)?D,E,分別為,AB,BC,的中點(diǎn),所以,DE,AC,于是,DE,A,1,C,1,又因?yàn)?DE,平面,A,1,C,1,F,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,所以直線,DE,平面,A,1,C,1,F,2,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中,A,1,A,平面,A,1,B,1,C,1,因?yàn)?A,1,C,1,平面,A,1,B,1,C,1,所以,A,1,A,A,1,C,1,又因?yàn)?A,1,C,1,A,1

33、,B,1,A,1,A,平面,ABB,1,A,1,A,1,B,1,平面,ABB,1,A,1,A,1,A,A,1,B,1,A,1,所以,A,1,C,1,平面,ABB,1,A,1,因?yàn)?B,1,D,平面,ABB,1,A,1,所以,A,1,C,1,B,1,D,又因?yàn)?B,1,D,A,1,F,A,1,C,1,平面,A,1,C,1,F,A,1,F,平面,A,1,C,1,F,A,1,C,1,A,1,F,A,1,所以,B,1,D,平面,A,1,C,1,F,因?yàn)橹本€,B,1,D,平面,B,1,DE,所以平面,B,1,DE,平面,A,1,C,1,F,評(píng)析,本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系

34、,考查空間想象能,力和推理論證能力,3,2015,福建,17,13,分,如圖,在幾何體,ABCDE,中,四邊形,ABCD,是矩形,AB,平面,BEC,BE,EC,AB,BE,EC,2,G,F,分別是線段,BE,DC,的中點(diǎn),1,求證,GF,平面,ADE,2,求平面,AEF,與平面,BEC,所成銳二面角的余弦值,解析,1,證明,如圖,取,AE,的中點(diǎn),H,連接,HG,HD,又,G,是,BE,的中點(diǎn),所以,GH,AB,且,GH,AB,又,F,是,CD,的中點(diǎn),所以,DF,CD,由四邊形,ABCD,是矩形得,AB,CD,AB,CD,所以,GH,DF,且,GH,DF,從而四邊形,HGFD,是平行四邊形

35、,所以,GF,DH,又,DH,平面,ADE,GF,平面,ADE,所以,GF,平面,ADE,2,如圖,在平面,BEC,內(nèi),過,B,點(diǎn)作,BQ,EC,因?yàn)?BE,CE,所以,BQ,BE,1,2,1,2,又因?yàn)?AB,平面,BEC,所以,AB,BE,AB,BQ,以,B,為原點(diǎn),分別以,的方向?yàn)?x,軸,y,軸,z,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,A,0,0,2,B,0,0,0,E,2,0,0,F,2,2,1,因?yàn)?AB,平面,BEC,所以,(0,0,2,為平面,BEC,的法向量,設(shè),n,x,y,z,為平面,AEF,的法向量,又,(2,0,-2,(2,2,-1,由,得,BE,BQ,BA,BA,AE,

36、AF,AE,0,AF,0,n,n,2,2,0,2,2,0,x,z,x,y,z,取,z,2,得,n,(2,-1,2,從而,cos,n,所以平面,AEF,與平面,BEC,所成銳二面角的余弦值為,BA,BA,BA,n,n,4,3,2,2,3,2,3,4,2015,四川,18,12,分,一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示,在正,方體中,設(shè),BC,的中點(diǎn)為,M,GH,的中點(diǎn)為,N,1,請(qǐng)將字母,F,G,H,標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處,不需說明理由,2,證明,直線,MN,平面,BDH,3,求二面角,A,EG,M,的余弦值,解析,1,點(diǎn),F,G,H,的位置如圖所示,2,證明,連接,BD,

37、設(shè),O,為,BD,的中點(diǎn),因?yàn)?M,N,分別是,BC,GH,的中點(diǎn),所以,OM,CD,且,OM,CD,HN,CD,且,HN,CD,所以,OM,HN,OM,HN,所以,MNHO,是平行四邊形,從而,MN,OH,又,MN,平面,BDH,OH,平面,BDH,所以,MN,平面,BDH,1,2,1,2,3,解法一,連接,AC,過,M,作,MP,AC,于,P,在正方體,ABCD,EFGH,中,AC,EG,所以,MP,EG,過,P,作,PK,EG,于,K,連接,KM,所以,EG,平面,PKM,從而,KM,EG,所以,PKM,是二面角,A,EG,M,的平面角,設(shè),AD,2,則,CM,1,PK,2,在,Rt,C

38、MP,中,PM,CM,sin 45,在,Rt,PKM,中,KM,所以,cos,PKM,即二面角,A,EG,M,的余弦值為,解法二,如圖,以,D,為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,方向?yàn)?x,y,z,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,D,xyz,2,2,2,2,PK,PM,3,2,2,PK,KM,2,2,3,2,2,3,DA,DC,DH,設(shè),AD,2,則,M,1,2,0,G,0,2,2,E,2,0,2,O,1,1,0,所以,(2,-2,0,(-1,0,2,設(shè)平面,EGM,的法向量為,n,1,x,y,z,由,得,取,x,2,得,n,1,(2,2,1,在正方體,ABCD,EFGH,中,DO,平面,AEGC,則可取平

39、面,AEG,的一個(gè)法向量為,n,2,(1,1,0,所以,cos,n,1,n,2,GE,MG,1,1,GE,0,MG,0,n,n,2,2,0,2,0,x,y,x,z,DO,1,2,1,2,n,n,n,n,2,2,0,4,4,1,1,1,0,2,2,3,故二面角,A,EG,M,的余弦值為,2,2,3,評(píng)析,本題主要考查簡單空間圖形的直觀圖、空間線面平行的判定與性質(zhì)、二面角的平面,角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力,5,2014,課標(biāo)全國,18,12,分,如圖,四棱錐,P,ABCD,中,底面,ABCD,為矩形,PA,平面,ABCD,E,為,PD,的中點(diǎn),1,證明,PB,

40、平面,AEC,2,設(shè)二面角,D,AE,C,為,60,AP,1,AD,求三棱錐,E,ACD,的體積,3,解析,1,證明,連接,BD,交,AC,于點(diǎn),O,連接,EO,因?yàn)?ABCD,為矩形,所以,O,為,BD,的中點(diǎn),又,E,為,PD,的中點(diǎn),所以,EO,PB,又,EO,平面,AEC,PB,平面,AEC,所以,PB,平面,AEC,2,因?yàn)?PA,平面,ABCD,ABCD,為矩形,所以,AB,AD,AP,兩兩垂直,如圖,以,A,為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?x,軸的正方向,為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系,A,xyz,則,D,0,0,E,AB,AP,3,3,1,0,2,2,AE,3,1,0,2,2,設(shè),B,m,

41、0,0,m,0,則,C,m,0,m,0,設(shè),n,1,x,y,z,為平面,ACE,的法向量,則,即,可取,n,1,又,n,2,(1,0,0,為平面,DAE,的法向量,由題設(shè)得,cos,n,1,n,2,即,解得,m,因?yàn)?E,為,PD,的中點(diǎn),所以三棱錐,E,ACD,的高為,所以三棱錐,E,ACD,的體積,V,3,AC,3,1,1,AC,0,AE,0,n,n,3,0,3,1,0,2,2,mx,y,y,z,3,1,3,m,1,2,2,3,3,4,m,1,2,3,2,1,2,1,3,1,2,3,3,2,1,2,3,8,評(píng)析,本題考查線面平行的判定,利用空間向量解二面角問題,考查了學(xué)生的空間想象能力,6

42、,2014,江蘇,16,14,分,如圖,在三棱錐,P,ABC,中,D,E,F,分別為棱,PC,AC,AB,的中點(diǎn),已知,PA,AC,PA,6,BC,8,DF,5,求證,1,直線,PA,平面,DEF,2,平面,BDE,平面,ABC,證明,1,因?yàn)?D,E,分別為棱,PC,AC,的中點(diǎn),所以,DE,PA,又因?yàn)?PA,平面,DEF,DE,平面,DEF,所以直線,PA,平面,DEF,2,因?yàn)?D,E,F,分別為棱,PC,AC,AB,的中點(diǎn),PA,6,BC,8,所以,DE,PA,DE,PA,3,EF,BC,4,又因?yàn)?DF,5,故,DF,2,DE,2,EF,2,所以,DEF,90,即,DE,EF,又,

43、PA,AC,DE,PA,所以,DE,AC,因?yàn)?AC,EF,E,AC,平面,ABC,EF,平面,ABC,所以,DE,平面,ABC,又,DE,平面,BDE,所以平面,BDE,平面,ABC,1,2,1,2,評(píng)析,本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系,考查空間想象能,力和推理論證能力,A,組,2017,2019,年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組,考點(diǎn),平行的判定和性質(zhì),三年模擬,1,2019,山東師大附中四模,19,四邊形,ABCD,是菱形,四邊形,ACEF,是矩形,平面,ACEF,平面,ABCD,AB,2,AF,2,BAD,60,G,是,BE,的中點(diǎn),1,證明,CG,平面,BDF,2,

44、求二面角,E,BF,D,的余弦值,解析,1,證明,設(shè),AC,BD,O,BF,的中點(diǎn)為,H,連接,OH,GH,G,是,BE,的中點(diǎn),H,是,BF,的中點(diǎn),GH,EF,AC,GH,AC,OC,四邊形,OCGH,是平行四邊形,CG,OH,又,CG,平面,BDF,OH,平面,BDF,CG,平面,BDF,2,設(shè),EF,的中點(diǎn)為,N,連接,ON,四邊形,ACEF,是矩形,ON,AC,1,2,又平面,ACEF,平面,ABCD,平面,ACEF,平面,ABCD,AC,ON,平面,ACEF,ON,平面,ABCD,又,AC,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,ON,AC,ON,BD,四邊形,ABCD,是菱形,OB

45、,OC,以,O,為原點(diǎn),OB,所在直線為,x,軸,OC,所在直線為,y,軸,ON,所在直線為,z,軸,建立如圖所示的空間直,角坐標(biāo)系,則,B,1,0,0,C,0,0,F,0,1,E,0,1,D,1,0,0,(-2,0,0,(-1,1,(0,-2,0,設(shè)平面,BEF,的法向量為,n,1,x,1,y,1,z,1,則,令,z,1,1,可取,n,1,(1,0,1,設(shè)平面,BDF,的法向量為,n,2,x,2,y,2,z,2,則,3,3,3,BD,BF,3,EF,3,1,1,EF,0,BF,0,n,n,1,1,1,1,2,3y,0,x,3y,z,0,2,2,BD,0,BF,0,n,n,2,2,2,2,2x

46、,0,x,3y,z,0,令,y,2,1,可取,n,2,(0,1,設(shè)二面角,E,BF,D,的大小為,則,cos,cos,n,1,n,2,由圖易得二面角,E,BF,D,為銳二面角,故二面角,E,BF,D,的余弦值為,3,3,2,2,6,4,6,4,2,2019 5,3,原創(chuàng)沖刺卷,九,理,19,如圖,直四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,底面四邊形,ABCD,為梯形,AB,CD,AD,BC,CD,2,AB,4,AA,1,設(shè),M,N,分別為,A,1,B,1,BD,1,的中點(diǎn),1,證明,MN,平面,ADD,1,A,1,2,求,MN,與平面,BC,1,D,1,所成角的正弦值,6,解析,

47、1,證明,如圖,連接,AD,1,并取其中點(diǎn),P,連接,PN,PA,1,因?yàn)?M,N,分別為,A,1,B,1,BD,1,的中點(diǎn),所以,A,1,M,AB,A,1,M,AB,PN,AB,PN,AB,所以,PN,A,1,M,PN,A,1,M,所以四邊形,MNPA,1,為平行四邊形,故,MN,PA,1,3,分,又,MN,平面,ADD,1,A,1,PA,1,平面,ADD,1,A,1,所以,MN,平面,ADD,1,A,1,6,分,1,2,1,2,2,取,AB,的中點(diǎn)為,O,CD,的中點(diǎn)為,Q,連接,OM,OQ,易知,OM,OB,OM,OQ,OQ,OB,以,O,為坐標(biāo)原點(diǎn),OQ,OB,OM,所在直線分別為,x

48、,軸,y,軸,z,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,O,xyz,如圖,則,B,0,2,0,M,0,0,C,1,1,D,1,1,N,則,(0,2,0,1,8,分,設(shè)平面,BC,1,D,1,的法向量為,n,x,y,z,6,3,6,3,6,3,1,6,2,2,2,MN,3,1,6,2,2,2,1,1,D,C,1,BC,3,6,由,得,取,z,1,得,n,(,0,1,10,分,于是,cos,n,所以,MN,與平面,BC,1,D,1,所成角的正弦值為,12,分,1,1,1,D,C,0,BC,0,n,n,2,0,3,6,0,y,x,y,z,2,MN,MN,MN,n,n,2,5,5,2,5,5,3,2019,山東濟(jì)南

49、,3,月模擬文,19,如圖,1,所示,在等腰梯形,ABCD,中,AB,CD,BAD,45,AB,2,CD,4,點(diǎn),E,為,AB,的中點(diǎn),將,ADE,沿,DE,折起,使點(diǎn),A,到達(dá),P,的位置,得到如圖,2,所示的四棱錐,P,EBCD,點(diǎn),M,為棱,PB,的中點(diǎn),1,求證,PD,平面,MCE,2,若平面,PDE,平面,EBCD,求三棱錐,M,BCE,的體積,解析,1,證明,在題圖,1,中,因?yàn)?BE,AB,CD,且,BE,CD,所以四邊形,EBCD,是平行四邊形,如圖,連接,BD,交,CE,于點(diǎn),O,連接,OM,所以點(diǎn),O,是,BD,的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn),M,為棱,PB,的中點(diǎn),所以,OM,PD,因

50、為,PD,平面,MCE,OM,平面,MCE,所以,PD,平面,MCE,1,2,2,在題圖,1,中,因?yàn)?EBCD,是平行四邊形,所以,DE,BC,因?yàn)樗倪呅?ABCD,是等腰梯形,所以,AD,BC,所以,AD,DE,因?yàn)?BAD,45,所以,AD,DE,在題圖,2,中,PD,DE,又平面,PDE,平面,EBCD,且平面,PDE,平面,EBCD,DE,PD,平面,PDE,所以,PD,平面,EBCD,由,1,知,OM,PD,所以,OM,平面,EBCD,在等腰直角三角形,ADE,中,因?yàn)?AE,2,所以,AD,DE,所以,OM,PD,AD,又,S,BCE,S,ADE,1,所以,V,M,BCE,S,B

51、CE,OM,2,1,2,1,2,2,2,1,3,2,6,4,2019,山東濰坊期末,19,已知正方體,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分別是棱,BB,1,對(duì)角線,DB,1,的中點(diǎn),1,證明,MN,平面,ABCD,2,求直線,MN,與直線,CB,1,所成角的大小,解析,1,證明,連接,BD,M,N,分別是棱,BB,1,對(duì)角線,DB,1,的中點(diǎn),MN,BD,MN,平面,ABCD,BD,平面,ABCD,MN,平面,ABCD,2,設(shè)正方體,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱長為,1,以,D,為原點(diǎn),DA,DC,DD,1,所在直線分別為,x,y,z,軸,建立如圖所示的空

52、間直角坐標(biāo)系,則,D,0,0,0,A,1,0,0,B,1,1,0,C,0,1,0,B,1,1,1,1,M,N,(1,0,1,cos,直線,MN,與直線,CB,1,所成角的大小為,1,1,1,2,1,1,1,2,2,2,1,CB,MN,1,1,0,2,2,MN,1,CB,1,1,MN,CB,MN,CB,1,2,MN,1,CB,3,3,B,組,2017,2019,年高考模擬專題綜合題組,時(shí)間,20,分鐘,分值,30,分,解答題,共,30,分,1,2019,山東棗莊期末,19,如圖,在四棱錐,S,ABCD,中,ABS,是正三角形,四邊形,ABCD,是菱形,點(diǎn),E,是,BS,的中點(diǎn),1,求證,SD,平

53、面,ACE,2,若平面,ABS,平面,ABCD,ABC,120,求直線,AC,與平面,ADS,所成角的正弦值,解析,1,證明,連接,BD,交,AC,于點(diǎn),F,連接,EF,因?yàn)樗倪呅?ABCD,是菱形,所以點(diǎn),F,是,BD,的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn),E,是,BS,的中點(diǎn),所以,EF,是三角形,DBS,的中位線,所以,SD,EF,又因?yàn)?EF,平面,ACE,SD,平面,ACE,所以,SD,平面,ACE,2,因?yàn)樗倪呅?ABCD,是菱形,ABC,120,所以,ABD,ABC,60,又,AB,AD,所以三角形,ABD,為正三角形,取,AB,的中點(diǎn),O,連接,SO,DO,則,DO,AB,因?yàn)槠矫?ABS,平面,

54、ABCD,平面,ABS,平面,ABCD,AB,所以,DO,平面,ABS,又因?yàn)槿切?ABS,為正三角形,所以,SO,AB,以,O,為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),AB,2,則,A,0,-1,0,S,0,0,D,0,0,C,0,2,1,2,3,3,3,所以,(0,1,1,0,(0,3,設(shè)平面,ADS,的法向量為,n,x,y,z,則,取,x,1,則,y,z,1,所以,n,(1,1,設(shè)直線,AC,與平面,ADS,所成角為,則,sin,cos,n,故直線,AC,與平面,ADS,所成角的正弦值為,AD,3,AS,3,AC,3,AD,0,AS,0,n,n,3,0,3,0,y,z,x,y,3,

55、3,AC,AC,AC,n,n,5,5,5,5,2,2019,山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué),4,月質(zhì)檢,19,如圖所示,在底面為正方形的四棱錐,P,ABCD,中,AB,2,PA,4,PB,PD,2,AC,與,BD,相交于點(diǎn),O,E,G,分別為,PD,CD,的中點(diǎn),1,求證,EO,平面,PBC,2,設(shè)線段,BC,上點(diǎn),F,滿足,BC,3,BF,求三棱錐,E,OFG,的體積,5,解析,1,證明,O,為,AC,與,BD,的交點(diǎn),且四邊形,ABCD,為正方形,O,為,BD,的中點(diǎn),又,E,為,PD,的中點(diǎn),EO,PB,又,PB,平面,PBC,EO,平面,PBC,EO,平面,PBC,2,AB,2,PA,4,PB,PD,

56、2,AB,2,PA,2,PB,2,PA,2,AD,2,PD,2,PA,AB,PA,AD,又,AB,AD,A,PA,平面,ABCD,又,E,為,PD,的中點(diǎn),E,到平面,ABCD,的距離為,PA,2,O,G,分別是,BD,CD,的中點(diǎn),OG,BC,OG,BC,又四邊形,ABCD,為正方形,OG,CD,過點(diǎn),F,作,FH,OG,四邊形,CFHG,為矩形,FH,CG,CD,1,S,OFG,OG,FH,1,1,5,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,V,E,OFG,S,OFG,2,2,1,3,1,3,1,2,1,3,C,組,2017,2019,年高考模擬應(yīng)用創(chuàng)新題組,1,2019 5,3,

57、原創(chuàng)題,如圖,在三棱錐,P,ABC,中,平面,PAB,平面,ABC,PB,AB,2,PB,AB,AC,BC,D,F,分別為,PA,AB,的中點(diǎn),PE,2,EC,2,1,求證,CF,平面,BDE,2,求三棱錐,F,BDE,的體積,解析,1,取,AD,的中點(diǎn),G,連接,CG,GF,F,為,AB,的中點(diǎn),GF,為,ABD,的中位線,GF,BD,又,GF,平面,BDE,BD,平面,BDE,GF,平面,BDE,D,為,PA,的中點(diǎn),DE,GC,又,GC,平面,BDE,DE,平面,BDE,GC,平面,BDE,又,GF,GC,G,平面,GCF,平面,BDE,又,CF,平面,GCF,CF,平面,BDE,PD,

58、DG,PE,EC,2,1,2,連接,PF,交,BD,于,H,連接,EH,易知,CF,EH,AC,BC,F,為,AB,的中點(diǎn),CF,AB,又平面,PAB,平面,ABC,平面,PAB,平面,ABC,AB,CF,平面,ABC,CF,平面,PAB,EH,平面,PAB,在等腰直角三角形,PAB,中,D,F,分別為,PA,AB,的中點(diǎn),S,BDF,S,ADF,在直角三角形,PCF,中,PC,3,PF,CF,2,EH,CF,1,2,5,2,3,4,3,V,F,BDE,V,E,BDF,1,3,4,3,1,2,2,9,2,2019 5,3,原創(chuàng)沖刺卷,七,理,18,如圖,1,小正方形的邊長為,1,四邊形,ABC

59、P,為梯形,把,PAD,沿,AD,折起使得平面,PAD,平面,ABCD,如圖,2,E,F,分別是,AC,PC,的中點(diǎn),1,求證,EF,平面,PAD,2,若點(diǎn),G,在,PB,上,且,求二面角,C,EG,D,的余弦值,BG,PG,解析,1,證明,因?yàn)?E,F,分別是,AC,PC,的中點(diǎn),所以,EF,PA,又因?yàn)?PA,平面,PAD,EF,平面,PAD,所以,EF,平面,PAD,3,分,2,因?yàn)檎郫B前,PD,AD,折疊后平面,PAD,平面,ABCD,平面,PAD,平面,ABCD,AD,所以,PD,平面,ABCD,以,D,為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DP,所在直線分別為,x,軸,y,軸,z,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo),系,因?yàn)?所以,PG,PB,因?yàn)?AB,CD,PD,AB,4,AD,3,CD,6,所以,D,0,0,0,A,3,0,0,C,0,6,0,B,3,4,0,P,0,0,4,E,G,所以,(0,-1,2,6,分,設(shè)平面,DEG,的法向