2018學(xué)年江西省贛州市尋烏中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、2018屆江西省贛州市尋烏中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題試題（解析版）第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故選C.2. 已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量，由，得，解得：，故選B.3. 已知向量，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：，故選C.考點(diǎn)：向量的運(yùn)算.4. 已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，則 ，故選B.5. 萊因德紙草書(shū)（Rhind

2、Papyrus）是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中有這樣的一道題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩分之和，則最小的1份為（ ）A. B. C. D. 【答案】C.6. 等比數(shù)列中，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，若，則， 不成立；若成立，則，又，成立，綜合可知，“”是“”必要而不充分條件，故選B.7. 已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，它與軸相切于原點(diǎn)，且軸與函數(shù)圖象所圍成區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C考點(diǎn)：

3、定積分在求面積中的應(yīng)用【思路點(diǎn)睛】由圖可知得到的解確定出的值，確定出的解析式，由于陰影部分面積為，利用定積分求面積的方法列出關(guān)于的方程求出并判斷的取舍即可8. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且，若在上是減函數(shù)，記，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)；為偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上單調(diào)遞增，并且，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查偶函數(shù)的定義，函數(shù)的單調(diào)性，首先根據(jù)得函數(shù)為周期函數(shù)，偶函數(shù)在其對(duì)稱(chēng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反，對(duì)于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間上，根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小.9. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間和上均

4、單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，得，由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，要使函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增，則，解得，故選B.點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象變換，考查了型函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題；由函數(shù)的圖象平移求得函數(shù)的解析式，進(jìn)一步求出函的單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間和上均單調(diào)遞增列關(guān)于的不等式組求解.10. 已知數(shù)列滿(mǎn)足（），且，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】數(shù)列an滿(mǎn)足（），為等差數(shù)列，且，設(shè)公差為，解得，設(shè)，則，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，

5、當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故選D.11. 已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則的大致圖象為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，只有選項(xiàng)C符合，故選C.12. 定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：，是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】設(shè)，（），則，在定義域上單調(diào)遞增，又，不等式的解集為，故選A.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵；構(gòu)造函數(shù)，（），研究的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解.第卷（共9

6、0分）二、填空題（每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）13. 在中，角，所對(duì)的邊分別是，則_【答案】【解析】，由正弦定理，得， 可得B是銳角，因此，故答案為.14. 已知，滿(mǎn)足且的最大值與最小值的比值為，則的值是_【答案】【解析】由可得，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示的，由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越大，越小，作直線：，把直線向可行域平移，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A時(shí)最小，由，可得，此時(shí)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，最大，此時(shí)，故，解得，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）

7、；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15. 一艘海輪從出發(fā)，以每小時(shí)海里的速度沿東騙西方向直線航行，30分鐘后到達(dá)處，在處有一座燈塔，海輪在觀察燈塔，其方向是東偏南，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，則，兩點(diǎn)間的距離是_海里【答案】【解析】如圖，由已知可得，從而，在中，由正弦定理可得，故答案為.16. 數(shù)列滿(mǎn)足（，），是的前項(xiàng)和，若，則_【答案】【解析】設(shè)，由得：，故，故答案為4.三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. 如圖，在中，點(diǎn)

8、在邊上，（1）求的值；（2）若的面積為7，求的長(zhǎng)【答案】(1) ;(2) .【解析】試題分析：（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，由，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值即可求值得解；（2）先由正弦定理求的值，再利用三角形面積公式求得，與余弦定理即可得解的長(zhǎng)度.試題解析：（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?（2）在中，由正弦定理，故 又，解得在中，由余弦定理得 .18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：（）【答案】(1) (2)見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）由數(shù)列遞推式結(jié)合，可得（），然后利用累積法求得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）把數(shù)列的

9、通項(xiàng)公式代入 ()，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，放縮得答案試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，以上兩式相減，得，（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（）點(diǎn)睛：本題主要考查了這一常用等式，需注意的范圍，累乘法求通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，屬于高考中?？贾R(shí)點(diǎn)，難度不大；常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類(lèi)似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類(lèi)似于，錯(cuò)位相減法類(lèi)似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.19. 在中，內(nèi)角，所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，（1）求的最大值；（2）求函數(shù)的值域【答案】(1) 的最大值為16;(2) 值域?yàn)?【解析】試題分析：（1）由題意可得，代入余弦定理可得，由基本不等式可得，進(jìn)而可得的最

10、大值；（2）結(jié)合（1）可得，進(jìn)而可得的范圍，利用輔助角公式將函數(shù)化為，由三角函數(shù)的知識(shí)可得所求.試題解析：（1），即，又，所以，即的最大值為16，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取得最大值（2）結(jié)合（1）得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)?0. 已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿(mǎn)足，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；是否存在正整數(shù)，（），使得，成等差數(shù)列？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1) ;(2) ；存在正整數(shù)，使得，成等差數(shù)列.【解析】試題分析：（1）直接由已知列關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解方程組得首項(xiàng)和公差，代入等

11、差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，然后裂項(xiàng)，累加后即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；假設(shè)存在正整數(shù)，（），使得，成等差數(shù)列，則，由此列關(guān)于的方程，求解得答案.試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則由，得解得或（舍去）所以（2）因?yàn)?，所以，即，（）累加得，所以，也符合上式，故，假設(shè)存在正整數(shù)、（），使得，成等差數(shù)列，則又，所以 ，即，化簡(jiǎn)得： ，當(dāng)，即時(shí)，（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，符合題意所以存在正整數(shù)，使得，成等差數(shù)列21. 已知為常數(shù)，函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求證：；（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍【答案】(1) ;(2) .【解

12、析】試題分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，可得切線的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函數(shù)，可證；（2）由，先研究函數(shù)，則，由在上是減函數(shù)，可得，通過(guò)研究的正負(fù)可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性，可求出參數(shù)范圍.試題解析：（1）（），所以切線的斜率，整理得，顯然，是這個(gè)方程的解，又因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，所以方程有唯一實(shí)數(shù)解，故（2），設(shè)，則，易知在上是減函數(shù)，從而當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在上恒成立，即在上恒成立在區(qū)間上是減函數(shù)，所以滿(mǎn)足題意當(dāng)，即時(shí)，設(shè)函數(shù)的唯一零點(diǎn)為，則在上遞增，在上遞減，又，又，在內(nèi)有唯一一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.從而在遞減，在遞增，與在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)矛盾.不合題意綜上得，請(qǐng)考生

13、在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. 在極坐標(biāo)系中，圓的極坐標(biāo)方程為：若以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求圓的參數(shù)方程；（2）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是圓上動(dòng)點(diǎn)，試求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)【答案】(1) 圓的參數(shù)方程為;(2) 點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.【解析】試題分析：（1）極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再化為參數(shù)方程，利用，解題；（2）設(shè)，代入圓，得到的最大值為，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.試題解析：解：（1）因?yàn)椋?，即為圓的直角坐標(biāo)方程，所以圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）.（2）設(shè)，得，代入，整理得，則關(guān)于的方程必有實(shí)數(shù)根，所以，化簡(jiǎn)得，解得，即的最大值為，將代入方程得，解得，代入，得，故的最大值為時(shí)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.23. 已知，都是實(shí)數(shù)，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)滿(mǎn)足條件的所有，都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1) 實(shí)數(shù)的取值范圍為;(2) 實(shí)數(shù)的取值范圍為【解析】試題分析：（1）化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，由得或求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求；（2）由題可得，由絕對(duì)值不等式可得的最小