剛體轉動習題課

1、第四章習題課,內容提要,1、剛體的平動和轉動,1）平動 剛體上任意兩點的確定的直線在運動中保持不變。剛體平動時，各點的 、 、 相同，可以用一組線量描述，所以剛體的平動可用質心為代表，用質點力學處理,2）定軸轉動 剛體上所有點繞某一固定直線作圓周運動。剛體定軸轉動時，各點的 、 、 相同，可以用一組角量來描述,線量與角量的關系,2、力矩和轉動慣量,力矩,轉動慣量,3、轉動定律,對應同一轉軸,兩種解法：（1）根據(jù)定義的普通解法，應注意dm的取法； （2）利用已有結果解（勻質細桿、園盤等,4、角動量、角動量定理及角動量守恒,剛體角動量,角動量定理,5、轉動動能定理,剛體,質點的角動量,l=恒量,7

2、、剛體定軸轉動和質點運動對照表,質點運動,剛體定軸轉動,位移,角位移,速度,角速度,加速度,角加速度,質量,轉動慣量,力,力矩,牛頓定律,轉動定律,質點運動,剛體定軸轉動,動量,角動量,角動量,角動量定理,動量定理,角動量守恒定律,動量守恒定律,力矩的功,力的功,質點運動,剛體定軸轉動,動能,動能定理,轉動動能定理,轉動動能,重力勢能,重力勢能,機械能守恒,機械能守恒,p142習題,4-1，b；4-2，b； 4-3，c；4-4，c；4-4，b,09）1、花樣滑冰運動員繞通過自身的堅直軸轉動，開始時兩臂伸開，轉動慣量為j0，角速度為0。然后將兩臂收回使轉動慣量減少為j0/3 ，此時她轉動的角速度

3、變?yōu)?09）2、如圖所示，一質量為m半徑為r的薄圓盤，可繞通過其一直徑的光滑固定軸aa轉動，轉動慣量為j=mr2/4。該園盤從靜止開始在恒力矩m作用下轉動， t秒后位于圓盤邊緣上與軸aa的垂直距離為r的b點的切向加速度at= ,法向加速度an=,a,a,1）d,b,09）3、地球的自轉角速度可以認為是恒定的。地球對于自轉軸的轉動慣量為j=9.8x1037kg.m2，地球對于自轉軸的角動量l=,09）4、一輕繩跨過一具有水平光滑軸質量為m的定滑輪，繩的兩端分別懸掛質量為m1，m2的物體（ m1m2），輕繩不可伸縮且與滑輪間無相對滑動，若某時刻滑輪沿逆時針方向轉動，則繩中的張力,t2,t1,a）處

4、處相等 （b）左邊大于右邊 （c）右邊大于左邊 （d）哪邊大無法判斷,09）5、一飛輪作勻減速轉動，在5s內角速度從40 rad/s減到10rad/s，則飛輪在5s內總共轉了 圈，飛輪再經 的時間才能停止轉動,4答（c,09）6、一轉動慣量為j的圓盤繞一固定軸轉動，初角速度為0，設它所受阻力矩與轉動角速度成正比m=-k(k為正常數(shù))，求圓盤的角速度從0變?yōu)?/2時所需的時間。（5分,解：據(jù)轉動定律,09）7、一塊寬l=0.60m、質量m=1kg的均勻薄木板可繞水平固定軸oo無摩擦自由轉動，當木板靜止在平衡位置時，有一質量為m=1010-3kg子彈垂直擊中木板a點，a點離轉軸距離 =0.36m，

5、子彈擊中木板前的速度為500m/s，穿出木板后的速度為200m/s。（已知繞oo軸的轉動慣量為j=ml2/3） （10分）求： (1)子彈給予木板的沖量；（2）木板獲得的角速度,o,o,l,a,解：（1）子彈受到的沖量為,o,o,l,子彈對木板的沖量方向與 相同,2）由角動量定理,09）8、一質量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩的另一端繞在一輪軸的軸上，如圖所示，軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r，整個裝置架在光滑的固定軸承之上。當物體從靜止釋放后，在時間t內下降了一段距離s，度求整個輪軸的轉動慣量。（用m，r，t，s表示）（10分,m,o,r,解：受力分析如圖所示,m,o,r,t,mg,a,t

6、,08）1、一自由懸掛的勻質細棒oa，可繞o端在豎直平面內自由轉動，現(xiàn)使棒從水平位置由靜止開始自由下落，在棒擺動到豎直位置的過程中，下述說法哪個正確 a、角速度從小到大，角加速度從大到?。?b、角速度從小到大，角加速度從小到大； c、角速度從大到小，角加速度從大到小； d、角速度從大到小，角加速度從小到大,o,a,08）2、可繞水平軸轉動的飛輪，直徑為1.0m，一條繩子繞在飛輪的外周邊緣上。如果飛輪從靜止開始做勻角加速度運動且在4s內繩被展開10m，則飛輪的角加速度為 ？ 3、一個作定軸轉動的物體，轉動慣量為j，正以角速度10rad/s勻速轉動，現(xiàn)對物體加一恒定制動力矩m=0.5n.m，經過5

7、s后物體停止轉動。物體的轉動慣量j= ,1）a；1-3題各3分,08）4、兩個勻質圓盤，一大一小，同軸地粘結在一起，構成一個組合輪。小圓盤的半徑為r，質量為m；大圓盤的半徑為r=2r，質量為m=2m。組合輪可繞通過其中心垂直于盤面的光滑水平固定軸o轉動，轉動慣量j=9mr2/2。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質細繩，下端各懸掛質量為m的物體a和b，如圖所示，這一系統(tǒng)從靜止開始運動，繩與盤無相對滑動，繩長不變。已知r=10m。求：（10分） （1）組合輪的角加速度 （2）當物體a上升h=40cm時， 組合輪的角速度,a,b,m, r,m, r,o,a,b,m, r,m, r,o,t,t,解： （1,2）

8、設過為組合輪轉過的角度,08）5、如圖所示，一半徑為r的勻質小木球固結在一長度為 的勻質細棒的下端。且可繞水平光滑固定軸o轉動。今有一質量為m，速度為 的子彈，沿著與水平面成 角的方向射向球心，且嵌于球心。已知小木球、細棒對軸轉動慣量總和為j，求子彈嵌入球心后系統(tǒng)的共同角速度（5分,o,r,o,r,解：選子彈、細棒、小木球為系統(tǒng)，子彈射入時系統(tǒng)所受合外力矩為零，系統(tǒng)對轉軸的角動量守恒,07）1、一個作定軸轉動的輪子，轉動慣量為j=2.0kg.m2，正以角速度0勻速轉動，現(xiàn)對輪子加一恒定力矩m=-12n.m，經過8s后輪子的角速度=-0，則0= ,07）2、一質量為15kg、半徑為0.30m的圓

9、柱體可繞與其幾何軸重合的水平固定軸轉動，現(xiàn)以一不能伸長的輕繩繞于柱面，而在繩的下端懸一質量m=8.0kg的物體。不計圓柱與軸的摩擦求： (1)物體自靜止下落，5s內下落的距離 （2）繩中的張力,mg,t,mg,f,0709）3、一均勻木桿質量為m1=1kg，長 =0.4m，可繞通過它的中點且與桿身垂直的光滑水平固定軸在豎直平面內轉動。設桿靜止于豎直位置時，一質量為m2=10g的子彈在距桿中點 /4處穿透木桿（穿透所用時間不計）,子彈初速度的大小為 = 200m/s ，方向與桿和軸均垂直。穿出后子彈速度大小減為 =50m/s方向不變，求子彈剛穿出的瞬時，桿的角速度的大小(木桿繞通過中點垂直軸的轉

10、動慣量j=m1l2/12,o,解：子彈與桿系統(tǒng)外力矩為霍，角動量守恒,1、有一長方形的勻質薄板，長為a，寬為b，質量為m，分別求此薄板以下列直線為軸的轉動慣量,1）長邊；（2）短邊； （3）通過其中心而垂直與板面,1,另解（2）豎分,2,1）據(jù)定義的普通解法； （2）據(jù)已有結果解,3,解（2）取,補償法，要注意質量,一個大園盤挖去一個小園盤后繞中心垂直軸的j,2、 如圖所示，一均勻細棒，長為l，質量為m，可繞過棒端且垂直于棒的光滑水平固定軸o在豎直平面內轉動，棒被拉到水平位置從靜止開始下落，當它轉到豎直位置時，與放在地面上一靜止的質量亦為m的小滑塊碰撞，碰撞時間極短，小滑塊與地面間的摩擦系數(shù)為

11、，碰后滑塊移動距離s后停止，而棒繼續(xù)沿原轉動方向轉動，直到達到最大擺角。 求：碰撞后棒的中點c離地面的最大高度h,過程：棒下落過程，棒、地球系統(tǒng)，機械能守恒,過程：棒與滑塊系統(tǒng)碰撞過程中，對o軸的角動量 守恒,過程：對滑塊由動能定理,對棒、地球系統(tǒng)，棒上升過程中，機械能守恒,選細棒和兩個小物體為一系統(tǒng)，角動量守恒,不變,4、空心圓環(huán)可繞光滑的豎直軸 自由轉動，轉動慣量為 ，環(huán)的半徑為 ，初始時，環(huán)的角速度為 。質量為 的小球靜止在環(huán)內最高處 點。由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動，問小球滑到與環(huán)心在同一高度的 點和環(huán)的最低處的 點時，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度各為？（設環(huán)的內壁和小球都是光

12、滑的，小球可視為質點，環(huán)截面積,選環(huán)和小球為一個系統(tǒng)，角動量守恒,選環(huán)、小球和地球為一個系統(tǒng)，機械能守恒， 以 點為勢能零點,聯(lián)立解得b處環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度,同理可得c點的速度,選環(huán)、小球和地球為一個系統(tǒng)，機械能守恒， 以 點為勢能零點,選環(huán)和小球為一個系統(tǒng)，角動量守恒,5、一根放在水平光滑桌面上的勻質棒，可繞通過其一端的豎直固定光滑軸 轉動，棒的質量為 長度為 對軸的轉動慣量為 ，初始時棒靜止，今有一水平運動的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子彈的質量 速率,問（1）棒開始和子彈一起轉動時角速度 ？ （2）若棒轉動時受到大小為 的恒阻力矩作用，棒能轉過的角度 ,1）角動量守

13、恒,o,2）轉動定律,轉動定律,6、一輕繩繞過一定滑輪，滑輪的質量為m/4，均勻分布在其邊緣上，繩子的 端有一質量為 的人抓住繩端，而在另一端 系著一個質量為 的重物人從靜止開始以相對繩勻速向上爬時，繩與滑輪間無相對滑動，求 端重物上升的加速度? （滑輪對過滑輪中心且垂直與輪面的軸的轉動慣量,選重物為研究對象，地面為參考系,選滑輪為研究對象，地面為參考系,選人為研究對象，繩子為參考系,只介紹注意點,如以地為參考系,7、 一軸承光滑的定滑輪，質量為 ，半徑為 。一根不能伸展的輕繩，一段固定在定滑輪上，在另一端系一質量為 的物體.定滑輪的轉動慣量 ，已知定滑輪的初角速度 ， 其方向垂直紙面向里。求

14、,1)定滑輪的角加速度; (2)定滑輪的角速度等于零時物體上升的高度； (3)當物體回到原位置時定滑輪的角速度,對物體,滑輪,1,t,t,2,3,因機械能守恒，故,一長為 的輕質細桿，兩端分別固定質量為 和 的小球，此系統(tǒng)在豎直平面內可繞過中點 且與桿垂直的水平光滑固定軸（ 軸）轉動，開始時桿與水平成 角，處于靜止狀態(tài)，無初轉速地釋放以后，桿球這一剛體系統(tǒng)繞 軸轉動，系統(tǒng)繞 軸的轉動慣量為 釋放后，當桿轉到水平位置時，剛體的合外力矩為 角加速度為,填空題,取轉軸的正方向為垂直紙面向里,由轉動定律,8、 一勻質的薄圓盤狀飛輪，質量為m，半徑為r，繞過盤心且垂直盤面的豎直軸轉動，軸的摩擦忽略不計。

15、當它以初角速度0轉動時，由于上下表面受到空氣的摩擦阻力矩的作用，會慢慢停下來，假設空氣對盤表面任意點附近單位面積上的摩擦力正比于該點處的線速度大小，比例常數(shù)為k，求它一共能轉多少圈？（x,解此題的關鍵是求出摩擦阻力矩。為此首先要明確摩擦阻力矩有什么特點？ 因為單位面積受到的摩擦阻力，正比于該點處的線速度，所以飛輪轉動時，距轉軸距離相等的各點處，單位面積的摩擦力大小一樣，方向不同，但它們產生的力矩方向相同。 轉動過程中，由于角速度不斷變化，所以同一點處摩擦力的大小也要隨時間變化，是一個變力矩的問題。 方法：一種是應用轉動定律，一種是應用角動量定理,方法一：應用轉動定律,單位面積元所受的摩擦力為,圓環(huán)上所有面元的力矩方向相同，即均向里,由轉動定律,方法二、角動量定理,因為力矩和角動量方向在同一直線上,例9：試求阿特武德機兩側懸掛的質量分別為m1，m2的重物的加速度及繩