矢量運(yùn)算法則ppt課件

1、第1章 矢量分析,一、矢量和標(biāo)量的定義,二、矢量的運(yùn)算法則,三、矢量微分元：線元，面元，體元,四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度,六、矢量場(chǎng)的旋度,五、矢量場(chǎng)的散度,七、重要的場(chǎng)論公式,一、矢量和標(biāo)量的定義,1.標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量,矢量表示為,所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積,其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1,2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量,如:力 、速度 、電場(chǎng) 等,如：溫度 T、長(zhǎng)度 L 等,例1：在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示,圖示法,力的圖示法,二、矢量的運(yùn)算法則,1.加法: 矢量加法是矢量的幾何

2、和,服從平行四邊形規(guī)則,a.滿足交換律,b.滿足結(jié)合律,三個(gè)方向的單位矢量用 表示,根據(jù)矢量加法運(yùn)算,所以,在直角坐標(biāo)系下的矢量表示,其中,矢量,模的計(jì)算,單位矢量,方向角與方向余弦,在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算,2.減法：換成加法運(yùn)算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量,在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算,3.乘法,1）標(biāo)量與矢量的乘積,2）矢量與矢量乘積分兩種定義,a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積,在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即,有兩矢量點(diǎn)積,結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和,推論1：滿足交換律,推論2：滿足分配律,推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交,推論

3、1：不服從交換律,推論2：服從分配律,推論3：不服從結(jié)合律,推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行,b.矢量積（叉積,含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則,在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下,兩矢量的叉積又可表示為,3）三重積,三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式,矢量，標(biāo)量與矢量相乘,標(biāo)量，標(biāo)量三重積,矢量，矢量三重積,a. 標(biāo)量三重積,法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積,定義,含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積,注意：先后輪換次序,推論：三個(gè)非零矢量共面的條件,在直角坐標(biāo)系中,b

4、.矢量三重積,例2,解,則,設(shè),例3： 已知,求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量,其中：k 為任意實(shí)數(shù),C,A,B,解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上， 任取一點(diǎn)C，對(duì)于原點(diǎn)的位置 矢量為 ，則,三、矢量微分元：線元、面元、體元,例,其中： 和 稱為微分元,1. 直角坐標(biāo)系 在直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元,線元,面元,體元,2. 圓柱坐標(biāo)系,在圓柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元,線元,面元,體元,3. 球坐標(biāo)系,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，如圖，做一微分體元,線元,面元,體元,a. 在直角坐標(biāo)系中，x,y,z 均為長(zhǎng)度量，其拉梅系數(shù)均為1， 即,b.

5、 在柱坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 , 其中 為角度， 其對(duì)應(yīng)的線元 ，可見拉梅系數(shù)為,在球坐標(biāo)系中，坐標(biāo)變量為 ，其中 均為 角度，其拉梅系數(shù)為,注意,在正交曲線坐標(biāo)系中，其坐標(biāo)變量 不一定都是長(zhǎng)度，其線元必然有一個(gè)修正系數(shù)，這些修正系數(shù)稱為拉梅系數(shù)，若已知其拉梅系數(shù) ，就可正確寫出其線元、面元和體元,體元,線元,面元,正交曲線坐標(biāo)系,四、標(biāo)量場(chǎng)的梯度,1. 標(biāo)量場(chǎng)的等值面,可以看出：標(biāo)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的,以溫度場(chǎng)為例,熱源,等溫面,b.梯度,定義：標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向,數(shù)學(xué)表達(dá)式,2. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度,a.方向?qū)?shù),

6、空間變化率，稱為方向?qū)?shù),為最大的方向?qū)?shù),標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)函數(shù)為,計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中,所以,梯度也可表示,在柱坐標(biāo)系中,在球坐標(biāo)系中,在任意正交曲線坐標(biāo)系中,在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式,在直角坐標(biāo)系中,五、矢量場(chǎng)的散度,1. 矢線（場(chǎng)線,在矢量場(chǎng)中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場(chǎng)矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線,2. 通量,定義：如果在該矢量場(chǎng)中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量,表達(dá)式,若曲面為閉合曲面,討論,a. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源,b. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量大于穿出的通量，那么必

7、然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝,c. 如果閉合曲面上的總通量,說明穿入的通量等于穿出的通量,3. 散度,a.定義：矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度,b.表達(dá)式,c.散度的計(jì)算,在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成,矢量場(chǎng) 表示為,因?yàn)?則,在 x 方向上的總通量,在 z 方向上,穿過 和 面的總通量,整個(gè)封閉曲面的總通量,同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量,該閉合曲面所包圍的體積,通常散度表示為,4.散度定理,物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分,柱坐標(biāo)系中,球坐標(biāo)系中,正交曲線坐標(biāo)系中,直角坐標(biāo)系中,常用坐標(biāo)系中，散度

8、的計(jì)算公式,六、矢量場(chǎng)的旋度,1. 環(huán)量,在矢量場(chǎng)中，任意取一閉合曲線 ，將矢量沿該曲線積分稱之為環(huán)量,可見：環(huán)量的大小與環(huán)面的方向有關(guān),2. 旋度,定義：一矢量其大小等于某點(diǎn)最大環(huán)量密度，方向?yàn)樵摥h(huán) 的法線方向，那么該矢量稱為該點(diǎn)矢量場(chǎng)的旋度,表達(dá)式,旋度計(jì)算,以直角坐標(biāo)系為例，一旋度矢量可表示為,場(chǎng)矢量,其中： 為x 方向的環(huán)量密度,旋度可用符號(hào)表示,其中,可得,同理,所以,旋度公式,為了便于記憶，將旋度的計(jì)算公式寫成下列形式,類似地，可以推導(dǎo)出在廣義正交坐標(biāo)系中旋度的計(jì)算公式,對(duì)于柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)，已知其拉梅系數(shù)，代入公式即可寫出旋度的計(jì)算公式,3. 斯托克斯定理,物理含義： 一個(gè)矢量場(chǎng)旋度