高等數(shù)學(xué)(下)無窮級數(shù)

1、無窮級數(shù),無窮級數(shù),數(shù)項級數(shù),冪級數(shù),傅氏級數(shù)（數(shù)一,第十一章,常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì),一、常數(shù)項級數(shù)的概念,二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì),三、級數(shù)收斂的必要條件,第一節(jié),第十一章,一、常數(shù)項級數(shù)的概念,引例 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積,依次作圓內(nèi)接正,邊形,這個和逼近于圓的面積 A,設(shè) a0 表示,即,內(nèi)接正三角形面積,ak 表示邊數(shù),增加時增加的面積,則圓內(nèi)接正,定義,給定一個數(shù)列,將各項依,即,稱上式為無窮級數(shù),其中第 n 項,叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前 n 項和,稱為級數(shù)的部分和,次相加, 簡記為,當(dāng)級數(shù)收斂時, 稱差值,為級數(shù)的余項,則稱無窮級數(shù)發(fā)散,顯然,收斂,則稱無窮級數(shù),并稱 S

2、 為級數(shù)的和,記作,例1. 討論等比級數(shù),又稱幾何級數(shù),q 稱為公比 ) 的斂散性,解: 1) 若,從而,因此級數(shù)收斂,從而,則部分和,因此級數(shù)發(fā)散,其和為,2). 若,因此級數(shù)發(fā)散,因此,n 為奇數(shù),n 為偶數(shù),從而,綜合 1)、2)可知,時, 等比級數(shù)收斂,時, 等比級數(shù)發(fā)散,則,級數(shù)成為,不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散,例2. 判別下列級數(shù)的斂散性,解: (1,所以級數(shù) (1) 發(fā)散,技巧,利用 “拆項相消” 求和,2,所以級數(shù) (2) 收斂, 其和為 1,技巧,利用 “拆項相消” 求和,二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì),性質(zhì)1. 若級數(shù),收斂于 S,則各項,乘以常數(shù) c 所得級數(shù),也收斂,說明: 級數(shù)

3、各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變,即,其和為 c S,性質(zhì)2. 設(shè)有兩個收斂級數(shù),則級數(shù),也收斂, 其和為,說明,2) 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則,必發(fā)散,但若二級數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散,例如,1) 性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減,性質(zhì)3,在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級數(shù),的斂散性,性質(zhì)4,收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù),的和,推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散,注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂,但,發(fā)散,例如,三、級數(shù)收斂的必要條件,性質(zhì)5、設(shè)收斂級數(shù),則必有,可見: 若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散,例如,其一般項為,不趨于0,因

4、此這個級數(shù)發(fā)散,注意,并非級數(shù)收斂的充分條件,例如, 調(diào)和級數(shù),雖然,但此級數(shù)發(fā)散,事實上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 則,但,矛盾,所以假設(shè)不真,二、交錯級數(shù)及其審斂法,三、絕對收斂與條件收斂,第二節(jié),一、正項級數(shù)及其審斂法,常數(shù)項級數(shù)的審斂法,第十一章,一、正項級數(shù)及其審斂法,若,定理 1. 正項級數(shù),收斂,部分和序列,有界,則稱,為正項級數(shù),定理2 (比較審斂法,設(shè),且存在,對一切,有,1) 若強級數(shù),則弱級數(shù),2) 若弱級數(shù),則強級數(shù),則有,收斂,也收斂,發(fā)散,也發(fā)散,是兩個正項級數(shù),常數(shù) k 0,例1. 討論 p 級數(shù),常數(shù) p 0,的斂散性,解: 1) 若,因為對一切,而調(diào)和級

5、數(shù),由比較審斂法可知 p 級數(shù),發(fā)散,發(fā)散,因為當(dāng),故,考慮強級數(shù),的部分和,故強級數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂,時,2) 若,調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù),若存在,對一切,證明級數(shù),發(fā)散,證: 因為,而級數(shù),發(fā)散,根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散,例2,定理3. (比較審斂法的極限形式,則有,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散,2) 當(dāng) l = 0,3) 當(dāng) l,設(shè)兩正項級數(shù),滿足,1) 當(dāng) 0 l 時,是兩個正項級數(shù),1) 當(dāng) 時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散,特別取,可得如下結(jié)論,對正項級數(shù),2) 當(dāng) 且 收斂時,3) 當(dāng) 且 發(fā)散時,也收斂,也發(fā)散,的斂散性,例3. 判別級數(shù),的

6、斂散性,解,根據(jù)比較審斂法的極限形式知,例4. 判別級數(shù),解,根據(jù)比較審斂法的極限形式知,定理4 . 比值審斂法 ( Dalembert 判別法,設(shè),為正項級數(shù), 且,則,1) 當(dāng),2) 當(dāng),時, 級數(shù)收斂,或,時, 級數(shù)發(fā)散,說明: 當(dāng),時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,例如, p 級數(shù),但,級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,例5. 討論級數(shù),的斂散性,解,根據(jù)定理4可知,級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,例6. 討論級數(shù),的斂散性,定理5. 根值審斂法 ( Cauchy判別法,設(shè),為正項級,則,數(shù), 且,時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,例如 , p 級數(shù),說明,但,級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散,例7. 討論級數(shù),的斂散性,例8. 討

7、論級數(shù),的斂散性,二 、交錯級數(shù)及其審斂法,則各項符號正負(fù)相間的級數(shù),稱為交錯級數(shù),定理6 . ( Leibnitz 判別法,若交錯級數(shù)滿足條件,則級數(shù),收斂 , 且其和,其余項滿足,收斂,收斂,用Leibnitz 判別法判別下列級數(shù)的斂散性,收斂,上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ,發(fā)散,收斂,收斂,三、絕對收斂與條件收斂,定義: 對任意項級數(shù),若,若原級數(shù)收斂, 但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散, 則稱原級,收斂,數(shù),為條件收斂,均為絕對收斂,例如,絕對收斂,則稱原級,數(shù),條件收斂,定理7. 絕對收斂的級數(shù)一定收斂,說明：上述逆定理不一定成立,即,發(fā)散,發(fā)散,例9. 證明下列級數(shù)絕對收斂,

8、證: (1,而,收斂,收斂,因此,絕對收斂,2) 令,因此,收斂,絕對收斂,內(nèi)容小結(jié),1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2. 利用正項級數(shù)審斂法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,3. 任意項級數(shù)審斂法,為收斂級數(shù),Leibniz判別法,則交錯級數(shù),收斂,概念,絕對收斂,條件收斂,例1、（06，一，三,若,則級數(shù)（,A,B,C,D,例2、（05，三）設(shè),若,則下列結(jié)論正確的是（,A,B,C,D,第三節(jié),一、函數(shù)項級數(shù)的概念,二、冪級數(shù)及其收斂性,三、冪級數(shù)的運算,冪級數(shù),第十一章,一、 函數(shù)項級數(shù)的概

9、念,設(shè),為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù),對,若常數(shù)項級數(shù),斂點,所有收斂點的全體稱為其收斂域,若常數(shù)項級數(shù),為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱,收斂,發(fā)散,所有,為其收,為其發(fā)散點,發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域,為級數(shù)的和函數(shù) , 并寫成,若用,令余項,則在收斂域上有,表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即,在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù),稱它,例如, 等比級數(shù),它的收斂域是,它的發(fā)散域是,或?qū)懽?又如, 級數(shù),級數(shù)發(fā)散,所以級數(shù)的收斂域僅為,有和函數(shù),二、冪級數(shù)及其收斂性,形如,的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù),其中數(shù)列,下面著重討論,例如, 冪級數(shù),為冪級數(shù)的系數(shù),即是此種情形,的情形, 即,稱

10、,收斂,發(fā)散,定理 1. ( Abel定理,若冪級數(shù),則對滿足不等式,的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂,反之, 若當(dāng),的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散,時該冪級數(shù)發(fā)散,則對滿足不等式,冪級數(shù)在 (, +) 收斂,由Abel 定理可以看出,中心的區(qū)間,用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為,則,R = 0 時,冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂,R = 時,冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂,R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域,R 稱為收斂半徑,在R , R,可能收斂也可能發(fā)散,外發(fā)散,在,R , R ) 稱為收斂區(qū)間,定理2. 若,的系數(shù)滿足,1) 當(dāng) 0 時,2) 當(dāng) 0 時,3)

11、當(dāng) 時,則,的收斂半徑為,說明:據(jù)此定理,對端點 x =1,的收斂半徑及收斂域,解,對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),收斂,級數(shù)為,發(fā)散,故收斂域為,例1.求冪級數(shù),例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域,解: (1,所以收斂域為,2,所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂,規(guī)定: 0 ! = 1,例3,的收斂半徑,解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑,時級數(shù)收斂,時級數(shù)發(fā)散,故收斂半徑為,故直接由,例4,的收斂域,解: 令,級數(shù)變?yōu)?當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,此級數(shù)發(fā)散,當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,此級數(shù)條件收斂,因此級數(shù)的收斂域為,故原級數(shù)的收斂域為,即,三、冪級數(shù)的

12、運算,定理3. 設(shè)冪級數(shù),及,的收斂半徑分別為,令,則有,其中,說明,兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比,原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多,例如, 設(shè),它們的收斂半徑均為,但是,其收斂半徑只是,定理4 若冪級數(shù),的收斂半徑,則其和函,在收斂域上連續(xù),且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與,逐項求積分,運算前后收斂半徑相同,注: 逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變,例5. 求級數(shù),的和函數(shù),解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1,及,收斂,因此由和函數(shù)的連續(xù)性得,而,及,內(nèi)容小結(jié),1. 求冪級數(shù)收斂域的方法,1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù),先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性,2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項

13、為復(fù)合式,求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì),兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與,也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求,乘法運算,2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù),3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分,第四節(jié),兩類問題,在收斂域內(nèi),和函數(shù),本節(jié)內(nèi)容,一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù),二、函數(shù)展開成冪級數(shù),函數(shù)展開成冪級數(shù),第十一章,一、泰勒 ( Taylor ) 級數(shù),其中,在 x 與 x0 之間,稱為拉格朗日余項,則在,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有 n + 1 階導(dǎo)數(shù),此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式,該鄰域內(nèi)有,為f (x) 的泰勒級數(shù),則稱,當(dāng)x0 = 0

14、時, 泰勒級數(shù)又稱為麥克勞林級數(shù),1) 對此級數(shù), 它的收斂域是什么 ,2) 在收斂域上 , 和函數(shù)是否為 f (x) ,待解決的問題,若函數(shù),的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù),定理1,各階導(dǎo)數(shù),則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充要,條件是,f (x) 的泰勒公式中的余項滿足,設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某一鄰域,內(nèi)具有,定理2,若 f (x) 能展成 x 的冪級數(shù), 則這種展開式是,唯一的 , 且與它的麥克勞林級數(shù)相同,二、函數(shù)展開成冪級數(shù),1. 直接展開法,由泰勒級數(shù)理論可知,第一步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在 x = 0 處的值,第二步 寫出麥克勞林級數(shù) , 并求出其收斂半徑 R,第

15、三步 判別在收斂區(qū)間(R, R) 內(nèi),是否為,驟如下,展開方法,直接展開法,利用泰勒公式,間接展開法,利用已知其級數(shù)展開式,0,的函數(shù)展開,例1. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù),解,其收斂半徑為,對任何有限數(shù) x , 其余項滿足,故,在0與x 之間,故得級數(shù),當(dāng) m = 1 時,2. 間接展開法,利用一些已知的函數(shù)展開式及冪級數(shù)的運算性質(zhì),例4. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù),解: 因為,把 x 換成,得,將所給函數(shù)展開成 冪級數(shù),例5. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù),解,從 0 到 x 積分, 得,定義且連續(xù),區(qū)間為,利用此題可得,上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂,所以展開式對 x 1 也是

16、成立的,于是收斂,例6. 將,展成,解,的冪級數(shù),例7. 將,展成 x1 的冪級數(shù),解,06,一)將,展成關(guān)于x的冪級數(shù),內(nèi)容小結(jié),1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法,1) 直接展開法,利用泰勒公式,2) 間接展開法,利用冪級數(shù)的性質(zhì)及已知展開,2. 常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式,式的函數(shù),當(dāng) m = 1 時,第七節(jié),一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù),第十一章,傅里葉級數(shù),一、三角級數(shù)及三角函數(shù)系的正交性,簡單的周期運動,諧波函數(shù),A為振幅,復(fù)雜的周期運動,令,得函數(shù)項級數(shù),為角頻率,為初相,諧波迭加,稱上述形式的級數(shù)為三角級數(shù),定理 1. 組成三角級數(shù)的函數(shù)

17、系,證,同理可證,正交,上的積分等于 0,即其中任意兩個不同的函數(shù)之積在,上的積分不等于 0,且有,但是在三角函數(shù)系中兩個相同的函數(shù)的乘積在,二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù),定理 2 . 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且,右端級數(shù)可逐項積分, 則有,葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為,的傅里葉系數(shù),由公式 確定的,的傅里,的傅里葉級數(shù),稱為函數(shù),以,定理3 (收斂定理, 展開定理,設(shè) f (x) 是周期為2的,周期函數(shù),并滿足狄利克雷( Dirichlet )條件,1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點,2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點,則 f (x) 的傅里葉級數(shù)收斂 , 且有

18、,x 為間斷點,其中,為 f (x) 的傅里葉系數(shù),x 為連續(xù)點,注意: 函數(shù)展成傅里葉級數(shù)的條件比展成冪級數(shù)的條件低得多,例1,設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,上的表達(dá)式為,解: 先求傅里葉系數(shù),將 f (x) 展成傅里葉級數(shù),1) 根據(jù)收斂定理可知,時,級數(shù)收斂于,2) 傅氏級數(shù)的部分和逼近,說明,f (x) 的情況見右圖,例2,上的表達(dá)式為,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù),解,設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在,說明: 當(dāng),時, 級數(shù)收斂于,周期延拓,傅里葉展開,上的傅里葉級數(shù),定義在 ,上的函數(shù) f (x)的傅氏級數(shù)展開法,其它,例3. 將函數(shù),級數(shù),則,解: 將 f (x)延拓成以,展成傅里葉,2為周期的函數(shù) F(x),利用此展式可求出幾個特殊的級數(shù)的和,當(dāng) x = 0 時, f (0) = 0 , 得,說明,設(shè),已知,又,三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù),1. 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù),定理4 . 對周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為,周期為2的偶函數(shù) f (x) , 其傅里葉級數(shù)為余弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為,正弦級數(shù),它的傅里葉系數(shù)為,例4. 設(shè),的表達(dá)式為 f (x)x,將 f (x) 展成傅里葉級數(shù),是周期為2 的周期函數(shù),它在,解: 若不計,周期為 2 的奇函