深刻理解傅里葉變換

1、理解離散傅立葉變換(一)-傅立葉變換的由來(lái)一、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會(huì)有傅立葉變換？傅立葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語(yǔ)原名是 Jea n Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布，論文里有個(gè) 在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagra nge,1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Lap

2、lace, 1749-1827)，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者 投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì)，在近50年的時(shí)間里，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法國(guó)大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào)。但是，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對(duì)的。為什么我們要用正弦曲線來(lái)代替原

3、來(lái)的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來(lái)代 替呀，分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào)。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線， 只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。 且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。二、傅立葉變換分類(lèi)根據(jù)原信號(hào)的不同類(lèi)型，我們可以把傅立葉變換分為四種類(lèi)別:1非周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉變換(Fourier Transform )2周期性連續(xù)信號(hào)傅立葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)3非周期性離散信

4、號(hào)離散時(shí)域傅立葉變換( Discrete Time Fourier Tran sform)4周期性離散信號(hào)離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)F圖是四種原信號(hào)圖例:Type of TiansfonnExample SignalFourier Traiisfon 口V Fourier Seiiesccnnmous awpenodicDiscrete Time Founer Titiiisfbnii sisals hat arc 曲screw, and Disqete Fourier TransionnMpnlsare discrete ciffW pehoaic

5、 1 II I : : r777這四種傅立葉變換都是針對(duì)正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大的信號(hào)，即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來(lái)說(shuō)是不可能的，那么有沒(méi)有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅立葉變換呢？沒(méi)有。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無(wú)窮小到正無(wú)窮大，我們無(wú)法把一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào)。面對(duì)這種困難，方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)，可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來(lái)表示，這樣，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性 離散信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離解信號(hào)，這時(shí)我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。

6、這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的。但是對(duì)于非周期性的信號(hào)，我們需要用無(wú)窮多不同頻率的正弦曲線來(lái)表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅立葉變換(DFT才能被適用，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類(lèi)型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的。每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)

7、兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了， 需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過(guò)，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變 換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去， 先來(lái)理解實(shí)數(shù)傅立葉變換， 在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來(lái)理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們所要說(shuō)的變換(tra nsform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合映射準(zhǔn)則的，對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理(DSP，有許多的變換:傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義

8、，允許輸入和輸出有多種的值，簡(jiǎn)單地說(shuō)變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。三、一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(Real DFT)的例子先來(lái)看一個(gè)變換實(shí)例，下圖是一個(gè)原始信號(hào)圖像：0加*04612這個(gè)信號(hào)的長(zhǎng)度是16,于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波(一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成 N/2+1個(gè)正余弦信號(hào)，這是為什么呢？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖，我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)，最多只能有N/2+1個(gè)不同頻率,再多的頻率就超過(guò)了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍)，如下圖：9個(gè)余弦信號(hào)：C osine Waves6IIIf.II24 石 S )0 12 14 168 4

9、fl-Ib 4Iltifaiir lir _ _ t-S0246 S 10 12 14 1684 OS-i_:_:-_:_-602 -I 6 S 10 12 14 169個(gè)正弦信號(hào)Sine WavesTime Domain把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào)，至于是怎么分別變換出 9種不同頻率信號(hào)的， 我們先不急，先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果， 在程序中又是該怎么表示的， 我們可以看看下面 這個(gè)示例圖：Frequency DomainKI I IFiifwnrrl EFT ；ReX0N/2珂f2 + lhnXf 1 i I I IE0N/2WT samplescollectively referre

10、d to as X上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào)，右邊是頻域信號(hào)表示方法，從左向右表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT)，從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換 (Inverse DFT)，用小寫(xiě)x表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn) 上的幅度值數(shù)組，用大寫(xiě)X表示每種頻率的幅度值數(shù)組，因?yàn)橛蠳/2+1種頻率，所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2+1，X數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X ，Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思， 采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來(lái)進(jìn)行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用， 只記住是一種組合方法而已， 目的是為了便于表

11、達(dá) (在后面我們會(huì)知道，復(fù)數(shù)形式的 傅立葉變換長(zhǎng)度是 N而不是N/2+1 )。下一節(jié)我們將來(lái)看一下實(shí)數(shù)傅立葉變換的具體方法。理解離散傅立葉變換(二) 實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換( Real DFT)上一節(jié)我們看到了一個(gè)實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換的例子， 通過(guò)這個(gè)例子能夠讓我們先對(duì) 傅立葉變換有一個(gè)較為形象的感性認(rèn)識(shí)， 現(xiàn)在就讓我們來(lái)看看實(shí)數(shù)形式離散傅立葉變換的正 向和逆向是怎么進(jìn)行變換的。在此，我們先來(lái)看一下頻率的多種表示方法。一、頻域中關(guān)于頻率的四種表示方法1 、 序號(hào)表示方法，根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)取 0 N/2 ，用這種方法在程序中使用起 來(lái)可以更直接地取得每種頻率的幅度值，因?yàn)轭l率值跟數(shù)組的序

12、號(hào)是一一對(duì)應(yīng)的:Xk ，取值范圍是 0 N/2 ；2、 分?jǐn)?shù)表示方法，根據(jù)時(shí)域中信號(hào)的樣本數(shù)的比例值取0 0.5: X ?，?= k/N ， 取值范圍是 0 N/2 ；3、 用弧度值來(lái)表示，把？乘以一個(gè) 2 n得到一個(gè)弧度值，這種表示方法叫做自然頻率 (natural frequency): X w ,3 = 2 n? = 2 n k/N，取值范圍是 0 n;4、 以赫茲(Hz)為單位來(lái)表示，這個(gè)一般是應(yīng)用于一些特殊應(yīng)用，如取樣率為10 kHz 表示每秒有 10,000 個(gè)樣本數(shù):取值范圍是 0 到取樣率的一半。二、DFT基本函數(shù)cki = cos(2n ki/N)ski = sin(2n k

13、i/N)其中k表示每個(gè)正余弦波的頻率，如為2表示在0到N長(zhǎng)度中存在兩個(gè)完整的周期，10即有 10 個(gè)周期,如下圖:2 1 o 1Vpn 三 dE2 10 1:*pn 三 ds08162452Sample uuaibfiG162432Sample numbers162432Sample number宜E0 6 16Sample number呂二三！d三上圖中至于每個(gè)波的振幅(amplitude)值(Re Xk,lm Xk)是怎么算出來(lái)的，這個(gè)是DFT的核心，也是最難理解的部分，我們先來(lái)看看如何把分解出來(lái)的正余弦波合成原始信號(hào)(In verse DFT)。三、合成運(yùn)算方法(Real In vers

14、e DFT)DFT合成等式：N/2_Nil _.yz二 cos(2jiki/N) + 加X(jué)切 sin(27i/A)如果有學(xué)過(guò)傅立葉級(jí)數(shù)， 對(duì)這個(gè)等式就會(huì)有似曾相識(shí)的感覺(jué)，不錯(cuò)！這個(gè)等式跟傅立葉級(jí)數(shù)是非常相似的：/(兀)= + (陷 cost Ax + sin kx) =|2 k=l當(dāng)然，差別是肯定是存在的， 因?yàn)檫@兩個(gè)等式是在兩個(gè)不同條件下運(yùn)用的，至于怎么證明DFT合成公式，這個(gè)我想需要非常強(qiáng)的高等數(shù)學(xué)理論知識(shí)了，這是研究數(shù)學(xué)的人的工作，對(duì)于普通應(yīng)用者就不需要如此的追根究底了，但是傅立葉級(jí)數(shù)是好理解的，我們起碼可以從傅立葉級(jí)數(shù)公式中看出DFT合成公式的合理性。是轉(zhuǎn)換萬(wàn)法ReXkImX kReX

15、ky/2ImX k N12但k等于0和N/2時(shí)，實(shí)數(shù)部分的計(jì)算要用下面的等式 ：&左0匸TN腿丘州2 =【M2 N上面四個(gè)式中的 N是時(shí)域中點(diǎn)的總數(shù)，k是從0到N/2的序號(hào)。為什么要這樣進(jìn)行轉(zhuǎn)換呢？這個(gè)可以從頻譜密度（spectral den sity）得到理解，如F圖就是個(gè)頻譜圖：.-13 14 15 LCW=L)be - qHi r-+ rf-；這里有個(gè)特殊的地方是 j2等于-1，上面第四個(gè)式子的計(jì)算方法是把分子和分母同時(shí)乘 以c - dj，這樣就可消去分母中的j 了。復(fù)數(shù)也符合代數(shù)運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律、分配律：A B = B A(A + B) + C = A + (B + C)A(B

16、+ C) = AB + AC二、復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示形式前面提到的是運(yùn)用直角坐標(biāo)來(lái)表示復(fù)數(shù)，其實(shí)更為普遍應(yīng)用的是極坐標(biāo)的表示方法，如：i 2 - or:M = 40!,dr! 6二 arctan (6/2)3 - 7 J orM =，589= arctan (-7/3)上圖中的M即是數(shù)量積(magnitude)，表示從原點(diǎn)到坐標(biāo)點(diǎn)的距離，B是相位角 (phase angle)，表示從X軸正方向到某個(gè)向量的夾角，下面四個(gè)式子是計(jì)算方法:M 二+ (7/z A)2arctan 如_ A.Re A = M cos (0 )Im A = M suite)我們還可以通過(guò)下面的式子進(jìn)行極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換:

17、a + jb = M (cos 0 + j sin 0 ) 上面這個(gè)等式中左邊是直角坐標(biāo)表達(dá)式，右邊是極坐標(biāo)表達(dá)式。Leon hard Euler ，還有一個(gè)更為重要的等式一一歐拉等式(歐拉是瑞士的著名數(shù)學(xué)家,1707-1783)：jxe = cos x + j sin x這個(gè)等式可以從下面的級(jí)數(shù)變換中得到證明：kW.二v 2k- 1,S(_1)莎應(yīng)上面中右邊的兩個(gè)式子分別是cos(x)和sin(x)的泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)。這樣子我們又可以把復(fù)數(shù)的表達(dá)式表示成指數(shù)的形式了：a + jb = M e j 0 (這便是復(fù)數(shù)的兩個(gè)表達(dá)式)指數(shù)形式是數(shù)字信號(hào)處理中數(shù)學(xué)方法的支柱，也許是因?yàn)橛弥笖?shù)形

18、式進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算極為簡(jiǎn)單的緣故吧：三、復(fù)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)工具為什么要使用復(fù)數(shù)呢？其實(shí)它只是個(gè)工具而已，就如釘子和錘子的關(guān)系，復(fù)數(shù)就象那錘子，作為一種使用的工具。我們把要解決的問(wèn)題表達(dá)成復(fù)數(shù)的形式(因?yàn)橛行﹩?wèn)題用復(fù)數(shù)的形式進(jìn)行運(yùn)算更加方便)，然后對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)得到我們所需要的結(jié)果。有兩種方法使用復(fù)數(shù)，一種是用復(fù)數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的替換，如前面所說(shuō)的向量表達(dá)式方法和 前一節(jié)中我們所討論的實(shí)域DFT,另一種是更高級(jí)的方法：數(shù)學(xué)等價(jià)(mathematicalequivale nee)，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換用的便是數(shù)學(xué)等價(jià)的方法，但在這里我們先不討論這種方法，這里我們先來(lái)看一下用復(fù)數(shù)進(jìn)行

19、替換中的問(wèn)題。用復(fù)數(shù)進(jìn)行替換的基本思想是：把所要分析的物理問(wèn)題轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)的形式，其中只是簡(jiǎn)單地添加一個(gè)復(fù)數(shù)的符號(hào) j，當(dāng)返回到原來(lái)的物理問(wèn)題時(shí)，則只是把符號(hào)j去掉就可以了。有一點(diǎn)要明白的是并不是所有問(wèn)題都可以用復(fù)數(shù)來(lái)表示，必須看用復(fù)數(shù)進(jìn)行分析是否適用，有個(gè)例子可以看出用復(fù)數(shù)來(lái)替換原來(lái)問(wèn)題的表達(dá)方式明顯是謬誤的：假設(shè)一箱的蘋(píng)果是5美元，一箱的桔子是 10美元，于是我們把它表示成5 + 10j ，有一個(gè)星期你買(mǎi)了 6箱蘋(píng)果和2箱桔子，我們又把它表示成6 + 2j ,最后計(jì)算總共花的錢(qián)是(5 + 10j)(6 + 2j) = 10+ 70j，結(jié)果是買(mǎi)蘋(píng)果花了 10美元的，買(mǎi)桔子花了 70美元，這樣的

20、結(jié)果明顯是錯(cuò)了，所以 復(fù)數(shù)的形式不適合運(yùn)用于對(duì)這種問(wèn)題的解決。四、用復(fù)數(shù)來(lái)表示正余弦函數(shù)表達(dá)式對(duì)于象M cos ( 3 t +$ )和A cos( 3 t ) + B sin( t )表達(dá)式，用復(fù)數(shù)來(lái)表示，可以變得非常簡(jiǎn)潔，對(duì)于直角坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：Jcos(wr) + Bsiiifwr) 口 n + jbiconx&i tional repiiarim (cGuiplen number)上式中余弦幅值 A經(jīng)變換生成a,正弦幅值B的相反數(shù)經(jīng)變換生成 b: A a, B -b , 但要注意的是，這不是個(gè)等式，只是個(gè)替換形式而已。對(duì)于極坐標(biāo)形式可以按如下形式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：M C0S(3+

21、 ) ormmberf上式中，M M,B - 0。這里虛數(shù)部分采用負(fù)數(shù)的形式主要是為了跟復(fù)數(shù)傅立葉變換表達(dá)式保持一致，對(duì)于這種替換的方法來(lái)表示正余弦，符號(hào)的變換沒(méi)有什么好處，但替換時(shí)總會(huì)被改變掉符號(hào)以跟更高 級(jí)的等價(jià)變換保持形式上的一致。在離散信號(hào)處理中，運(yùn)用復(fù)數(shù)形式來(lái)表示正余弦波是個(gè)常用的技術(shù)，這是因?yàn)槔脧?fù)數(shù)進(jìn)行各種運(yùn)算得到的結(jié)果跟原來(lái)的正余弦運(yùn)算結(jié)果是一致的，但是，我們要小心使用復(fù)數(shù)操作，如加、減、乘、除，有些操作是不能用的，如兩個(gè)正弦信號(hào)相加，采用復(fù)數(shù)形式進(jìn)行相 加，得到的結(jié)果跟替換前的直接相加的結(jié)果是一樣的，但是如果兩個(gè)正弦信號(hào)相乘，則采用復(fù)數(shù)形式來(lái)相乘結(jié)果是不一樣的。幸運(yùn)的是，我們

22、已嚴(yán)格定義了正余弦復(fù)數(shù)形式的運(yùn)算操作 條件：1、 參加運(yùn)算的所有正余弦的頻率必須是一樣的；2、 運(yùn)算操作必須是線性的，如兩個(gè)正弦信號(hào)可以進(jìn)行相加減，但不能進(jìn)行乘除，象 信號(hào)的放大、衰減、高低通濾波等系統(tǒng)都是線性的，象平方、縮短、取限等則不是 線性的。要記住的是卷積和傅立葉分析也只有線性操作才可以進(jìn)行。下圖是一個(gè)相量變換(我們把正弦或余弦波變成復(fù)數(shù)的形式稱(chēng)為相量變換，Phasortransform)的例子，一個(gè)連續(xù)信號(hào)波經(jīng)過(guò)一個(gè)線性處理系統(tǒng)生成另一個(gè)信號(hào)波，從計(jì)算過(guò)程我們可以看出采用復(fù)數(shù)的形式使得計(jì)算變化十分的簡(jiǎn)潔：Inpin signalOutput sigimldco$啊亠護(hù))orL1213

23、cos(wr) - 2.1213stD(ur)1.5cuOUPS莒-d 弗1-0 f-0.541.4 fl.S -0.2-C.100.10 2G.30.40.5Frequency上面的頻譜圖把負(fù)頻率放到了左邊，是為了迎合我們的思維習(xí)慣，但在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中我們一般是把它移到正的頻譜后面的。從上圖可以看出，時(shí)域中的正余弦波(用來(lái)組成原始信號(hào)的正余弦波)在復(fù)數(shù)DFT的頻譜中被分成了正、負(fù)頻率的兩個(gè)組成部分，基于此等式中前面的比例系數(shù)是1/N (或1/2n),而不是2/N，這是因?yàn)楝F(xiàn)在把頻譜延伸到了2n，但把正負(fù)兩個(gè)頻率相加即又得到了2/N,又還原到了實(shí)數(shù)DFT的形式，這個(gè)在后面的描述中可以更清楚地看到。

24、由于復(fù)數(shù)DFT生成的是一個(gè)完整的頻譜，原始信號(hào)中的每一個(gè)點(diǎn)都是由正、負(fù)兩個(gè)頻率組合而成的，所以頻譜中每一個(gè)點(diǎn)的帶寬是一樣的，都是1/N，相對(duì)實(shí)數(shù)DFT,兩端帶寬比其它點(diǎn)的帶寬少了一半；復(fù)數(shù)DFT的頻譜特征具有周期性：-N/2 0與N/2 N-1是一樣的，實(shí)域頻譜呈偶 對(duì)稱(chēng)性(表示余弦波頻譜)，虛域頻譜呈奇對(duì)稱(chēng)性(表示正弦波頻譜)。四、逆向傅立葉變換假設(shè)我們已經(jīng)得到了復(fù)數(shù)形式的頻譜Xk，現(xiàn)在要把它還原到復(fù)數(shù)形式的原始信號(hào)xn，當(dāng)然應(yīng)該是把 Xk乘以一個(gè)復(fù)數(shù)，然后再進(jìn)行求和，最后得到原始信號(hào)xn，這個(gè)跟Xk相乘的復(fù)數(shù)首先讓我們想到的應(yīng)該是上面進(jìn)行相關(guān)性計(jì)算的復(fù)數(shù)：cos(2 n kn/N)-j s

25、in(2 n kn/N)，但其中的負(fù)號(hào)其實(shí)是為了使得進(jìn)行逆向傅立葉變換時(shí)的正弦函數(shù)變?yōu)檎?符號(hào)，因?yàn)樘摂?shù)j的運(yùn)算特殊性，使得原來(lái)應(yīng)該是正的正弦函數(shù)變?yōu)榱素?fù)的正弦函數(shù)(我們后面的推導(dǎo)會(huì)看到這一點(diǎn))，所以這里的負(fù)號(hào)只是為了糾正符號(hào)的作用，在進(jìn)行逆向DFT時(shí)，我們可以把負(fù)號(hào)去掉，于是我們便得到了這樣的逆向DFT變換等式:xn = Xk (cos(2 n kn/N) + j sin (2 n kn/N)我們現(xiàn)在來(lái)分析這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)式其實(shí)跟實(shí)數(shù)傅立葉變換是可以得到一樣結(jié)果 的。我們先把 Xk 變換一下：Xk = Re Xk + j Im Xk這樣我們就可以對(duì) xn 再次進(jìn)行變換，如：xn = (Re Xk + j Im Xk) (cos(2 n kn/N) + j sin (2n kn/N)=(Re Xk cos( 2n kn/N) + j Im Xk cos( 2n kn/N) +j Re Xk sin(2n kn/N) - Im Xk sin( 2n kn/N)=(Re Xk (cos( 2n kn/N) + j sin (2n kn/N)+(1)Im Xk ( - sin(2n