用矩陣的初等變換求逆矩陣

1、精品文檔 . 2007年11月16日至18日，有幸參加了由李尚志教授主講的國家精品課程線性代數(shù)（非數(shù)學專業(yè)）培訓班，使我受益匪淺，在培訓中，我見識了一種全新的教學理念。李老師的“隨風潛入夜，潤物細無聲”“化抽象為自然”“餓了再吃”等教學理念很值得我學習。作為剛參加工作的年輕教師，我應該在以后的教學中，慢慢向這種教學理念靠攏，使學生在不知不覺中掌握較為抽象的知識。下面這個教案是根據(jù)李老師的教學理念為“三本”學生寫的，不知是否能達要求，請李老師指教。 用矩陣的初等變換求逆矩陣 一、問題提出 在前面我們以學習了用公式 求逆矩陣，但當矩陣A的階數(shù)較大時，求A*很繁瑣，此方法不實用，因此必須找一種更簡單

2、的方法求逆矩陣，那么如何找到一種簡單的方法呢？ （餓了再吃） 二、求逆矩陣方法的推導 （“潤物細無聲”“化抽象為自然”） 我們已學習了矩陣初等變換的性質(zhì)，如 1.定理2.4 對mxn矩陣A，施行一次初等行變換，相當于在A的左邊乘以相應m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應的n階初等矩陣。 2.初等矩陣都是可逆矩陣，其逆矩陣還是初等矩陣。 3.定理2.5的推論 A可逆的充要條件為A可表為若干初等矩陣之積。即 4.推論 A可逆，則A 可由初等行變換化為單位矩陣。 （1） 由矩陣初等變換的這些性質(zhì)可知，若A可逆，構造分塊矩陣(AE)，其中E為與A同階的單位矩陣，那么 （2）

3、由（1）式 代入（2）式左邊， 上式說明分塊矩陣(AE)經(jīng)過初等行變換，原來A的位置變換為單位陣E，原來E的位置變換為我們所要求的1A?,即 21121111111112112112stssttmPPPAQQQEAPPPPEQQQQRRR?LLLLL11121mRRRAE?L111121mRRRA?L?122nnnnAEEA? 1*1AAA?1111AAEAAAEEA?111121mARRR?L?111121mRRRAEEA?L精品文檔 . 三，講解例題 1. 求逆矩陣方法的應用之一 例 解： 四，知識拓展 2求逆矩陣方法的應用之二 利用矩陣的初等行變換也可以判斷一個矩陣是否可逆，即分塊矩陣(

4、AE)經(jīng)過初等行變換，原來A的位置不能變換為單位陣E，那么A不可逆。 例 解： 而上面分塊矩陣的第一塊第二行全為零，它不可能變換為單位矩陣，所以A不可逆。 3求逆矩陣方法的應用之三 利用矩陣初等行變換解矩陣方程 （“潤物細無聲”） 1112120,113AA?設求 。112100120010113001AE?（）2131rrrr?112100032110001101?110302030312001101?132322rrrr? ?30211012010133001101?313 r1423310012010133001101?12rr ?11423312133101A?112122145,41

5、211111AA?設求。12121000214501004121001011110001AE?（）12121000036921000969401001231001?12121000000011030969401001231001?精品文檔 . 對一般的矩陣方程 求解，我們可以先求1A? ，然后求X1A?B。 現(xiàn)在我們介紹另外一種方法求矩陣方程。 其實在推導求逆矩陣方法的過程就是求解矩陣方程的過程，因為求1A?就是求解矩陣方程 的解，而對一般的矩陣方程 只要將 中的E換成B，然后利用初等行變換，即 其中的1A?B即為所求矩陣方程 的X。 例 解： 五、小結 1.矩陣初等行變換：求逆、判斷矩陣是否可逆、 解矩陣方程 2.思考：若XA=B，如何用初等變換法求X? 賀建輝 2007-11-21 AXE?AXB?AXB?AE?122nnnnABEAB? AXB?123252213134343ABAXBX?設，若，求。12325221313