初三數(shù)學知識點整理3空間與圖形

1、初三數(shù)學知識點整理 3 幾何部分一、直線與線段1、直線公理：兩 點確定一條直線； 2、線段公理： 兩點之間， 線段 最短二、角： 1、有公共端點的兩條射線組成的圖形交角；角的分類：2、 和為直角的兩個角互為余角，和為平角的兩個角互為補角。 3、六十 進位制 :4、角平分線的性質(zhì) ：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點在 角平分線 上。三、相交線與平行線 1. 余角、補角、對頂角（相交）的性質(zhì) ：同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等； 對頂角相等。2. 垂直 (1)垂線的性質(zhì) ：過一點有且只有 1 條直線與已知直線垂直；直線 外一點有與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂

2、 線段最短 ；(2) 線段垂直平分線定義 ：過線段的中點并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線（3）線段垂直平分線的性質(zhì) ：線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等， 到線段兩端點的距離相等的點在線段垂直平分線上；3. 平行 （1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)不 相交 的兩條直線叫做平行線；（2）平行線的性質(zhì) ：兩直線平行，同位角 _；兩直線平行，內(nèi)錯角 _；兩直線平行，同旁內(nèi)角 互補（3）平行線的判定： 同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；（4）平行的性質(zhì)：經(jīng)過直線 外一點有且只有一條直線平行于已知直線。4. 距離 （1）連接兩點的 線段的長度 叫做兩點間

3、的距離；（2）直線外一點向直線所作的 垂線段的長度 叫做點到直線的距離；（3） 兩條平行線間的距離 ：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做兩條平行線間的距離 兩條平行線間的距離是一個定值， 不隨垂線段位置改變而改變，兩條平行線間的距離處處相等四、三角形 1. 三角形的有關(guān)概念 。2. 三角形的有關(guān)性質(zhì) ：三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于 _180_ ；三角形的外角和定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的三條角平分線交于一點（ _內(nèi)_心）；三角形的三邊的垂直平分線交于一點 （外

4、心）；三角形的三條中線交于一點 （重心）；三角形中位線定理：三角形中位線平行于 _邊，并且等于 _邊的一半；3. 全等三角形 （1）定義：兩個能夠重合的三角形是全等三角形。（2）性質(zhì)：全等三角形的對應邊 _，對應角 _。（3）三角形全等的條件：邊角邊（ SAS）；角邊角（ ASA）；角角邊（ AAS）；邊邊邊（ SSS）；斜邊、直角邊（ H L）4. 等腰三角形 (1) 等腰三角形的性質(zhì) ：等腰三角形的兩個底角相等 （等邊對等角） ；知識點 3 幾何 第 1 頁 共 8 頁等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一） ；以頂角平分線所在直線為對稱軸的軸對稱圖形。(2)

5、等腰三角形的判定 ：有兩邊相等 有兩個角相等（等角對等邊） ；5. 等邊三角形的判定： （1）三邊相等 （2）三角相等（3）有 1 個角等于 60的等腰三角形6. 直角三角形 （1）直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互為_角；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半； 直角三角形的兩直角邊的 _等于斜邊的平方（勾股定理） ；直角三角形中， 30角所對的直角邊等于斜邊的一半。垂心是直角頂點，外心是斜邊的中點記憶: （1）母子相似 （ 2）兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高的乘積（3）內(nèi)切圓半徑 =三角形面積的 2 倍除以三角形周長，或周長的一半減去斜邊長。（2）直角三角形的判定 ： 有一個內(nèi)角是

6、直角的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理 : 如果三角形的三邊長a、b 、 c 有下面關(guān)系2 b2 c2a ，那么這個三角形是直角三角形7.銳角三角函數(shù)： （1）在 Rt ABC中， C=90 ，sinA=A ，的對邊斜邊cosA=A , tanA=的鄰邊斜邊A 的對邊；sinA=cosB; 0sinA1,0cosA0.A 的鄰邊(2)銳角 A越大 , A 的正弦和正切值越大 , 余弦值反而越小 .(3) 特殊角的三角函數(shù)值：三角 函數(shù)度數(shù)30 45 60sin 122232cos322212tan 331 3(4) 坡角 ：斜坡與水平面的夾角坡度 鉛直高度i 水平寬度hltan五、四邊形

7、1. 多邊形：（1）多邊形的內(nèi)角和定理： n邊形的內(nèi)角和等于 （n-2）180（n 3，n 是正整數(shù)）； （2）多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于 36 0（3）各角都相等，各邊都相等的多邊形叫正多邊形（4）用多邊形進行密鋪的條件： 圍繞平面內(nèi)同一點， 拼在一起的幾個多邊形的內(nèi)角的和知識點 3 幾何 第 2頁共 8 頁恰好為 360. 相接的邊長相等例：正三角形；正四邊形；正五邊形；正六邊形；正八邊形；正十邊形解：以上正多邊形各內(nèi)角依次為 60；90；108；120；135；144可以用以上一種鋪滿地面的是；可以用以上兩種鋪滿地面的是；2平行四邊形 平行四邊形是四邊形中應用廣泛的一種圖

8、形， 它是研究特殊四邊形的基礎，是研究線段相等、角相等和直線平行的根據(jù)之一（1）平行四邊形的定義： 兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（2）平行四邊形的性質(zhì) ：平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等；平行四邊形的兩組對角分別相等； 平行四邊形的對角線互相平分 平行四邊形是以兩條對角線的交點為對稱中心的 中心對稱 圖形（3） 平行四邊形的判定： 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 （4） 平行四邊形的面積等于底 高3. 矩形 (1) 定義 : 有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形

9、.(2) 矩形的性質(zhì) ：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外） 矩形的四個角都是直角； 矩形的對角線相等；矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形(3) 矩形的判定 ：，定義 有 3 個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形；4. 菱形 (1) 定義: 有一組鄰邊相等的 平行四邊形 叫做菱形 .(2) 菱形的性質(zhì) ：（除具有平行四邊形所有性質(zhì)外）菱形的四邊相等；菱形的對角線互相垂直平分；菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形(3) 菱形的判定： 定義 四邊相等的四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 .（4）菱形的面積等于兩對角線長乘積的 _5. 正方形 (1) 定義: 有一組鄰邊相等且有

10、一個角是直角的平行四邊形叫做正方形(2) 正方形的性質(zhì) ：正方形的四邊相等；正方形的四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；(3) 正方形的判定： 有一個角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形。6.中點四邊形 :原四邊形 中點四邊形任意四邊形 是平行四邊形對角線相等的四邊形 菱形對角線垂直的四邊形 矩形對角線相等且垂直的四邊形 正方形六、尺規(guī)作圖 （基本作圖、利用基本圖形作三角形和圓）作一條線段等于已知線段，作一知識點 3 幾何 第 3 頁 共 8 頁個角等于已知角；作已知角的平分線；作線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線；七、視圖與

11、投影 1視圖 ：主視圖、左視圖、俯視圖2基本幾何體的三視圖畫法 ：（1）觀察方向：正面、側(cè)面、上面 （2）視圖特點：長對正，高平齊，寬相等 （3）要注意實線與虛線的用法3.平行投影 ：太陽光線可以看成是平行光線，像這樣的光線形成的投影稱為平行投影4.中心投影 ：光線可以看成是從一點發(fā)出的，像這樣的光線形成的投影稱為中心投影八、圓 1. 圓有關(guān)的概念 :（1） 圓 ：平面上到定點的距離等于定長所有點組成的圖形叫做圓，其中，定點為圓心，定長為半徑圓的內(nèi)部是 _的點的集合（2） 圓心角 ：頂點在圓心的角叫做圓心角（3） 圓周角 ：頂點在圓上，兩邊分別與圓還有另一個交點的角叫做圓周角（4）弧：圓上任意

12、兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧等?。?在同圓或等圓中，能夠互相重合的?。?） 弦 ：連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑2. 圓的有關(guān)的性質(zhì)： 軸對稱性和中心對稱性以及旋轉(zhuǎn)不變性（1）圓心角、弦和弧三者之間的關(guān)系： 在同圓或等圓中 ，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等；（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；（3）圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于 所對弧的度數(shù) ；（4）圓心角與圓周角的關(guān)系 :同圓或等圓中 ，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半（5）圓內(nèi)

13、接四邊形 :頂點都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形 圓內(nèi)接四邊形對角互補 .（6）圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角，反過來， 90 的圓周角所對的弦是直徑；3 （1） 確定圓的條件 ：已知圓心和半徑 不在同一直線上的三個點確定一個圓（2）三角形的內(nèi)切圓和外接圓：三角形的內(nèi)切圓 三角形的外接圓A A圖形O IB CB C圓心 內(nèi)心 外心內(nèi)外心性質(zhì)內(nèi)心是三角形角平分線的交點內(nèi)心到三邊的距離相等外心是三角形中垂線的交點外心到三個頂點的距離相等角度 BIC=90 +12 ABOC=2A或BOC=360 -2 A知識點 3 幾何 第 4 頁 共 8 頁如圖，1 a b c cS ABC ，當 時， a

14、b c r C 90 r ,R內(nèi) 內(nèi) 外2 2 24. 點與圓的位置關(guān)系 ：設圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則點在圓外 dr點在圓上 d=r點在圓內(nèi) dr證多點在同一個圓上，即證這些點到一定點的距離相等5直線和圓的位置關(guān)系 有三種：相離、相切、相交設圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則直線與圓相交 dr，直線圓相切 d=r，直線與圓相離 d r切線的判定定理：經(jīng)過半徑的 外 端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑；切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，這一點到兩切點的線段相等，它與圓心的連線平分兩切線的夾角；如圖，PA，P B分別切 O于 A、B

15、。直線OP交 O于 D、E，交弦 A B于 CA 51E o C D P7 38 42 6B則由切線長定理得 PA=PB, 3=4由等腰三角形三線合一性質(zhì)得 PCAB,AC=BC由切線性質(zhì)得 OAAP,OBBP 由垂徑定理得 AD=BD,AE=BE連AD BD D ABP 、 得為 內(nèi)心 1 2 3 4 5 6 7 8 ； 6.圓與圓的位置關(guān)系 3設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R 和 r，則 兩圓外離 d R+r； 兩圓外切 d= R+r ； 兩圓相交 R-rdR+r（ Rr） 兩圓內(nèi)切 d= R-r （Rr） 兩圓內(nèi)含 dR-r（Rr）7.扇形的弧長和面積lnR1802 n R 1S

16、或 S lR360 2(列式時不帶單位 )（R為半徑， n 是扇形所對的圓心角的度數(shù)， l為扇形的弧長）8.立體圖形的認識1. 幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構(gòu)成圖形的基本元素2.圓柱可以看著矩形繞著它的一邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，圓錐可以看著直角三角形繞著直角邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，圓臺可以看著直角梯形繞著垂直于底邊的一腰旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形。圓錐、圓柱的側(cè)面積和表面積1S S底面周長母線長圓錐側(cè)2圓柱側(cè)=底面周長 高S S圓柱表 S側(cè)2S底圓錐表 S S側(cè) 底12 2V圓錐 r h V r h圓柱3知識點 3 幾何 第 5頁共 8 頁 圓錐的底面周長等于側(cè)面展開扇形的弧長圓柱的底面

17、周長等于側(cè)面展開矩形的一邊長 圓錐的母線長等于側(cè)面展開扇形的半徑圓柱的高等于側(cè)面展開矩形的另一邊長9、正多邊形和圓九. 圖形的軸對稱 1. 比較： 一個圖形沿著一條直線（對稱軸）折疊，如果它能與另一個圖像重合，則稱這兩個圖形關(guān)于這條直線 軸對稱， 一個圖形沿著一條直線（對稱軸）折疊，直線兩旁的部分重合，則稱這個圖形是 軸對稱圖形2. 軸對稱的基本性質(zhì)： （1）關(guān)于軸對稱的兩個圖形是全等形（ 2）對稱軸是對應點所連的線段的垂直平分線；3. 等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓是軸對稱圖形；十. 圖形的旋轉(zhuǎn) 1. 圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì) ：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等， 對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所

18、成的角彼此相等（等于旋轉(zhuǎn)角） ；旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。2. 中心對稱圖形 : （1） 在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn) 180 度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。 （2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形，中心對稱圖形上的每對應點所連成的線段都被對稱中心平分。（3）平行四邊形、矩形、菱形、正多邊形（ 邊數(shù)是偶數(shù) ）、圓是中心對稱圖形；十一. 圖形的平移 1、 平移的概念 ：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小注:（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，初中講的平移是指平面圖形在同一平面

19、內(nèi)的變換 （2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形 平移的方向 ，二是圖形 平移的距離 ，這兩個要素是圖形平移的依據(jù) （3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經(jīng)過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的大小2平移的基本性質(zhì)： （1）新圖形與原圖形全等經(jīng)過平移； （2）對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等3.平移作圖主要關(guān)注： （1）方向 （2）距離，平移作圖就像把整個圖形的每一個特征點放在一套平行的軌道上滑動一樣，每一個特征點滑過的距離是一樣的。十二. 圖形的相似1. 比例的基本性質(zhì) ：如果abcda c，則ad bc ，如果 ad bc ，則 (b 0,d 0)b d2.

20、平行線分線段成比例定理 ：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例 .圖 1 圖 2 圖 33. 相似三角形的判定 ： 兩組角對應相等；兩邊對應成比例且夾角對應相等；三邊對應成比例 直角三角形相似的判定知識點 3 幾何 第 6 頁 共 8 頁4. 相似三角形的性質(zhì) ：相似三角形的對應角相等；相似三角形的對應邊成比例；相似三角形的周長之比等于相似比；相似三角形的面積比等于相似比的平方；5.相似多邊形 : 兩個邊數(shù)相同的多邊形，各角對應相等，各邊對應成比例性質(zhì) ：相似多邊形的對應角相等；相似多邊形的對應邊成比例；相似多邊形的周長之比等于相似比；相似多邊形的面積比等于相似比的平方6.位似圖形：

21、 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。位似圖形性質(zhì) ：位似圖形具有相似圖形的性質(zhì) 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。A7.圖形的位似與圖形相似的關(guān)系 ：兩個圖形相似不一定是位似圖形，兩個位似圖形一定是相似圖形；8.黃金分割： C 為線段 AB 上一點且 AC 2=BC AB 則2=BC AB 則ACAB=_BDC底 5 1黃金三角形 : 0.618腰 2寬 51黃金矩形 0.618 長 2AF EG9. 三角形的重心 : 三條中線的交點，需記的結(jié)論 :DGDAEG

22、EBFGFC13B CD01.ABC 中,AB=AC, 則B=C=901 A,A=180 02B21 BAC2. ABC 中,I 為內(nèi)心，則 BIC90 23ABC 中,O 為內(nèi)心，則 BOC2A 或 360 2A1 （a+bc）4直角三角形外接圓直徑斜邊長，內(nèi)切圓半徑 2一般三角形的內(nèi)切圓半徑等于三角形的面積的兩倍除以三角形的周長5平行四邊形的面積底 高，菱形的面積對角線積的一半2，弧長 l=6圓周長 c=2 r，面積 rn rr180扇形面積n rr3602或12 弧長 半徑hl=tan 8正邊形的中心角為360n07.坡度 i= =外角9各邊相等且各角相等的多邊形是正多邊形；10圓柱的側(cè)面展開圖為矩形 S0 的圓錐柱側(cè) =L 2 r， 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形 (錐角 60的側(cè)面展開圖是半圓 ),軸截面是等腰三角形 .11. 周長相等的正多邊形邊數(shù)越多面積越大；面積相等的正多邊形邊數(shù)越多周長越小；知識點 3 幾何 第 7 頁 共 8 頁018012. 正多邊形轉(zhuǎn)化為直角三角形，同圓的內(nèi)接與外切正多邊形的相似比為 cosn13順次連結(jié)任意四邊形各邊中點得平行四邊形；順次連結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點得菱形；順次連結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形；要得正方形呢 ?14.對角線互相垂直的四邊形面積等于兩對角線