(精編)八年級(jí)因式分解難題(附答案及解析)

1、本word文檔可編輯可修改 2017年 05月 21日數(shù)學(xué)（因式分解難題） 2一填空題（共 10小題）1已知 x+y=10，xy=16，則 x y+xy 的值為222兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成 2（x1）（x9）；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)分解成 2（x2）（x4），請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確 的結(jié)果寫出來：23若多項(xiàng)式 x +mx+4能用完全平方公式分解因式，則 m 的值是24分解因式： 4x4x3=225利用因式分解計(jì)算： 202 +202196+98 =2226ABC三邊 a，b，c滿足 a +b +c =ab+bc+ca，則 ABC 的形狀是22

2、2222227計(jì)算： 12 +34 +56 +100 +101 =8定義運(yùn)算 ab=（1a）b，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算 的四個(gè)結(jié)論：2（ 2）=3ab=ba若 a+b=0，則（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，則 a=1或 b=0其中正確結(jié)論 的序號(hào)是（填上你認(rèn)為正確 的所有結(jié)論 的序號(hào)）2323456789如果 1+a+a +a =0，代數(shù)式 a+a +a +a +a +a +a +a =2210若多項(xiàng)式 x6xb可化為（ x+a）1，則 b 的值是二解答題（共 20小題）2211已知 n為整數(shù)，試說明（ n+7）（n3） 的值一定能被 20整除212因式分解： 4x y4xy+y13

3、因式分解第1頁(yè)（共 31頁(yè)） 3（1）aab22（2）（xy） +4xy14先閱讀下面 的內(nèi)容，再解決問題，例題：若 m2+2mn+2n6n+9=0，求 m和 n 的值222解： m +2mn+2n6n+9=0222m +2mn+n +n6n+9=022（m+n） +（n3） =0m+n=0，n3=0m=3，n=3問題：22y（1）若 x +2y2xy+4y+4=0，求 x 的值22（2）已知ABC 的三邊長(zhǎng) a，b，c都是正整數(shù)，且滿足 a +b6a6b+18+| 3c| =0，請(qǐng)問 ABC是怎樣形狀 的三角形？15如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù) 的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和2222

4、22諧數(shù)”如 4=20，12=42，20=64，因此 4，12，20這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù)（1）36和 2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和 2k（其中 k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造 的和諧數(shù)是 4 的倍數(shù)嗎？為什么？（3）介于 1到 200之間 的所有“和諧數(shù)”之和為16如圖 1，有若干張邊長(zhǎng)為 a 的小正方形、長(zhǎng)為 b寬為 a 的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為 b 的大正方形 的紙片第2頁(yè)（共 31頁(yè)） （1）如果現(xiàn)有小正方形 1張，大正方形 2張，長(zhǎng)方形 3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（在圖 2虛線框中畫出圖形），并運(yùn)用面積之間 的關(guān)系，將22多項(xiàng)式 a +3a

5、b+2b分解因式（2）已知小正方形與大正方形 的面積之和為 169，長(zhǎng)方形 的周長(zhǎng)為 34，求長(zhǎng)方形 的面積（3）現(xiàn)有三種紙片各 8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出 的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接）可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同 的正方形，求17（1）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖 1所示，用若干塊這樣 的硬紙片拼成一個(gè)新 的長(zhǎng)方形，如圖 2用兩種不同 的方法，計(jì)算圖 2中長(zhǎng)方形 的面積；由此，你可以得出 的一個(gè)等式為：（2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖 3所示請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫出你 的拼圖；22請(qǐng)你用拼圖等方法推出 2a +5

6、ab+2b因式分解 的結(jié)果，畫出你 的拼圖18已知 a+b=1，ab=1，設(shè) s =a+b，s =a2+b2，s3=a3+b，sn=an+b3n12第3頁(yè)（共 31頁(yè)） （1）計(jì)算 s；2（2）請(qǐng)閱讀下面計(jì)算 s 的過程：3因?yàn)?a+b=1，ab=1，3322所以 s =a +b =（a+b）（a +b）ab（a+b）=1s（ 1）=s +1=322你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（ 2）中 s 的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到 的方法計(jì)算3s4（3）試寫出 s，s，s三者之間 的關(guān)系式；n2n1n（4）根據(jù)（ 3）得出 的結(jié)論，計(jì)算 s619（1）利用因式分解簡(jiǎn)算： 9.82+0.49.8+0.042（2）

7、分解因式： 4a（a1）（1a）2220閱讀材料：若 m2mn+2n8n+16=0，求 m、n 的值22222解： m2mn+2n8n+16=0，（ m2mn+n）+（n8n+16）=02222（mn） +（n4） =0，（ mn） =0，（n4） =0，n=4，m=4根據(jù)你 的觀察，探究下面 的問題：22（1）已知 x +2xy+2y +2y+1=0，求 xy 的值22（2）已知 ABC 的三邊長(zhǎng) a、b、c都是正整數(shù)，且滿足 a +b6a8b+25=0，求ABC 的最大邊 c 的值（3）已知 ab=4，ab+c26c+13=0，則 ab+c=21仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：2例題：已知二次

8、三項(xiàng)式 x4x+m有一個(gè)因式是（ x+3），求另一個(gè)因式以及 m 的值第4頁(yè)（共 31頁(yè)） 222解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得 x4x+m=（x+3）（x+n），則 x4x+m=x +（n+3）x+3nn+3=4m=3n解得：n=7，m=21另一個(gè)因式為（ x7），m 的值為 21問題：2（1）若二次三項(xiàng)式 x5x+6可分解為（ x2）（x+a），則 a=；2（2）若二次三項(xiàng)式 2x +bx5可分解為（ 2x1）（x+5），則 b=；22x +5xk有一個(gè)因式是（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式（2x3），求另一個(gè)因式以及 k 的值22分解因式：2（1）2xx；（2）16x1；

9、2223（3）6xy9x yy；2（4）4+12（xy）+9（xy ）222223已知 a，b，c是三角形 的三邊，且滿足（ a+b+c） =3（a +b +c），試確定三角形 的形狀24分解因式（1）2x4x y +2y442 2322（2）2a4a b+2ab25圖是一個(gè)長(zhǎng)為 2m、寬為 2n 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖 的形狀拼成一個(gè)正方形（1）圖中 的陰影部分 的面積為 ；（2）觀察圖請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式（ m+n）、（mn）、mn之間 的等量關(guān)22系是第5頁(yè)（共 31頁(yè)） 2（3）若 x+y=7，xy=10，則（ xy） =（4）實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以

10、用圖形 的面積來表示如圖，它表示了2（5）試畫出一個(gè)幾何圖形，使它 的面積能表示（m+n）（m+3n）=m +4mn+3n2226已知 a、b、c滿足 ab=8，ab+c +16=0，求 2a+b+c 的值27已知：一個(gè)長(zhǎng)方體 的長(zhǎng)、寬、高分別為正整數(shù) a、 b、c，且滿足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：這個(gè)長(zhǎng)方體 的體積22228（x4x）2（x4x）1529閱讀下列因式分解 的過程，再回答所提出 的問題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x） 1+x+x（x+1）2=（1+x）（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式 的方法是，共應(yīng)用了次22004（2）若分

11、解 1+x+x（x+1）+x（x+1）+ +x（x+1 ），則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是2n（3）分解因式： 1+x+x（x+1）+x（x+1） + +x（x+1）（n為正整數(shù)）30對(duì)于多項(xiàng)式 x5x +x+10，如果我們把 x=2代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式 x3325x2+x+10=0，這時(shí)可以斷定多項(xiàng)式中有因式（ x2）（注：把 x=a代入多項(xiàng)第6頁(yè)（共 31頁(yè)） 式能使多項(xiàng)式 的值為 0，則多項(xiàng)式含有因式（ xa），于是我們可以把多項(xiàng)式322寫成： x5x +x+10=（x2）（x +mx+n），（1）求式子中 m、n 的值；（2）以上這種因式分解 的方法叫試根法，用試根法分解多項(xiàng)式10 的

12、因式x2x13x3 2第7頁(yè)（共 31頁(yè)） 2017年 05月 21日數(shù)學(xué)（因式分解難題） 2參考答案與試題解析一填空題（共 10小題）21（2016秋?望謨縣期末）已知 x+y=10，xy=16，則 x y+xy2 的值為 160【分析】首先提取公因式 xy，進(jìn)而將已知代入求出即可【解答】解： x+y=10，xy=16，22x y+xy =xy（x+y）=1016=160故答案為： 160【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵2（2016秋?新賓縣期末）兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成 2（x1）（x9）；另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常

13、數(shù)項(xiàng)分解成 2（x2）（x4），請(qǐng)你將原多項(xiàng)式因式分解正確 的結(jié)果寫出來：3 ） 2（x2【分析】根據(jù)多項(xiàng)式 的乘法將 2（x1）（x9）展開得到二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)；將 2（x2）（x4）展開得到二次項(xiàng)、一次項(xiàng)從而得到原多項(xiàng)式，再對(duì)該多項(xiàng)式提取公因式 2后利用完全平方公式分解因式2【解答】解： 2（x1）（x9）=2x20x+18；22（x2）（x4）=2x12x+16；2原多項(xiàng)式為 2x12x+182222x12x+18=2（x6x+9）=2（x3）【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)錯(cuò)誤解法得到原多項(xiàng)式是解答本題 的關(guān)鍵二次三項(xiàng)式分解因式，看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，但二次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)正確；看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，但二次項(xiàng)、一次第8頁(yè)（共

14、 31頁(yè)） 項(xiàng)正確3（2015春?昌邑市期末）若多項(xiàng)式 x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，則m 的值是42222【分析】利用完全平方公式（ a+b） =（ab） +4ab、（ab） =（a+b）4ab計(jì)算即可22【解答】解： x +mx+4=（x2 ），22即 x +mx+4=x4x+4，m=4故答案為： 4【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，熟記有關(guān)完全平方 的幾個(gè)變形公式是解題關(guān)鍵24（2015秋?利川市期末）分解因式： 4x4x3=（2x3）（2x+1 ）2【分析】 ax +bx+c（a0）型 的式子 的因式分解，這種方法 的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù) a分解成兩個(gè)因數(shù) a1 2，a 的

15、積 a ?a1 2，把常數(shù)項(xiàng) c分解成兩個(gè)因數(shù) c，c1 22 的積 c ?c，并使 a c +a c正好是一次項(xiàng) b，那么可以直接寫成結(jié)果： ax +bx+c=121 22 1（ax+c）（a x+c），進(jìn)而得出答案1 1 2 22【解答】解：4x4x3=（2x3）（2x+1）故答案為：（2x3）（2x+1）【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解各項(xiàng)系數(shù)是解題關(guān)鍵5（2015春?東陽(yáng)市期末）利用因式分解計(jì)算： 2022+202196+982= 90000【分析】通過觀察，顯然符合完全平方公式2【解答】解：原式 =202 +2x202x98+982第9頁(yè)（共 31頁(yè)） =（202+

16、98）2=3002=90000【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用公式法可以簡(jiǎn)便計(jì)算一些式子 的值2226（2015秋?浮梁縣校級(jí)期末） ABC三邊 a，b，c滿足 a +b +c =ab+bc+ca，則ABC 的形狀是等邊三角形 2【分析】分析題目所給 的式子，將等號(hào)兩邊均乘以 2，再化簡(jiǎn)得（ ab） +（a22c） +（bc） =0，得出： a=b=c，即選出答案222【解答】解：等式 a +b +c =ab+bc+ac等號(hào)兩邊均乘以 2得：2222a +2b +2c =2ab+2bc+2ac，222222即 a2ab+b +a2ac+c +b2bc+c =0，即（ab） +（ac） +（bc）222=0，解得：

17、 a=b=c，所以， ABC是等邊三角形故答案為：等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解 的應(yīng)用；利用等邊三角形 的判定，化簡(jiǎn)式子得a=b=c，由三邊相等判定 ABC是等邊三角形222222227（2015秋?鄂托克旗校級(jí)期末）計(jì)算： 12 +34 +56 +100 +101 =5151【分析】通過觀察，原式變?yōu)?1+（32）+（54）+（101100），進(jìn)一2 2 2 2 2 2步運(yùn)用高斯求和公式即可解決【解答】解：12 +34 +56 +100 +10122222222222222=1+（32）+（54）+（101100）第10頁(yè)（共 31頁(yè)） =1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+ +

18、（101+100）=（1+101）1012=5151故答案為： 5151【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解 的實(shí)際運(yùn)用，分組分解，利用平方差公式解決問題8（2015秋?樂至縣期末）定義運(yùn)算 ab=（1a）b，下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算 的四個(gè)結(jié)論：2（ 2）=3ab=ba若 a+b=0，則（ aa）+（bb）=2ab若 ab=0，則 a=1或 b=0其中正確結(jié)論 的序號(hào)是（填上你認(rèn)為正確 的所有結(jié)論 的序號(hào)）【分析】根據(jù)題中 的新定義計(jì)算得到結(jié)果，即可作出判斷【解答】解： 2（2）=（12）（ 2）=2，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故 ab不一定等于 ba，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；若 a+b=0，則

19、（ aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa +bb =a22222b =2a =2ab，本選項(xiàng)正確；若 ab=0，即（1a）b=0，則 a=1或 b=0，本選項(xiàng)正確，其中正確 的有故答案為【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式 的混合運(yùn)算，以及有理數(shù) 的混合運(yùn)算，弄清題中 的新定義是解本題 的關(guān)鍵2323456789（2015春?張掖校級(jí)期末）如果 1+a+a +a =0，代數(shù)式 a+a +a +a +a +a +a +a =第11頁(yè)（共 31頁(yè)） 0【分析】 4項(xiàng)為一組，分成 2組，再進(jìn)一步分解因式求得答案即可【解答】解： 1+a+a +a2 3=0，a+a +a +a2 3 45 6 7 8+a

20、+a +a +a，23523=a（1+a+a +a）+a（1+a+a +a），=0+0，=0故答案是： 0【點(diǎn)評(píng)】此題考查利用因式分解法求代數(shù)式 的值，注意合理分組解決問題2210（2015春?昆山市期末）若多項(xiàng)式 x6xb可化為（ x+a）1，則 b 的值是8【分析】利用配方法進(jìn)而將原式變形得出即可222【解答】解： x6xb=（x3）9b=（x+a）1，a=3，9b=1，解得： a=3，b=8故答案為： 8【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法 的應(yīng)用，根據(jù)題意正確配方是解題關(guān)鍵二解答題（共 20小題）2211已知 n為整數(shù)，試說明（ n+7）（n3） 的值一定能被 20整除【分析】用平方差公式展開

21、（ n+7）（n3），看因式中有沒有 20即可22【解答】解：（n+7）2（n3）2=（n+7+n3）（n+7n+3）=20（n+2），22（n+7）（n3） 的值一定能被 20整除22【點(diǎn)評(píng)】主要考查利用平方差公式分解因式公式： ab =（a+b）（ab）第12頁(yè)（共 31頁(yè)） 212（2016秋?農(nóng)安縣校級(jí)期末）因式分解： 4x y4xy+y【分析】先提取公因式 y，再對(duì)余下 的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解【解答】解：4x2y4xy+y2=y（4x4x+1）2=y（2x1）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，

22、同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止13（2015秋?成都校級(jí)期末）因式分解（1）aab23（2）（xy） +4xy2【分析】（1）原式提取 a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可22【解答】解：（1）原式 =a（ab）=a（a+b）（ab）；22222（2）原式 =x2xy+y +4xy=x +2xy+y =（x+y）【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法 的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解 的方法是解本題 的關(guān)鍵14（2015春?甘肅校級(jí)期末）先閱讀下面 的內(nèi)容，再解決問題，例題：若 m22+2mn+2n6n+9=0，求 m和 n 的值2 2解： m +2mn+2n6n+

23、9=0222m +2mn+n +n6n+9=022（m+n） +（n3） =0第13頁(yè)（共 31頁(yè)） m+n=0，n3=0m=3，n=3問題：（1）若 x +2y2xy+4y+4=0，求 x 的值2 2 y22（2）已知ABC 的三邊長(zhǎng) a，b，c都是正整數(shù)，且滿足 a +b6a6b+18+| 3c| =0，請(qǐng)問 ABC是怎樣形狀 的三角形？2222【分析】（1）首先把 x +2y2xy+4y+4=0，配方得到（ xy） +（y+2） =0，再根據(jù)非負(fù)數(shù) 的性質(zhì)得到 x=y=2，代入求得數(shù)值即可；2222（2）先把 a +b6a6b+18+| 3c| =0，配方得到（ a3） +（b3） +|

24、 3c| =0，根據(jù)非負(fù)數(shù) 的性質(zhì)得到 a=b=c=3，得出三角形 的形狀即可22【解答】解：（1）x +2y2xy+4y+4=0222x +y2xy+y +4y+4=0，（xy） +（y+2）2 2=0x=y=2；（2）a +b6a6b+18+| 3c| =0，2 222a6a+9+b6b+9+| 3c| =0，22（a3） +（b3） +| 3c| =0a=b=c=3三角形 ABC是等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法 的應(yīng)用：通過配方，把已知條件變形為幾個(gè)非負(fù)數(shù) 的和 的形式，然后利用非負(fù)數(shù) 的性質(zhì)得到幾個(gè)等量關(guān)系，建立方程求得數(shù)值解決問題15（2015秋?太和縣期末）如果一個(gè)正整數(shù)能表示

25、為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù) 的平方差，第14頁(yè)（共 31頁(yè)） 222222那么稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)”如 4=20，12=42，20=64，因此 4，12，20這三個(gè)數(shù)都是和諧數(shù)（1）36和 2016這兩個(gè)數(shù)是和諧數(shù)嗎？為什么？（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和 2k（其中 k取非負(fù)整數(shù)），由這兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造 的和諧數(shù)是 4 的倍數(shù)嗎？為什么？（3）介于 1到 200之間 的所有“和諧數(shù)”之和為 25002222【分析】（1）利用 36=108；2016=505503說明 36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”；2（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2n，2n+2（n為自然數(shù)），則“和諧數(shù)（2n+2）（2n）2，

26、利用平方差公式展開得到（ 2n+2+2n）（2n+22n）=4（2n+1），然后利用整除性可說明“和諧數(shù)”一定是 4 的倍數(shù)；22（3）介于 1到 200之間 的所有“和諧數(shù)”中，最小 的為： 20 =4，最大 的為：502482=196，將它們?nèi)苛谐霾浑y求出他們 的和【解答】解：（1）36是“和諧數(shù)”，2016不是“和諧數(shù)”理由如下：222236=108；2016=505503；（2）設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2k+2和 2k（n為自然數(shù)），22（2k+2）（2k） =（2k+2+2k）（2k+22k）=（4k+2）2=4（2k+1），4（2k+1）能被 4整除，“和諧數(shù)”一定是 4 的倍數(shù)；（3

27、）介于 1到 200之間 的所有“和諧數(shù)”之和，222222222S=（20）+（42）+（64）+ +（5048）=50 =2500第15頁(yè)（共 31頁(yè)） 故答案是： 2500【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解 的應(yīng)用：利用因式分解把所求 的代數(shù)式進(jìn)行變形，從而達(dá)到使計(jì)算簡(jiǎn)化16（2015春?興化市校級(jí)期末）如圖 1，有若干張邊長(zhǎng)為 a 的小正方形、長(zhǎng)為 b寬為 a 的長(zhǎng)方形以及邊長(zhǎng)為 b 的大正方形 的紙片（1）如果現(xiàn)有小正方形 1張，大正方形 2張，長(zhǎng)方形 3張，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形（在圖 2虛線框中畫出圖形），并運(yùn)用面積之間 的關(guān)系，將22多項(xiàng)式 a +3ab+2b分解因式（2）已知小正

28、方形與大正方形 的面積之和為 169，長(zhǎng)方形 的周長(zhǎng)為 34，求長(zhǎng)方形 的面積（3）現(xiàn)有三種紙片各 8張，從其中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出 的這些紙片拼成一個(gè)正方形（按原紙張進(jìn)行無空隙、無重疊拼接）可以拼成多少種邊長(zhǎng)不同 的正方形，求【分析】（1）根據(jù)小正方形 1張，大正方形 2張，長(zhǎng)方形 3張，直接畫出圖形，利用圖形分解因式即可；（2）由長(zhǎng)方形 的周長(zhǎng)為 34，得出 a+b=17，由題意可知：小正方形與大正方形 的面積之和為 a +b2=169，將 a+b=17兩邊同時(shí)平方，可求得 ab 的值，從而可求得長(zhǎng)方形 的面積；2（3）設(shè)正方形 的邊長(zhǎng)為（ na+mb），其中（ n、

29、m為正整數(shù)）由完全平方公式第16頁(yè)（共 31頁(yè)） 22 22 2可知：（na+mb） =n a +2nmab+m b因?yàn)楝F(xiàn)有三種紙片各 8張，22n 8，m 8，2mn 8（n、m為正整數(shù)）從而可知 n 2，m 2，從而可得出答案【解答】解：（1）如圖：拼成邊為（ a+2b）和（ a+b） 的長(zhǎng)方形a +3ab+2b2 2=（a+2b）（a+b）；（2）長(zhǎng)方形 的周長(zhǎng)為 34，a+b=17小正方形與大正方形 的面積之和為 169，22a +b =1692222將 a+b=17兩邊同時(shí)平方得：（a+b） =17，整理得： a +2ab+b =289，2ab=289169，ab=60長(zhǎng)方形 的面積

30、為 60（3）設(shè)正方形 的邊長(zhǎng)為（ na+mb），其中（ n、m為正整數(shù)）22 22 2正方形 的面積 =（na+mb） =n a +2nmab+m b現(xiàn)有三種紙片各 8張，22n 8，m 8，2mn 8（n、m為正整數(shù)）n 2，m 2共有以下四種情況；n=1，m=1，正方形 的邊長(zhǎng)為 a+b；第17頁(yè)（共 31頁(yè)） n=1，m=2，正方形 的邊長(zhǎng)為 a+2b；n=2，m=1，正方形 的邊長(zhǎng)為 2a+b；n=2，m=2，正方形 的邊長(zhǎng)為 2a+2b【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解 的運(yùn)用，要注意結(jié)合圖形解決問題，解題 的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用完全平方公式17（2014秋?萊城區(qū)校級(jí)期中）（1）有若干塊長(zhǎng)方形和

31、正方形硬紙片如圖1所示，用若干塊這樣 的硬紙片拼成一個(gè)新 的長(zhǎng)方形，如圖2用兩種不同 的方法，計(jì)算圖 2中長(zhǎng)方形 的面積；a2+2a+1（2）有若干塊長(zhǎng)方形和正方形硬紙片如圖 3所示=2（a+1 ） 由此，你可以得出 的一個(gè)等式為：請(qǐng)你用拼圖等方法推出一個(gè)完全平方公式，畫出你 的拼圖；22請(qǐng)你用拼圖等方法推出 2a +5ab+2b因式分解 的結(jié)果，畫出你 的拼圖【分析】（1）要能根據(jù)所給拼圖運(yùn)用不同 的計(jì)算面積 的方法，來推導(dǎo)公式；（2）要能根據(jù)等式畫出合適 的拼圖22【解答】解：（1）長(zhǎng)方形 的面積 =a +2a+1；長(zhǎng)方形 的面積 =（a+1）；22a +2a+1=（a+1）；=a（2）如

32、圖，可推導(dǎo)出（ a+b） +2ab+b；2 2 22a +5ab+2b2 2=（2a+b）（a+2b）第18頁(yè)（共 31頁(yè)） 【點(diǎn)評(píng)】本題考查運(yùn)用正方形或長(zhǎng)方形 的面積計(jì)算推導(dǎo)相關(guān) 的一些等式；圖形 的面積計(jì)算 的不同方法得到多項(xiàng)式 的因式分解運(yùn)用2218（2013秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知 a+b=1，ab=1，設(shè) s1=a+b，s2=a +b，33=a +bnn=a +b，sn（1）計(jì)算 s；s32（2）請(qǐng)閱讀下面計(jì)算 s 的過程：3因?yàn)?a+b=1，ab=1，3322所以 s =a +b =（a+b）（a +b）ab（a+b）=1s（ 1）=s +1= 4322你讀懂了嗎？請(qǐng)你先填空完成（

33、 2）中 s3 的計(jì)算結(jié)果，再用你學(xué)到 的方法計(jì)算s4（3）試寫出 s，s，s三者之間 的關(guān)系式；n2n1n（4）根據(jù)（ 3）得出 的結(jié)論，計(jì)算 s6【分析】（1）（2）利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入 a+b，ab 的值，即可推出結(jié)論；（3）根據(jù)（ 1）所推出 的結(jié)論，即可推出 S +S =S；n 2 n 1 n66（4）根據(jù)（ 3） 的結(jié)論，即可推出 a +b =S=S+S =2S+S6 4 5 4 3第19頁(yè)（共 31頁(yè)） 222【解答】解：（1）S=a +b =（a+b）2ab=3；2（2）（ a2+b2b+b =a）（a+b）=a +ab +a +b +ab（a+b），3 2 2

34、3 3 31，a +b =4，即 S=4；31=a +b333332222S =（a +b）2（ab） =7，4S4=7；（3）S=3，S =4，S=7，234S +S=S，234S +S =S；n2n1n（3）S +S =S，S=3，S=4，S =7，n2n1n234S5=4+7=11，S =7+11=186【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查整式 的混合運(yùn)算、完全平方公式 的運(yùn)用，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出 S=3，S=4，S=7，分析歸納出規(guī)律： S+Sn=S234n 2n 1219（2013春?重慶校級(jí)期末）（1）利用因式分解簡(jiǎn)算： 9.8 +0.49.8+0.042（2）分解因式： 4a（a1）（1a）【

35、分析】（1）利用完全平方公式因式分解計(jì)算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可【解答】解：（1）原式 =9.8 +20.29.8+0.22 2=（9.8+0.2）2=100；第20頁(yè)（共 31頁(yè)） 2（2）4a（a1）（1a）2=（a1）（4a4a+1）=（a1）（2a1）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查因式分解 的實(shí)際運(yùn)用，掌握平方差公式和完全平方公式是解決問題 的關(guān)鍵2220（2013春?惠山區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：若 m2mn+2n8n+16=0，求 m、n 的值22222解： m2mn+2n8n+16=0，（ m2mn+n）+（n8n+16）=02222（mn） +（n4） =

36、0，（ mn） =0，（n4） =0，n=4，m=4根據(jù)你 的觀察，探究下面 的問題：22（1）已知 x +2xy+2y +2y+1=0，求 xy 的值（2）已知 ABC 的三邊長(zhǎng) a、b、c都是正整數(shù)，且滿足 a +b6a8b+25=0，2 2求ABC 的最大邊 c 的值2（3）已知 ab=4，ab+c6c+13=0，則 ab+c= 7【分析】（1）將多項(xiàng)式第三項(xiàng)分項(xiàng)后，結(jié)合并利用完全平方公式化簡(jiǎn)， 根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為 0，兩非負(fù)數(shù)分別為 0求出 x與 y 的值，即可求出 xy 的值；（2）將已知等式 25分為 9+16，重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為 0，兩非負(fù)數(shù)

37、分別為 0求出 a與 b 的值，根據(jù)邊長(zhǎng)為正整數(shù)且三角形三邊關(guān)系即可求出 c 的長(zhǎng)；（3）由 ab=4，得到 a=b+4，代入已知 的等式中重新結(jié)合后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)，根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和為 0，兩非負(fù)數(shù)分別為 0求出 b與 c 的值，進(jìn)而求出 a 的值，即可求出 ab+c 的值22【解答】解：（1）x +2xy+2y +2y+1=0222（x +2xy+y）+（y +2y+1）=0第21頁(yè)（共 31頁(yè)） 22（x+y） +（y+1） =0x+y=0 y+1=0解得 x=1，y=1xy=2；22（2）a +b6a8b+25=022（a6a+9）+（b8b+16）=022（a3） +（b4）

38、 =0a3=0，b4=0解得 a=3，b=4三角形兩邊之和第三邊ca+b，c3+4c7，又 c是正整數(shù)，c最大為 6；2（3）ab=4，即 a=b+4，代入得：（b+4）b+c6c+13=0，2222整理得：（b +4b+4）+（c6c+9）=（b+2） +（c3） =0，b+2=0，且 c3=0，即 b=2，c=3，a=2，則 ab+c=2（ 2）+3=7故答案為： 7【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解 的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù) 的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題 的關(guān)鍵21（2012秋?溫嶺市校級(jí)期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項(xiàng)式 x4x+m有一個(gè)因式是（ x+3），求另一個(gè)因式以

39、及 m2 的值222解：設(shè)另一個(gè)因式為（x+n），得 x4x+m=（x+3）（x+n），則 x4x+m=x +（n+3）第22頁(yè)（共 31頁(yè)） x+3nn+3=4m=3n解得：n=7，m=21另一個(gè)因式為（ x7），m 的值為 21問題：2（1）若二次三項(xiàng)式 x5x+6可分解為（ x2）（x+a），則 a=3；2（2）若二次三項(xiàng)式 2x +bx5可分解為（ 2x1）（x+5），則 b= 9；22x +5xk有一個(gè)因式是（3）仿照以上方法解答下面問題：已知二次三項(xiàng)式（2x3），求另一個(gè)因式以及 k 的值【分析】（1）將（x2）（x+a）展開，根據(jù)所給出 的二次三項(xiàng)式即可求出 a 的值；（2）（2

40、x1）（x+5）展開，可得出一次項(xiàng) 的系數(shù)，繼而即可求出 b 的值；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（ x+n），得 2x +5xk=（2x3）（x+n）=2x +（2n3）2 2x3n，可知 2n3=5，k=3n，繼而求出 n和 k 的值及另一個(gè)因式22【解答】解：（1）（ x2）（x+a）=x +（a2）x2a=x5x+6，a2=5，解得： a=3；22（2）（ 2x1）（x+5）=2x +9x5=2x +bx5，b=9；（3）設(shè)另一個(gè)因式為（ x+n），得 2x +5xk=（2x3）（x+n）=2x +（2n3）2 2x3n，則 2n3=5，k=3n，解得： n=4，k=12，第23頁(yè)（共 31頁(yè)）

41、 故另一個(gè)因式為（ x+4），k 的值為 12故答案為：（1）3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一個(gè)因式是 x+4，k=12（6分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查因式分解 的意義，解題關(guān)鍵是對(duì)題中所給解題思路 的理解，同時(shí)要掌握因式分解與整式乘法是相反方向 的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子 的不同表現(xiàn)形式22（2012春?郯城縣期末）分解因式：2（1）2xx；2（2）16x1；223（3）6xy9x yy；2（4）4+12（xy）+9（xy ）【分析】（1）直接提取公因式 x即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解；（3）先提取公因式 y，再對(duì)余下 的多項(xiàng)式利用完全平方公式繼續(xù)分解；（4）把（ xy）看

42、作整體，利用完全平方公式分解因式即可2【解答】解：（1）2xx=x（2x1）；2（2）16x1=（4x+1）（4x1）；223（3）6xy9x yy，=y（9x26xy+y），2=y（3xy）2；2（4）4+12（xy）+9（xy ），第24頁(yè)（共 31頁(yè)） 2= 2+3（xy），2=（3x3y+2）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，是因式分解 的常用方法，難點(diǎn)在（ 3），提取公因式 y后，需要繼續(xù)利用完全平方公式進(jìn)行二次因式分解23（2012春?碑林區(qū)校級(jí)期末）已知 a，b，c是三角形 的三邊，且滿足（a+b+c）2=3（a +b +c），試確定三角形 的形狀222【分析】將已知

43、等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù) 的性質(zhì)解題2222【解答】解：（ a+b+c） =3（a +b +c），222222a +b +c +2ab+2bc+2ac，=3a +3b +3c，a2+b2ab+b +c2bc+a +c2ac=0，22222即（ab） +（bc） +（ca）222=0，ab=0，bc=0，ca=0，a=b=c，故ABC為等邊三角形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法 的運(yùn)用，非負(fù)數(shù) 的性質(zhì)，等邊三角形 的判斷關(guān)鍵是將已知等式利用配方法變形，利用非負(fù)數(shù) 的性質(zhì)解題24（2011秋?北辰區(qū)校級(jí)期末）分解因式（1）2x4x y +2y442 2（2）2a4a 32 2b+2ab【分析】（1）

44、原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可【解答】解：（1）2x4x y +2y442 2第25頁(yè)（共 31頁(yè)） 42 24=2（x2x y +y）=2（xy）222=2（x+y）2（xy ）；2（2）2a4a b+2ab23222=2a（a2ab+b）2=2a（ab ）【點(diǎn)評(píng)】此題考查了提公因式法與公式法 的綜合運(yùn)用，提取公因式后利用公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底25（2011秋?蘇州期末）圖是一個(gè)長(zhǎng)為 2m、寬為 2n 的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖 的形狀拼成一個(gè)正方形（1）圖中 的陰影部分 的面積為（mn）2；22（2）觀察圖請(qǐng)你寫出三個(gè)代數(shù)式（ m+n）、（mn）、mn之間 的等量關(guān)22系是（m+n）（mn） =4mn2（3）若 x+y=7