空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系(一

1、一、空間點(diǎn)線面之間的位置關(guān)系考試要求:1、2、熟練掌握點(diǎn)、線、面的概念；掌握點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，以及判定和證明過程;知識要點(diǎn):1、公理(1)(2)(3)P的公共直線a公理1 :對直線a和平面a,若點(diǎn)A、B a , A、Ba，貝U (tCd 公理2 :若兩個(gè)平面a、P有一個(gè)公共點(diǎn)P,則a、P有且只有一條過點(diǎn) 公理3 :不共線的三點(diǎn)可確定一個(gè)平面推論：一條直線和其外一點(diǎn)可確定一個(gè)平面 兩條相交直線可確定一個(gè)平面 兩條平行直線可確定一個(gè)平面(4)公理4 :平行于同一條直線的兩條直線平行2、等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個(gè)角相等. 空間兩條不重合的直線有三種位

2、置關(guān)系：相交、平行、異面3、異面直線所成角0的范圍是000 90例題解析1、三個(gè)平面將空間分成k個(gè)部分，求k的可能取值.分析：可以根據(jù)三個(gè)平面的位置情況分類討論，按條件可將三個(gè)平面位置情況分為5種三個(gè)平面相互平行(2)兩個(gè)平面相互平行且與第三個(gè)平面相交(3)三個(gè)平面兩兩相交且交線重合(4)三個(gè)平面兩兩相交且交線平行(5)三個(gè)平面兩兩相交且交線相交例2、如圖,A是平面BCD外的一點(diǎn)G,H分別是 MBCACD的重心,求證：GH/BD .DCC. a內(nèi)存在唯一的直線與a平行D. a內(nèi)的直線與a都相交例3、已知正方體ABCBABCD的棱長為a,則棱AiBi所在直線與面對 角線BC所在直線間的距離是能力

3、提升訓(xùn)練1.已知A、B表示點(diǎn)，b表示直線,Q、表示平面，下列命題和表示方法都正確的是（)(A) tA 匚K, BcdJ.ABcc(B) tAea,= h(C) Tbcc, Aeb,.Aecs（D）b,年a2.條直線和兩條異面直線的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是（A）平行或異面（B）異面（C）相交（D）相交或異面和ACD的重心，若BD = m,貝U MN若直線I上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面a內(nèi)，則I /aB. 1C. 2D. 33.如圖，空間四邊形 ABCD中，M、N分別是AABC4.下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ 若直線I與平面平行，則I與平面內(nèi)的任意一條直線都平行. 如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面

4、平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行. 若直線I與平面a平行，則I與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).5.若直線a不平行于平面a ,且aa，則下列結(jié)論成立的是（A. a內(nèi)的所有直線與a異面B. a內(nèi)不存在與a平行的直線電話88435966（石岐校區(qū)第7339826（沙溪校區(qū)）6.已知a , b , c是三條直線，角a / b，且a與c的夾角為0 ,那么b與c夾角為7.如圖，AA，是長方體的一條棱,C來源:Zxxk.ComA （第7題圖）B這個(gè)長方體中與 AA垂直的棱共（第 10題圖）8.如果a , b是異面直線，直線c與a , b都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有個(gè).9. 已知兩條相

5、交直線a， b， a /平面a則b與a的位置關(guān)系是一共可以確定幾個(gè)平面？如果三條10. 如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條確定一個(gè)平面, 直線相交于一點(diǎn)，它們最多可以確定幾個(gè)平面？11.如圖是正方體的平面展開圖，則在這個(gè)正方體中:BM與ED平行.CN與BE是異面直線.CN與BM成60?角.DM與BN垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序號是A.，B.，C.，12.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為（ 兩條直線和第三條直線成等角，則這兩條直線平行； 平行移動(dòng)兩條異面直線中的任何一條，它們所成的角不變; 過空間四邊形ABCD的頂點(diǎn)A引CD的平行線段AE，則N BAE是異面直線AB與CD所成的角; 四邊相等，

6、且四個(gè)角也相等的四邊形是正方形A. 0B. 1C. 2D. 313.在空間四邊形 ABCD中，N，M分別是BC，AD的中點(diǎn)，貝U 2MN與AB + CD的大小關(guān)系14.已知a, b是一對異面直線，且a, b成70角，P為空間一定點(diǎn)，則在過P點(diǎn)的直線中與a, b所成的角都為70的直線有條.15.已知平面a P , P是平面a, P外的一點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線m與平面a, P分別交于A C兩點(diǎn),過點(diǎn)P的直線n與平面 比P分別交于B, D兩點(diǎn)，若PA = 6, AC =9, PD =8，則BD的長為16.空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若AC = BD = a，且A

7、C與BD所成的角為90，貝U四邊形EFGH的面積是17.已知正方體ABCD -ABQD 中，E， F分別為DG，AG Def =q .求證:(1) D , B , F , E四點(diǎn)共面;(2)若AC交平面DBFE于R點(diǎn)，貝U P，Q，R三點(diǎn)共線.二、直線與平面平行、平面與平面平行考試要求:1、掌握線面、面面平行的性質(zhì)2、掌握線面平行的證明方法3、掌握面面平行的證明方法知識要點(diǎn):1、直線與平面的位置關(guān)系：平行、相交、在平面內(nèi)2、直線和平面平行的判定及性質(zhì)(1) 判定 如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平 行。(簡述為線線平行n線面平行)(2) 性質(zhì) 如果一條直線和

8、一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條 直線就和交線平行。(簡述為 線面平行n線線平行)3、兩個(gè)平面的位置關(guān)系：平行、相交4、兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)(1) 判定 如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。(2) 性質(zhì) 如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行5、兩個(gè)平行平面的距離和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平面的公垂線.公垂線夾在平行平面間的部分.叫 做這兩個(gè)平面的公垂線段.兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個(gè)平行平面的距離例題解析電話88435966(石岐校區(qū)$87339826(沙溪校區(qū))C例1、如圖，在三棱錐P-AB

9、C中，點(diǎn)0、D分別是AC PC的中點(diǎn), 求證：0D/平面PAB例2、如圖在四棱錐P-ABCD中, M N分別是AB PC的中點(diǎn)，若 ABCDl平行 四邊形，求證：MN/平面PAD例3、如圖，在棱長為a的正方體ABCD-ABGD中,求證：平面 ABD/平面CBDC例4、如圖,在正方體 ABCD-A1B1C1Dt,其棱長為1.求證：平面AB1C/平面A1C1D.C.川I變式拓展：在正方體 ABCD-A1B1C1D中,M、N、E、F分別是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D的中點(diǎn).求證:平面AM/平面EFDB.0| F例5、已知正方體ABCD-A B C D中,面對角線AB、BC的中點(diǎn)分別為點(diǎn)E、

10、F,且B E=C F.CB/fl 、R求證:(1)EF /平面 A ACC ;(2)平面 ACD /平面 A BC .例&已知平面a /P，P a且P P ,過點(diǎn)P的直線m與a、P分別交于A C,過點(diǎn)P的直線n與a、P分別交于rB、D,且 PA=6 AC=9 PD=8,求 BD的長.提示:例7、在正方形 麗CD -AiBiCPi中，已知正方體的棱長為 Q , M N分別在其對角線AD與DB 上，若 AM=BN=x求證：MN/平面CDDC;設(shè)MN=y求y=f（x）的表達(dá)式；求MN的最小值，并求此時(shí)x的值；求AD與BD所成的角。(1)(2)(3)(4)1.2.能力提升訓(xùn)練a/ P的是:是兩個(gè)不重合

11、的平面，在下列條件中，可判定.a，b是平面a內(nèi)的直線，且a/ P，b/ P;.a內(nèi)不共線的三點(diǎn)到平面P的距離相等；（3）. a ,P都垂直于平面V ;.a，b是兩條異面直線，且均與平面平行； 下列命題正確的是： （填序號）（1）平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行；（2）平行于同一平面的兩個(gè)平面平行;（3）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；（4）與同一直線成等角的兩個(gè)平面平行;3. 下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)為若直線a在平面a外，則a/ a;若直線a / b,直線 bua,貝U a/ Ct;若直線a / b,b ua,那么直線a就平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線.電話88435966（石岐校區(qū)）8733982

12、6（沙溪校區(qū)） 直線I平行于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則I /a;若 I / n 且 mil n,貝U I / m若 I / a 且 m/a，貝U I / m 若 n / a 且 n / P ,貝 U a / 3 ； 若 a / 丫且 3 / Y ,貝U a / 3 ；其中正確命題的序號是.（把正確命題的序號都填上）.5.下列條件中，不能判斷兩個(gè)平面平行的是（填序號）.一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面 一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面 一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面 一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面6.在正方體ABCD-AiCiD中，M N P分別是GC、BQ、GD的中點(diǎn),

13、求證：平面 MNP/平面AiBDAP作平面交平面BDM于GH,8已知ABCDi平行四邊形，點(diǎn)P7.如圖，在正三棱錐 S-ABC中，D、E、F分別是棱AC、BC、SC上的點(diǎn)，C且 CD =2DA , CE =2ES, CF =2FB , G 是 AB 的中點(diǎn).（1）求證：平面 SAB /平面 DEF ; （2）求證: SG / 平面 DEF三、直線與平面垂直、平面與平面垂直考試要求：4、掌握線面、面面垂直的性質(zhì)5、掌握線面垂直的證明方法6、掌握面面垂直的證明方法知識要點(diǎn):1、線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，

14、如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。如果和這個(gè)平面的一條。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。PO 丄 a,O= a丄AO。a 匚 a, a 丄 AP J注意：三垂線指PA PO AO都垂直a內(nèi)的直線a其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理*要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。2、線面垂直的定義如果直線I和平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線 I與平面a垂直，記作I丄a。3、線面垂直的判定及性質(zhì)（1）判定 一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面。（2）性質(zhì) 垂直于同一平面

15、的兩條直線平行。4、線面角直線和平面所成的角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線 和這個(gè)平面所成的角。特別地，如果一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角為直角；一條直線和平面平行，或在 平面內(nèi)，我們說它們所成的角是0的角，6（）氣9爐5、二面角從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩 個(gè)半平面叫做二面角的面，如圖所示，即為一個(gè)二面角a l P。二面角的取值范圍是（嘰1爐。電話88435966（石岐校區(qū)87339826（沙溪校區(qū)）6、面面垂直的判定及性質(zhì)(1) 判定 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線， 那么這兩個(gè)平面互相垂直。

16、簡述為“線 面垂直，則面面垂直”。(2) 性質(zhì)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè) 平面。例題解析例1、已知，如圖正方體 ABCD -AiBiCiDi中BiCi求證:AC丄平面ABiDir I1、/1 /zD-BD例2、在正方體ABCDAiBCD中，求證：AC丄平面BCD.例3、如圖,在直三棱柱ABC- ABiC中,AC= 3, BO4, AB=5,AA= 4,點(diǎn) D是 AB的中點(diǎn),(I )求證：AC!BC;(II )求證：AG/平面CDB;(III )求異面直線ACi與BiC所成角的余弦值.Di例4、已知四棱錐P-ABCD的底面為直角 梯形,AB/DC,乙

17、dab =90 ,PA 丄底面 ABCD 且PA=AD=DC=AB=i, M是 PB的中點(diǎn)。2證明：面PADL面PCD例5、已知四棱錐 P-ABCD底面ABCDi菱形， N DAB =60。, PD丄平面ABCD PD=AD 點(diǎn) E為AB中占I 八、5點(diǎn)F為PD中點(diǎn).(1)證明平面PEDL平面PAB (2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.C(1 )若 all a , a 丄 b ,則 b 丄 a(4)若 a 丄 a， allb，貝U b 丄 a(2)若 allot, b 丄a，貝y a 丄 b(5)、若 a 丄 a , b 丄a，則 allb如圖所示，在斜邊為 AB的Rt ABC中，過A

18、作PAI平面ABC AML PB于M，AN! PC于N。 (1)求證：BC丄面PAC ( 2)求證：PB丄面AMN(3) 若PA=AB=4設(shè)/ BPC=e，試用tan 0表示 AMN的面積，當(dāng)tan 0取何值時(shí)， AMN勺面 積最大？最大面積是多少？能力提升訓(xùn)練 線面垂直練習(xí)1、下列命題中正確的序號是:(3)若 b 丄 a , a 丄b ,則 allot2、與兩條異面直線同時(shí)垂直的平面有個(gè).3、若m、n表示直線，a表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為m / nm丄a?門丄am丄am丄apm/ n;pm 丄 n;n丄an /am / ap n丄m丄nJ(X.4、PA垂直于以AB為直徑的圓所在

19、平面，C為圓上異于A , B的任一點(diǎn),則下列關(guān)系正確的是PA丄BC :BC丄平面PAC;AC丄PB :PC丄BC.5、卩為 ABC所在平面外一點(diǎn),O為P在平面ABC內(nèi)的射影.Aa(1)若P到 ABC三邊距離相等，且 0在 ABC的內(nèi)部，貝U 0是 ABC的心;心;若PA丄BC, PB丄AC，貝U 0是 ABC的心.(3)若PA，PB，PC與底面所成的角相等，貝y O是 ABC的電話88435966(石岐校區(qū)1087339826(沙溪校區(qū))6、如圖所示，在正三棱柱 ABC -ABQ中，底面邊長和側(cè)棱都是 2, D是側(cè)棱CC1上任意一點(diǎn).E是AB1的中點(diǎn).（1）求證：ABJ平面ABD （2）求證：

20、AB丄CE7、已知正方形ABCD的邊長為 錐ABCD，如圖所示.求證：AO丄平面BCD ;1, AC Pl BD=O .將正方形ABCD沿對角線BD折起，使AC = 1，得到三棱DCAD8、（ 2011江蘇高考改編）如圖，四棱錐P-ABCD中，PD.丄平面 ABCD ,P D=DC=BC=1,AB=2,AB / DC , / BCD=90 0 , 求證：PC 丄 BC9、如圖，在四面體SABC 中，SA=SB=SC ,BO丄平面SAC求證:/ ASC=9010、（2011.湖北高考第18題）如圖，已知三棱柱ABC-ABjCj 中，a ABC 和AAi Bi Ci為邊長2正三角形，側(cè)棱垂直于底面

21、，AE =22 , BF = J2求證：CF 丄 C1E側(cè)棱長為2 ,11、如圖，PA=BC=6 , AC=8 , PC=AB=10，點(diǎn)E在線段 AB上，CE丄平面PAB, F是線段PB上一點(diǎn)，CF=再異。12、如圖，四邊形 ABCD為矩形，BC丄平面ABE ,F為CE上的點(diǎn)，且BF丄平面ACE.B(1)求證：PC丄BC;(2)求證：PB丄平面 CEF。求證：AE丄BE ; 設(shè)點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn) N為線段CE的中點(diǎn).求證：MN /平面DAE .13、如圖,在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面ABCD , E,F分別是AB , PC的中點(diǎn)。(1)求證：CD丄PD

22、;求證：EF/平面PAD;直線PD與平面ABCD成多大角時(shí)，直線 EF丄平面PCD ?D14、如圖,四面體 ABCD中，CD丄平面ABC , AC丄BC, H為C點(diǎn)在面ABD內(nèi)的射影，P為棱BC的中點(diǎn)，連結(jié)AH并延長交BD于M。(1)求證：AC丄BD ;(2)求證：點(diǎn)H為 ABD的垂心;(3)試過點(diǎn)P與點(diǎn)M作四面體ABCD的一個(gè)截面，使之與 CH平行。B電話88435966(石岐校區(qū)87339826(沙溪校區(qū))能力提升強(qiáng)化訓(xùn)練 題型1:線線垂直問題1.如圖1所示，已知正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F、G、H、L、M、N分別為AiDi,AiBi，BC，CD，DA，DE，CL 的中點(diǎn)，求證：EF丄GF。;丿/* ； !/! / / 好了題型2:線面垂直問題2.(i)(2006北京文，i7)如圖，ABCD AiBiCiDi是正四棱柱，求證:BD丄平面ACC iA i。i面CDE是等邊三角形，棱EF/-Be。D(II)設(shè)BC=D,證明EO丄平面。(2) (2006天津文，i9)如圖，在五面體 ABCDEF中，點(diǎn)0是矩形ABCD的對角線的交點(diǎn),(I)證明FO/平面CDE;；3.如圖，直三棱柱 ABCAiBiCi 中，AC =BC = i，/ACB = 90, AAi =2，D 是 AiBi中點(diǎn).(i)求證C