初中幾何證明題五大經(jīng)典含問題詳解

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 經(jīng)典題（一） 1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CDAB，EFAB，EGCO 求證：CDGF（初二） 證明：過點(diǎn)G作GHAB于H，連接OE EGCO，EFAB EGO=90，EFO=90 EGO+EFO=180 E、G、O、F四點(diǎn)共圓 GEO=HFG EGO=FHG=90 EGOFHG FGEO =HGGO GHAB，CDAB GHCD CDCOHGGO? CDCOFGEO? EO=CO CD=GF 2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，PADPDA15。 求證：PBC是正三角形（初二） 證明：作正三角形ADM，連接MP MAD=60，PAD=15

2、 MAP=MAD+PAD=75 BAD=90，PAD=15 BAP=BAD-PAD=90-15=75 BAP=MAP MA=BA，AP=AP MAPBAP BPA=MPA，MP=BP 同理CPD=MPD，MP=CP PADPDA15 PA=PD，BAP=CDP=75 BA=CD BAPCDP BPA=CPD BPA=MPA，CPD=MPD MPA=MPD=75 BPC=360-754=60 MP=BP，MP=CP BP=CP BPC是正三角形 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F 求證：DENF 證明:

3、連接AC，取AC的中點(diǎn)G,連接NG、MG CN=DN，CG=DG GNAD， GN=21AD DEN=GNM AM=BM，AG=CG GMBC，GM=21BC F=GMN AD=BC GN=GM GMN=GNM DEN=F 經(jīng)典題（二） 1、已知：ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OMBC于M （1）求證：AH2OM； （2）若BAC600，求證：AHAO（初二） 證明：（1）延長AD交圓于F，連接BF，過點(diǎn)O作OGAD于G OGAF AG=FG AB =AB F=ACB 又ADBC，BEAC BHD+DBH=90 ACB+DBH=90 ACB=BHD F=BHD BH=BF又

4、ADBC DH=DF AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD 又ADBC，OMBC，OGAD 四邊形OMDG是矩形 OM=GD AH=2OM （2）連接OB、OC BAC=60BOC=120 OB=OC，OMBC BOM=21BOC=60OBM=30 BO=2OM 由（1）知AH=2OMAH=BO=AO 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 2、設(shè)MN是圓O外一條直線，過O作OAMN于A，自A引圓的兩條割線交圓O于B、C及D、E，連接CD并延長交MN于Q，連接EB并延長交MN于P. 求證：APAQ 證明：作點(diǎn)E關(guān)于AG的對稱點(diǎn)F，連接AF、CF、QF AG

5、PQ PAG=QAG=90 又GAE=GAF PAG+GAE=QAG+GAF 即PAE=QAF E、F、C、D四點(diǎn)共圓 AEF+FCQ=180 EFAG，PQAG EFPQ PAF=AFE AF=AE AFE=AEF AEF=PAF PAF+QAF=180 FCQ=QAF F、C、A、Q四點(diǎn)共圓 AFQ=ACQ 又AEP=ACQ AFQ=AEP 3、設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q 求證：APAQ（初二） 證明：作OFCD于F，OGBE于G，連接OP、OQ、OA、AF、AG C、D、B、E四點(diǎn)共圓 B=D，E=C ABEADC DFBGFD2B

6、G2DCBEADAB? ABGADF AGB=AFD AGE=AFC AM=AN， OAMN 又OGBE， OAQ+OGQ=180 O、A、Q、E四點(diǎn)共圓 AOQ=AGE 同理AOP=AFC AOQ=AOP 又OAQ=OAP=90，OA=OA OAQOAP AP=AQ 在AEP和AF AFQ=AEP AF=AE QAF=PAE AEPAFQ AP=AQ 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 4、如圖,分別以ABC的AB和AC為一邊,在ABC的外側(cè)作正方形ABFG和正方形ACDE，點(diǎn)O是DF的中點(diǎn)，OPBC 求證：BC=2OP（初二） 證明：分別過F、A、D作直線BC的垂線，垂足分別是L、M、N OF=OD，DN

7、OPFL PN=PL OP是梯形DFLN的中位線 DN+FL=2OP ABFG是正方形 ABM+FBL=90 又BFL+FBL=90 ABM=BFL 又FLB=BMA=90，BF=AB BFLABM FL=BM 同理AMCCND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP 經(jīng)典題（三） 1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，AEAC，AE與CD相交于F 求證：CECF（初二） 證明：連接BD交AC于O。過點(diǎn)E作EGAC于G ABCD是正方形 BDAC又EGAC BDEG又DEAC ODEG是平行四邊形 又COD=90 ODEG是矩形 EG=OD=21BD=21 AC=2

8、1AE EAG=30 AC=AE ACE=AEC=75 又AFD=90-15=75 CFE=AFD=75=AEC CE=CF 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，且CECA，直線EC交DA延長線于F 求證：AEAF（初二） 證明：連接BD，過點(diǎn)E作EGAC于G ABCD是正方形 BDAC，又EGAC BDEG又DEAC ODEG是平行四邊形 又COD=90 ODEG是矩形 EG = OD =21BD=21 AC=21CE GCE=30 AC=EC 3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PFAP，CF平分DCE 求證：PAPF（初二） 證明：過點(diǎn)F作FGCE于G

9、，F(xiàn)HCD于H CDCG HCGF是矩形 HCF=GCF FH=FG HCGF是正方形 CG=GF APFP APB+FPG=90 APB+BAP=90 FPG=BAP 又FGP=PBA FGPPBA FG：PB=PG：AB 4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D 求證：ABDC，BCAD（初三） 證明：過點(diǎn)E作EKBD，分別交AC、AF于M、K，取EF的中點(diǎn)H， 連接OH、MH、EC EH=FH OHEF，PHO=90 又PCOC，POC=90 P、C、H、O四點(diǎn)共圓 HCO=HPO 又EKBD，HPO=HEK HCM=HEM H、C、E

10、、M四點(diǎn)共圓 ECM=EHM 又ECM=EFA EHM=EFA HMAC EH=FH 設(shè)AB=x，BP=y，CGz：y=（x-y+z）：x 化簡得（x-y）y=（x-y）x-y0 y即BP=FG ABPPGF CAE= CEA=21GCE=15 在AFC中F =180-FAC-ACF =180-FAC-GCE =180-135-30=1F=CEA AE=AF EM=KM EKBD KMODAMAOEMOBOB=OD 又AO=CO 四邊形ABCD的對角線互相ABCD是平行四AB=DC，BC=AD 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 QAP EPBACD ECBAD經(jīng)典題(四) 1、已知：ABC是正三角形，P是三

11、角形內(nèi)一點(diǎn)，PA3，PB4，PC5 求APB的度數(shù)（初二） 解：將ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得BCQ，連接PQ 則BPQ是正三角形 BQP=60，PQ=PB=3 在PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 PQC是直角三角形 PQC=90 BQC=BQP+PQC=60+90=150 APB=BQC=150 2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBAPDA 求證：PABPCB（初二） 證明：過點(diǎn)P作AD的平行線，過點(diǎn)A作P的平行線 兩平行線相交于點(diǎn)E，連接BE PEAD，AEPD ADPE是平行四邊形 PE=AD， 又ABCD是平行四邊形 AD=BC PE=BC 又PEAD，ADB

12、C PEBC BCPE是平行四邊形 BEP=PCB ADPE是平行四邊形 ADP=AEP 3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：ABCDADBCACBD（初三） 證明：在BD上去一點(diǎn)E，使BCE=ACD CD =CD CAD=CBD BECADC ACBCADBE? ADBC=BEAC BCE=ACD BCE+ACE=ACD+ACE 即BCA=ECD BC =BC ,BAC=BDC BACEDC CDACDEAB? ABCD=DEAC 又ADP=ABP AEP=ABP A、E、B、P四點(diǎn)BEP=PAB PAB=PCB +得ABCD+ ADBC =DEAC+ BEAC =（DE+BE）AC =B

13、DAC 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 GDFEABCP4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且 AECF求證：DPADPC（初二） 證明：過點(diǎn)D作DGAE于G，作DHFC于H，連接DF DE SAD=1 AEDG，SFDC=12 FCDH 又SADE= SFDC=12 SABCD AEDG=FCDH 又AE=CF DG=DH 點(diǎn)D在APC的角平分線上 DPADPC 經(jīng)典題（五） 1、設(shè)P是邊長為1的正ABC內(nèi)任一點(diǎn)，LPAPBPC， 求證：3L2 證明：（1）將BPC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60的BEF，連接PE， BP=BE，PBE=60 PBE是正三角形。 PE=P

14、B 又EF=PC L=PA+PB+PC=PA+PE+EF 當(dāng)PA、PE、EF在一條直線上的時(shí)候，L=PA+PE+EF的值最?。ㄈ鐖D） 在ABF中，ABP=120AF=3 L=PA+PB+PC3 （2）過點(diǎn)P作BC的平行線分別交AB、AC于D、G 則ADG是正三角形 ADP=AGP，AG=DG APDAGP APDADP ADPA 又BD+PDPB CG+PGPC +得AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=1L2 由（1）（2）可知：3L2 ACBEP 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 G EDPQBCADP2、已知：P是

15、邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PAPBPC的最小值 解：將BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得BEF，連接PE， 則BPE是正三角形 PE=PB PAPBPC=PA+PE+EF 要使PAPBPC最小，則PA、PE、EF應(yīng)該在一條直線上（如圖） 此時(shí)AF= PA+PE+EF 過點(diǎn)F作FGAB的延長線于G 則GBF=180-ABF=180 -150 =30 GF=12 ，BG=23 AF=22AGGF?=2212321? ?=32 ? PAPBPC的最小值是32? 3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的邊長 證明：將ABP繞點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得BCQ，連接 PQ

16、 則BPQ是等腰直角三角形， PQ=2PB=2 2a=22a 又QC=AP=a QP2+QC2=(22a)2+a2=9a2=PC2 PQC是直角三角形 BQC=135 BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC =PB2+PA2-2PBPAcos135 =4a2+a2-22aa (-22) 解得 BC=a225? 正方形的邊長為a225? 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 GB4、如圖，ABC中，ABCACB80，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DCA30，EBA20，求BED的度數(shù) 解：在AB上取一點(diǎn)F，使BCF=60，CF交BE于G，連接EF、DG ABC=80，ABE=20，EBC=60，又BCG=

17、60 BCG是正三角形 BG=BC ACB=80，BCG=60FCA=20EBA=FCA 又A=A，AB=ACABEACF AE=AF AFE=AEF=12 （180-A）=80 又ABC=80=AFEEFBCEFG=BCG=60 EFG是等邊三角形EF=EG，F(xiàn)EG=EGF=EFG=60 ACB=80，DCA=30BCD=50 BDC=180-BCD-ABC=180-50-80=50 BCD=BDCBC=BD前已證BG=BCBD=BG BGD=BDG=12 （180-ABE）=80 FGD=180-BGD-EGF=180-80-60=40 又DFG=180-AFE-EFG=180-80-60=40 FGD=DFGDF=DG又EF=EG，DE=DE EFDEGD BED=FED=12 FEG=12 60=30 5、如圖，ABC內(nèi)接于O，且AB為O的直徑，ACB的平分線交O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作O的切線PD交CA的延長線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AECD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BFCD于點(diǎn)F，若AC=6，BC=8，求線段PD的長。 解：ACD=BCD AD =BD AD=BD AB為O的直