探索勾股定理

1、勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：（1）理解并掌握勾股定理的內(nèi)容和證明，能夠使用勾股定理實(shí)行簡單計(jì)算和使用；（2）通過觀察分析，大膽猜想，并探索勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作、合作交流、邏輯推理的水平。過程與方法：在探索勾股定理的過程中，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-歸納-驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)過程，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價(jià)值觀：（1）在探索勾股定理的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，感受數(shù)學(xué)之美，探究之趣。（2）利用遠(yuǎn)程教育資源突出介紹中國古代勾股方面的成就，激發(fā)學(xué)生熱愛祖國和熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和鉆研精神。教學(xué)重點(diǎn)及難

2、點(diǎn)：【教學(xué)重點(diǎn)】勾股定理的證明與使用【教學(xué)難點(diǎn)】用面積法和拼圖法等方法證明勾股定理【難點(diǎn)成因】對(duì)于勾股定理的得出，首先需要學(xué)生通過動(dòng)手操作，在觀察的基礎(chǔ)上，大膽猜想數(shù)學(xué)結(jié)論，而這需要學(xué)生具備一定的分析、歸納的思維方法和使用數(shù)學(xué)的思想意識(shí)，但學(xué)生在這個(gè)方面的可預(yù)見性和耐挫折水平并不是很成熟，從而形成困難。一、創(chuàng)設(shè)情境，探索新知情景導(dǎo)入： 問題1：你如何與外星人溝通？假如我們一旦和外星人見面，你會(huì)使用什么語言呢？使用“符號(hào)語言”與外星人聯(lián)系是最經(jīng)濟(jì)和最有效的，外星人也最可能使用數(shù)學(xué)語言。數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為，我們能夠用“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）作為與外星人交談的媒介。（激發(fā)學(xué)生的興趣點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)語言

3、的意義）問題2：聽說過勾股定理嗎？說說你搜集到關(guān)于“勾股定理”的關(guān)鍵詞？（掌握學(xué)生對(duì)勾股定理的認(rèn)知水平，最好能說出與勾股定理的具體的內(nèi)容，更方便的引入新課）二、實(shí)例結(jié)合，掌握新知活動(dòng)一：穿越古代，提前發(fā)現(xiàn)勾股定理。畢達(dá)哥拉斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家。相傳在2500年以前，他在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映了直角三角形的三邊之間的某種數(shù)量關(guān)系。恰巧你穿越古代，你也剛好在場，可否比他提前發(fā)現(xiàn)？ 活動(dòng)任務(wù)：比畢達(dá)哥拉斯提前發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊之間的某種數(shù)量關(guān)系，盡可能的說出你更多更深入的發(fā)現(xiàn)?；顒?dòng)要求：（1） 對(duì)正方形實(shí)行剪切、拼貼然后再將它們關(guān)聯(lián)，組員先自己發(fā)現(xiàn)，總結(jié)自己的發(fā)現(xiàn)（2） 小

4、組總結(jié)本組內(nèi)發(fā)現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系。展示要求：兩人出示圖形，一人講解過程。學(xué)生預(yù)設(shè)1：豐富的圖案都是由等腰直角三角形色塊作為基本單元構(gòu)成。不同的組選擇了不同的等腰三角形。 拋出問題1：請(qǐng)展示你找到的基本單元結(jié)構(gòu)。學(xué)生預(yù)設(shè)2：通過進(jìn)一步的觀察或者手工拼圖能夠發(fā)現(xiàn)用等腰直角三角形拼正方形的基本方法，從而發(fā)現(xiàn)等腰三角形與正方形的結(jié)構(gòu)關(guān)系。 A B拋出問題2：你找到的等腰三角形與正方形的結(jié)構(gòu)關(guān)系是怎樣的，請(qǐng)展示。學(xué)生預(yù)設(shè)3：以不同的等腰直角三角形的三邊為邊長建立正方形，而且它們之間有面積關(guān)系以兩腰為邊長的正方形的兩個(gè)面積和等于以斜邊長為邊長的面積。（基本從拼接角度） 拋出問題3：小組探究的過程及其思路能否展示

5、？(小組展示)教師：勾股定理在等腰直角三角形中的體現(xiàn)，兩腰的邊長的平方和等于斜邊的平方。拋出問題4：是不是任何一個(gè)等腰三角形都滿足？其他的直角三角形中三邊呢 ？會(huì)存有什么樣的數(shù)量關(guān)系？（通過講傳說故事來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。 分別以等腰直角三角形的三邊為邊長建立正方形，不但能體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的思想還能啟發(fā)我們進(jìn)一步地討論直角三角形的相關(guān)性質(zhì)）活動(dòng)二：尋找其他直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系(把注意力從地面圖案轉(zhuǎn)移到書桌上，讓學(xué)生感知正方形網(wǎng)格圖的實(shí)用性與便捷性。）活動(dòng)任務(wù)：利用網(wǎng)格探究直角三角形中三邊數(shù)量關(guān)系：活動(dòng)要求：（1）利用測量工具，利用計(jì)算，利用網(wǎng)格獨(dú)立探究直角三角形中的數(shù)量關(guān)

6、系（2）小組總結(jié)發(fā)現(xiàn)。展示要求：兩人出示圖形，一人講解過程。學(xué)生預(yù)設(shè)1：畫一個(gè)兩直角邊分別為2,3的直角三角形，并以它的三邊為邊長建立正方形，利用面積證明。拋出問題1：你是如何計(jì)算那個(gè)建立在直角三角形中斜邊上的正方形面積的？關(guān)于斜邊上正方形的面積計(jì)算，除了突出正方形的水平外框，還能夠（使用圖形中存有的整體與部分、部分與部分之間的關(guān)系）展開探索性的聯(lián)想，以獲得算法多樣性體驗(yàn)。學(xué)生預(yù)設(shè)2： 如圖畫四個(gè)兩直角邊分別為3，5的直角三角形。（部分學(xué)生預(yù)習(xí)工作做到的話會(huì)想到，如果學(xué)生未想到，教師補(bǔ)充）拋出問題2：如何證明直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系呢？講解詳細(xì)思路。定理得證：直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊

7、為c，那么a2+b2=c2 ，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方?；顒?dòng)三：讓學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家的思維過程，親自體驗(yàn)勾股定理的探索與驗(yàn)證，使學(xué)生對(duì)定理的理解更加深刻，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力.拋出問題1：同學(xué)們提到關(guān)于勾股定理的關(guān)鍵詞“趙爽” ，我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家之一，據(jù)周髀算經(jīng)記載：公元前1100年人們已經(jīng)知道“勾廣三，股修四，徑隅五”. 故將此定理命名為勾股定理。哪個(gè)小組能夠展示下趙爽的證明過程。(難度系數(shù)高，可教師講解)趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形（紅色）可以圍成一個(gè)大正方形，中空部分是小正方形（黃色）。趙爽的弦圖證明方法，動(dòng)態(tài)展示。 拋出問題2：我們看

8、見了什么？我們想到了什么？我們知道了什么？我們要做什么？你能找到其她證明方法嗎？學(xué)生預(yù)設(shè)1：由建立在斜邊上的正方形面積等于兩個(gè)正方形的面積之和想到：選定其中一個(gè)直角三角形，在它的兩條直角邊上建立的正方形，并標(biāo)明相關(guān)線段的長度。展示分割、拼接的過程，展示拼圖出的效果鼓勵(lì)學(xué)生代表作示范演示，再利用多媒體動(dòng)畫演示把兩個(gè)正方形拼接的底邊和（a+b）根據(jù)加法交換律寫成（b+a），再建立大正方形的斜邊。拋出問題3：說說對(duì)趙爽弦圖的證明過程的感受。趙爽弦圖表現(xiàn)了我國古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智：它找到了一個(gè)：把兩個(gè)較小的正方形通過分割、拼接成一個(gè)大正方形的方法，同時(shí)還以動(dòng)態(tài)效果證明了勾股定理！既有理論目標(biāo)又有指導(dǎo)實(shí)踐服務(wù)于生產(chǎn)生活應(yīng)用的意義。（讓學(xué)生模仿數(shù)學(xué)家的思維過程，親身體驗(yàn)勾股定理的探索與驗(yàn)證，使學(xué)生對(duì)定理的理解更加深刻，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力。）活動(dòng)四：實(shí)踐應(yīng)用拓展提高1、已知一個(gè)直角三角形的兩邊分別為3,4則另一邊為 2、三角形的三邊長為,則這個(gè)三角形是( )A.等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形.3在ABC中，C=90AC=9m，BC=12m 求ABC的面積；求斜邊AB的長；求高C