利用洛必達(dá)法則來處理全國高考中的恒成立問題

1、 - 1 - 利用洛必達(dá)法則來處理高考中的恒成立問題 河南省偃師高中高洪海 2010年和2011年高考中的全國新課標(biāo)卷中的第21題中的第2步，由不等式恒成立來求參數(shù)的取值范圍問題，分析難度大，但用洛必達(dá)法則來處理卻可達(dá)到事半功倍的效果。矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。 一洛必達(dá)法則 法則1 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) ?lim0xafx?及?lim0xagx?；(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x)可導(dǎo)且g(x)0；(3)? ?limxafxlgx?，聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛氌譴凈。 那么? ?limxafxgx?=? ?limxafxlgx?。法則2 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下

2、列條件：(1)?lim0xfx?及?lim0xgx?；(2)0A?f，f(x) 和g(x)在?,A?與?,A?上可導(dǎo)，且g(x)0；(3)? ?limxfxlgx?，殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。 那么? ?limxfxgx?=? ?limxfxlgx?。法則3 若函數(shù)f(x) 和g(x)滿足下列條件：(1) ?limxafx?及?limxagx?；(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x) 與g(x)可導(dǎo)且g(x)0；(3)? ?limxafxlgx?，釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。 那么? ?limxafxgx?=? ?limxafxlgx?。 利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：1

3、將上面公式中的xa，x換成x+，x-，xa?，xa?洛必達(dá)法則也成立。彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。 2洛必達(dá)法則可處理00 ，?，0?，1?，0?，00，?型。 3在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足00 ，?，0?，1?，0?，00，?型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限。4若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。謀蕎摶篋飆鐸懟類蔣薔。 二高考題處理 1.(2010年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)2()1xfxexax?。 （1） 若0a?，求()fx的單調(diào)區(qū)間； （2） 若當(dāng)0x?時(shí)()0fx?，求a的取值

4、范圍 原解：（1）0a?時(shí)，()1xfxex?，()1xfxe?. 當(dāng)(,0)x?時(shí)，()0fx?；當(dāng)(0,)x?時(shí)，()0fx?.故()fx在(,0)?單調(diào)減少，在(0,)?單調(diào)增加 （II）()12xfxeax? 由（I）知1xex?，當(dāng)且僅當(dāng)0x?時(shí)等號(hào)成立.故 ()2(12)fxxaxax?， 從而當(dāng)120a? ，即12a?時(shí)，()0 (0)fxx?，而(0)0f?， 于是當(dāng)0x?時(shí)，()0fx?. 由1(0)xexx?可得1(0)xexx?.從而當(dāng)12a?時(shí)， ()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea?， 故當(dāng)(0,ln2)xa?時(shí)，()0fx?，而(0)0f?，于是當(dāng)

5、(0,ln2)xa?時(shí)，()0fx?. - 2 - 綜合得a的取值范圍為1,2? 原解在處理第（II）時(shí)較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下： 另解:（II）當(dāng)0x?時(shí)，()0fx?，對(duì)任意實(shí)數(shù)a,均在()0fx?； 當(dāng)0x?時(shí)，()0fx? 等價(jià)于21xxaex? 令? ?21xxgxex?(x0), 則322()xxxxgxeex?，令?220xxhxxxxee?，則?1xxhxxee?，?0xhxxe?， 知?hx?在?0,?上為增函數(shù)，?00hxh?；知?hx在?0,?上為增函數(shù)，?00hxh?；?0gx?，g(x)在?0,?上為增函數(shù)。 由洛必達(dá)法則知，200011222limliml

6、imxxxxxxxxeeex?，故12a? 綜上，知a的取值范圍為1,2?。 2（2011年全國新課標(biāo)理）已知函數(shù)，曲線()yfx?在點(diǎn)(1,(1)f處的切線方程為230xy?。 （）求a、b的值； （）如果當(dāng)0x?，且1x? 時(shí)，ln()1xkfxxx?，求k的取值范圍。 原解： （）221(ln)()(1)xxbxfxxx? 由于直線230xy?的斜率為12?，且過點(diǎn)(1,1) ，故(1)1,1(1),2ff?即 1,1,22bab?解得1a?，1b?。 （）由（）知ln1f()1xxxx?，所以 22ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx?。 考慮函數(shù)()2lnh

7、xx? ?2(1)(1)kxx?(0)x? ，則22(1)(1)2()kxxhxx?。 （i）設(shè)0k?， 由222(1)(1)()kxxhxx?知，當(dāng)1x?時(shí)，()0hx?，h（x）遞減。而(1)0h?故當(dāng)(0,1)x?時(shí)，()0hx? ，可得21()01hxx?； 當(dāng)x?（1，+?）時(shí)，h（x）0 從而當(dāng)x0,且x?1時(shí)，f（x）- （1ln?xx +xk）0，即f（x） 1ln?xx +xk. （ii）設(shè)0k0,故h（x）0, - 3 - 而h（1）=0，故當(dāng)x?（1 ，k?11）時(shí)，h（x）0 ，可得211x?h（x）0,而h（1）=0，故當(dāng)x?（1，+?）時(shí)，h（x）0 ，可得211x

8、? h（x）0,與題設(shè)矛盾。煢楨廣鰳鯡選塊網(wǎng)羈淚。 綜合得，k的取值范圍為（-?，0 原解在處理第（II）時(shí)非常難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下： 另解：（II）由題設(shè)可得，當(dāng)0,1xx?時(shí)， k?1h?=0 ?hx在?0,?上為增函數(shù) Q?1h=0 ?當(dāng)(0,1)x?時(shí)，?0hx?，當(dāng)x?（1，+?）時(shí)，?0hx? ?當(dāng)(0,1)x?時(shí)，?0gx?，當(dāng)x?（1，+?）時(shí)，?0gx? ?gx在?0,1上為減函數(shù)，在?1,?上為增函數(shù) Q由洛必達(dá)法則知? ?2111ln1ln12121210221limlimlimxxxxxxgxxx? ?0k?，即k的取值范圍為（-?，0 規(guī)律總結(jié)：對(duì)恒成立問

9、題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來的函數(shù)式的最值有點(diǎn)麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。鵝婭盡損鵪慘歷蘢鴛賴。 從高考題看含參不等式恒成立問題的解題策略 ?？谝恢胁俣?已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是函數(shù)、方程、不等式交匯處一個(gè)較為活躍的知識(shí)點(diǎn)。這類問題以含參不等式“恒成立”為載體，鑲嵌函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，思想方法深刻，能力要求較高，因而成為近幾年高考試題中的熱點(diǎn)。為了對(duì)含參不等式恒成立問題的解題方法有較全面的認(rèn)識(shí)，本文以2010年高考試題的解法為例，對(duì)此類問題的解題策略作歸納和

10、提煉，供大家參考?；[叢媽羥為贍僨蟶練淨(jìng)。 一分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值 對(duì)于變量和參數(shù)可分離的不等式，可將參數(shù)分離出來，先求出含變量一邊的式子的最值，再由此推出參數(shù)的取值范圍。預(yù)頌圣鉉儐歲齦訝驊糴。 例1（2010年全國卷1理）已知函數(shù)()(1)ln1fxxxx? （）若2()1xfxxax?，求a的取值范圍 （）證明:(1)()0xfx? 解析： （）11()ln1lnxfxxxxx?Q(0)x?()ln1xfxxx?，由2()1xfxxax? - 4 - 得lnaxx?，令()lngxxx?，于是，問題化為求函數(shù)()gx的最大值。1()1gxx?Q，當(dāng)01x?時(shí)，()0gx?；當(dāng)1x?時(shí)

11、，()0gx?。?當(dāng)1x?時(shí)，()gx有最大值，max()(1)1gxg?1a? （）略。 評(píng)析：含參不等式分離參數(shù)后的形式因題、因分法而異，因此解決含參不等式恒成立問題需把握住下述結(jié)論：（1）()()fxga?恒成立?max()()fxga?；（2）()()fxga?恒成立?max()()fxga?；（3）()()fxga?恒成立?min()()fxga?。（4）()()fxga?恒成立?min()()fxga?。滲釤嗆儼勻諤鱉調(diào)硯錦。 二分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的確界 如果分離參數(shù)后相應(yīng)的函數(shù)不存在最值，為了能夠利用分離參數(shù)思想解決含參不等式恒成立問題，我們利用如下的函數(shù)確界的概念：鐃誅臥瀉

12、噦圣騁貺頂廡。 函數(shù)()yfx?()xD?的上確界為min(),MfxMxD?，記作M上；函數(shù)()yfx?()xD?的下確界為max(),MfxMxD?，記作M下。于是，有如下結(jié)論：（1）若()fx無最大值，而有上確界，這時(shí)要使()()fxga?恒成立，只需M上()ga?。（2）若()fx無最小值，而有下確界M下，這時(shí)要使()()fxga?恒成立，只需M下()ga?。擁締鳳襪備訊顎輪爛薔。 例2（2010年湖南卷理）已知函數(shù)2()fxxbxc?，(,)bcR?對(duì)任意的xR?，恒有()()fxfx? （）證明：當(dāng)0x?時(shí)，2()()fxxc? （）若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式22()()

13、()fcfbMcb?恒成立，求M的最小值。 解析：（）略。 （）由()()fxfx?即2(2)0xbxcb?恒成立，得2(2)4()0bcb? 從而2212144bbcb? ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)214b?，即2b?時(shí)成立 （1）當(dāng)cb? 時(shí)，22()()2fcfbcbMcbbc?，令btc?，則11t? ，則2121cbbct? 因?yàn)楹瘮?shù)1()21gtt?（11t? ）的最大值不存在，但易知其上確界為3232M? （2）當(dāng)cb?2?時(shí)，()()8fcfb?或0，220cb? ，從而223()()()2fcfbcb?恒成立 綜合（1）（2）得M的最小值為32 例3（2010年全國卷理）設(shè)函數(shù)2()1x

14、fxexax? （）若0a?，求()fx的單調(diào)區(qū)間。 （）若0x?時(shí)，()0fx?，求a的取值范圍。 解析：（）由()0fx?對(duì)所有的0x?成立，可得 （1）當(dāng)0x?時(shí)，aR?； （2）當(dāng)0x? 時(shí)，21xexax? ，設(shè)21()xexgxx?，問題轉(zhuǎn)化為求()gx 的最小值或下確界。22422()xxxexexxgxx?，令22()22xxhxxexexx?，因?yàn)?()222xxhxxeex?，0x?，又()hx的二階導(dǎo)數(shù)2()222xxxhxxexee?，()hx的三階導(dǎo)數(shù)(3)2()(4)0xhxexx?，所以()hx是增函數(shù)，故()(0)0hxh?，所以()hx增函數(shù)，故()(0)0h

15、xh?，所以()hx是增函數(shù)，故()(0)0hxh?，從而()0gx?，于是()gx在(0,)?上單調(diào)遞增，故()gx無最小值，此時(shí)，由于(0)g無意義，但運(yùn)用極限知識(shí)可得0()lim()xgxgx?。由洛必達(dá)法則可得 ：20000111lim()limlimlim222xxxxxxxexeegxxx?故0x? 時(shí)，1()2gx?。因而12a?，綜合（1）（2） - 5 - 知a 取值范圍為1,2?。贓熱俁閫歲匱閶鄴鎵騷。 評(píng)析：用分離參數(shù)法求解本題，最大的難點(diǎn)在于求分離參數(shù)后所得函數(shù)的下確界，應(yīng)用洛必達(dá)法則求0lim()xgx?超出了中學(xué)所學(xué)知識(shí)范圍。顯然，這不是命題者的意圖。因此，我們應(yīng)該

16、探求這類問題的另一種更為一般地思考途徑。壇摶鄉(xiāng)囂懺蔞鍥鈴氈淚。 三從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值 對(duì)于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值或確界較困難的問題，如例3，我們可以把含參不等式整理成(,)0fxa?或(,)0fxa?的形式，然后從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值。在解題過程中常常要用到如下結(jié)論：蠟變黲癟報(bào)倀鉉錨鈰贅。 （1）如果(,)fxa有最小值()ga，則(,)0fxa?恒成立?()0ga?，(,)0fxa?恒成立?()0ga?； （2）如果(,)fxa有最大值()ga，則(,)0fxa?恒成立?()0ga?，(,)0fxa?恒成立?()0ga?。

17、例4（2010年天津文）已知函數(shù)323()12fxaxx?()xR?其中0a? （）若1a?，求曲線()yfx?在點(diǎn)(2(2)f處的切線方程， （）若在區(qū)間11,22?上，()0fx?恒成立，求a的取值范圍 解析：（）略。 （）2()33fxaxx?Q，令()0fx?，解得0x? 或1xa? （1）若02a? ，則112a?，于是當(dāng)102x?時(shí)，()0fx?；當(dāng)102x?時(shí)，()0fx?。所以當(dāng)0x?時(shí)，()fx 有極大值。于是11,22x?時(shí)，()0fx? 等價(jià)于1()021()02ff?解得02a? （2）若2a? ，則112a? ，于是當(dāng)102x?時(shí)，()0fx?；當(dāng)10xa?時(shí)，()0

18、fx?， 當(dāng)112xa?時(shí)，()0fx?。所以，當(dāng)0x?時(shí)，()fx 有最大值，當(dāng)1xa?時(shí)，()fx 有最小值。于是11,22x?時(shí)，()0fx? 等價(jià)于1()021()0ffa? 解得252a? 或52a?，因此，25a? 綜合（1）（2）得05a? 例5：內(nèi)容同例3 解析：（）略 （）()12xfxeax?，由方程()0fx?不能求出極值點(diǎn)。顯然，用例4的解法是行不通的，但我們注意到(0)0f?，故問題轉(zhuǎn)化為()(0)fxf?在0x?時(shí)恒成立，即函數(shù)()fx在?0,?為不減函數(shù)，于是可通過求導(dǎo)判斷()fx的單調(diào)性，再求出使()(0)fxf?成立的條件。買鯛鴯譖曇膚遙閆擷凄。 由（）有1x

19、ex?，當(dāng)且僅當(dāng)0x?時(shí)成立，故()122(12)xfxeaxxaxax?，而當(dāng)120a? ，即12a?時(shí)()0fx?(0)x? ()fx?是?0,?上的不減函數(shù)，()(0)0fxf? 當(dāng)12a?時(shí)，由1xex?0x?可得1xex? ()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea? - 6 - 故當(dāng)(0,ln2)xa?時(shí)，()0fx?，而(0)0f?，于是當(dāng)(0,ln2)xa?時(shí) ()0fx?綜合得 12a? 評(píng)析：函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)既是研究的對(duì)象，又是解決問題的工具。本題抓住(0)0f?這一重要的解題信息，將問題轉(zhuǎn)化為 () (0)fxf? 在0x?時(shí)恒成立，通過研究函數(shù)() fx在

20、0,)? 上是不減函數(shù)應(yīng)滿足的條件，進(jìn)而求出a的范圍。隱含條件(0)0f ?對(duì)解題思路的獲得，起到了十分重要的導(dǎo)向作用。綾鏑鯛駕櫬鶘蹤韋轔糴。 從以上高考題的解法可知：以函數(shù)的觀點(diǎn)作指導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)作工具，從研究函數(shù)的單調(diào)性、 最值（極 值）等問題入手，將含參不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)問題，是確定恒不等式中參數(shù)取值范圍問題的重要思考方法。對(duì)這類問題的處理，需要考生具備過硬的導(dǎo)數(shù)、不等式知識(shí)，并能靈活運(yùn)用這些知識(shí)研究函數(shù)的性質(zhì)等問題。在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，有意識(shí)地給學(xué)生這方面的訓(xùn)練，對(duì)培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)是大有好處的。驅(qū)躓髏彥浹綏譎飴憂錦。 洛必達(dá)法則 一.微分學(xué)中值定理 拉格朗日中值

21、定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c， 使即 成立。 這個(gè)定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。 羅爾定理 若在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且，那末在(a,b) 內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。 下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理柯西中值定理柯西中值定理 如果 函數(shù)，在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在開區(qū)間(a ，b)內(nèi)可導(dǎo)，且0，那末在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)c，使成立。 在求函數(shù)的極限時(shí)，常會(huì)遇到兩個(gè)函數(shù))(xf、)(xF都是無窮小或都是無窮大時(shí)，求它們比值的極限，此時(shí)極限)()(limxFxf可能存在，也可能不

22、存在通常把這種極限叫做未定式，并分別簡稱為00型或?型。例如，xxxsinlim0?就是00型的未定式；而極限xxxlnlim?就是?型的未定式我們?nèi)菀字?，?duì)于未定式的極限求法，是不能應(yīng)用商的極限等于極限的商這個(gè)法則來求解的，那么我們該如何求這類問題的極限呢？計(jì)算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算.這種變形沒有一般方法，需視具體問題而定，屬于特定的方法.本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具，給出計(jì)算未定式極限的一般方法，即洛必達(dá)法則.本節(jié)的幾個(gè)定理所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.貓蠆驢繪燈鮒誅髏貺廡。 一、00型未定式 定理1 設(shè)函數(shù))(xf、)(xF

23、滿足下列條件： （1）0)( lim0?xfxx，0)(lim0?x Fxx； （2）)(xf與)( xF在0x 的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且0)(?xF； （3）)()(lim0xFxfxx?存在（或?yàn)闊o窮大），則 這個(gè)定理說明：當(dāng))()(lim0xFxfxx?存在時(shí)，)()(lim0xFxfxx?也存在且等于)()(lim0xFxfxx?；當(dāng))()(lim0xFxfxx?為無窮大)()(lim)()(lim00xFxfxFxfxxxx? - 7 - 時(shí)，)()(lim0xFxfxx?也是無窮大 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的極限值的方法稱為洛必達(dá)（HL?ospita

24、l）法則.鍬籟饗逕瑣筆襖鷗婭薔。 例1 計(jì)算極限0e1limxxx?. 解該極限屬于“00”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得 0e1limxxx? ?0elim11xx?. 例2 計(jì)算極限0sinlimsinxaxbx? 解該極限屬于“00”型不定式，于是由洛必達(dá)法則，得 00sincoslimlimsincosxxaxaaxabxbbxb? 注若(),()fxgx?仍滿足定理的條件，則可以繼續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，即 ()()()limlimlim()()()xaxaxafxfxfxgxgxgx?L 例3 計(jì)算極限33221216lim248xxxxxx? 解由洛必達(dá)法則，得 33221216lim248xxxxxx? ?222312lim344xxxx? ?263lim642xxx? 例4 計(jì)算極限arctan2lim1xxx? 解arctan2lim1xxx? ?2211lim1xxx? ?22lim11xxx? 二、?型未定式 定理2設(shè)函數(shù))(xf、)(xF滿足下列條件： （1）?)(lim0xfxx，?)(lim0xFxx； （2）)(xf與)(xF在0x的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且0)(?xF； （3 ）)()(lim0xFxfxx?存在（或?yàn)闊o窮大），則 注：上述關(guān)于0xx? 時(shí)未定式? 型的洛必達(dá)法則，對(duì)于?x