第十章梁的應(yīng)力習(xí)題答案

1、習(xí)題習(xí)題 101 一工字型鋼梁，在跨中作用集中力 F，已知 l=6m，F(xiàn)=20kN，工字鋼的型號 為 20a，求梁中的最大正應(yīng)力。 解：梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 kN.m30 max M 查表知 20a 工字鋼 3 cm237 z W 則 MPa 6 . 126Pa106 .126 10237 1030 6 6 3 max max z W M 102 一矩形截面簡支梁，受均布荷載作用，梁的長度為 l，截面高度為 h，寬度為 b，材料的彈性模量為 E，試求梁下邊緣的總伸長。 解：梁的彎矩方程為 2 2 1 2 1 qxqlxxM 則曲率方程為 2 2 1 2 111 qxqlx EIEI xM

2、x zz 梁下邊緣的線應(yīng)變 2 2 1 2 1 2 2 qxqlx EI h x h x z 下邊緣伸長為 2 3 0 2 0 22 1 2 1 2Ebh ql dxqxqlx EI h dxxl l z l 103 已知梁在外力作用下發(fā)生平面彎曲，當(dāng)截面為下列形狀時，試分別畫出正應(yīng)力 沿橫截面高度的分布規(guī)律。 解：各種截面梁橫截面上的正應(yīng)力都是沿高度線性分布的。中性軸側(cè)產(chǎn)生拉應(yīng)力，另 一側(cè)產(chǎn)生壓應(yīng)力。 q l AB b h F l/ 2 l/ 2 AB 104 一對稱 T 形截面的外伸梁，梁上作用均布荷載，梁的尺寸如圖所示，已知 l=1.5m,q=8KN/m，求梁中橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大

3、壓應(yīng)力。 解： 1、設(shè)截面的形心到下邊緣距離為 y1 則有 cm33 . 7 41084 10410484 1 y 則形心到上邊緣距離 cm67 . 4 33 . 7 12 2 y 于是截面對中性軸的慣性距為 42 3 2 3 cm 0 . 86467 . 2 410 12 410 33 . 3 84 12 84 z I 2、作梁的彎矩圖 設(shè)最大正彎矩所在截面為 D，最大負(fù)彎矩所在截面為 E，則在 D 截面 MPa08.15Pa1008.15 100 .864 1033 . 7 10778 . 1 6 8 23 1maxt, y I M z D MPa61 . 9 Pa1061 . 9 10

4、0 . 864 1067 . 4 10778 . 1 6 8 23 2maxc, y I M z D 在 E 截面上 MPa40 . 5 Pa1040 . 5 10 0 . 864 1067 . 4 100 . 1 6 8 23 2maxt, y I M z E MPa48 . 8 Pa1048 . 8 10 0 . 864 1033 . 7 100 . 1 6 8 23 1maxc, y I M z E 所以梁內(nèi)MPa08.15 maxt, ，MPa61 . 9 maxc, l/ 3 B C q A l 10c m 8c m 4c m 4c m 1.778k N.m 1.0kN. m 0.6

5、67m 105 一矩形截面簡支梁，跨中作用集中力 F，已知 l=4m，b=120mm，h=180mm，彎曲時材料的許用應(yīng)力=10Mpa，求梁能承受的最大荷 載 Fmax。 解：梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 4 max Fl M 矩形截面梁 6 2 bh Wz 則由 z W Mmax max 得 64 2 bhFl 即 N6480 43 18 . 0 12 . 0 2 1010 3 2 2 6 2 l bh F 106 由兩個 28a 號槽鋼組成的簡支梁，如圖所示，已知該梁材料為 Q235 鋼，其許 用彎曲正應(yīng)力=170Mpa，求梁的許可荷載F。 解：作彎矩圖 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 FM4 ma

6、x 矩形截面梁 3 max max cm656.6802 z zz z W y I y I W 則由 z W Mmax max 得 z WF4 即 N28927 4 10656.68010170 4 66 z W F F l/ 2 l/ 2 AB b h F 2 m BA FF 2 m 2 m 2 m 3F3F 4F 107 圓形截面木梁，梁上荷載如圖所示，已知 l=3m，F(xiàn)=3kN，q=3kN/m，彎曲 時木材的許用應(yīng)力=10MPa，試選擇圓木的直徑 d。 解：作彎矩圖 則由 z W Mmax max 得 max M Wz 即 6 33 1010 103 32 d ，得145mmm145 .

7、 0 d 108 起重機(jī)連同配重等重 P=50kN，行走于兩根工字鋼所組成的簡支梁上，如圖所 示。起重機(jī)的起重量 F=10kN，梁材料的許用彎曲應(yīng)力=170Mpa，試選擇工字鋼的型號。 設(shè)全部荷載平均分配在兩根梁上。 解：設(shè)起重機(jī)左輪距 A 端為 x，則有 2 650 xMC，80386 2 xxMD 從而確定出 kN.m 2 . 104 max C M，kN.m 2 . 140 max D M 即梁內(nèi)出現(xiàn)的最大彎矩為kN.m 2 . 140 則由 z W Mmax max 得 34 6 3 max m1025 . 8 10170 10 2 . 140 M Wz 又對于本題 max max 2

8、 z zz z W y I y I W AB P F 1 m 4 m 1 0 m CD 1 m q d F ll / 3 A B C 3kN. m 1.167 m 2.042kN. m 所以 334 4 cm 5 . 412m10125 . 4 2 1025 . 8 2 z z W W 查表選 25b 號工字鋼。 109 兩個矩形截面的簡支木梁，其跨度、荷載及截面面積都相同，一個是整體，另 一個是由兩根方木疊置而成，試分別計算二梁中的最大正應(yīng)力。 解： 1、第一種情況 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 8 2 max ql M 矩形截面梁 3 2 6 32 abh Wz 則 3 3 3 2 max m

9、ax 16 3 28 3 a ql a ql W M z 2、第二種情況 梁內(nèi)的最大彎矩發(fā)生在跨中 16 2 max ql M 矩形截面梁 66 32 abh Wz 則 3 3 3 2 max max 8 3 16 6 a ql a ql W M z 1010 直徑 d=0.6mm 的鋼絲繞在直徑 D=600mm 的圓筒上，已知鋼絲的彈性模量 E=2105MPa，試求鋼絲中的最大正應(yīng)力。 解： 由 z EI M 1 得 N.m1024115 . 4 103 . 03 . 0 64 106 . 0 102 3 3 124 11 z EI M 200MPaPa10200 32 106 . 0 10

10、24115 . 4 32 6 93 3 3max d M W M z 或 q l BA 2 a a a 200MPaPa10200 103 . 03 . 0 103 . 0102 6 3 311 max max Ey 1011 一矩形截面簡支梁由圓柱形木料鋸成。已知 F=5kN，a=1.5m， =10Mpa。試確定彎曲截面系數(shù)最大時矩形截面的高寬比 h:b，以及梁所需木料的最小直徑 d。 解： 66 222 bdbbh Wz 由0 6 3 22 bd db dWz 得 db 3 3 ，又0 2 2 b db Wd z 所以 db 3 3 時 z W取極大值，所以彎曲截面系數(shù)最大時，db 3 3

11、 ，dh 3 6 ，即 1:2:bh 梁內(nèi)的最大彎矩 kN.m5 . 7 max FaM 矩形截面梁 3 2 27 3 6 d bh Wz 則由 z W Mmax max 得 max M Wz 即 max 3 27 3M d 227mmm227 . 0 1010 105 . 73939 3 6 3 3 max M d 1012 一鑄鐵梁如圖所示。已知材料的拉伸強(qiáng)度極限 b=150Mpa，壓縮強(qiáng)度極限 bc=630Mpa，試求梁的安全因數(shù)。 解： b h d AB a FF a 3 a CD 1 m 0.5 m 1 m A B D 16k N C 32k N 16 0 20 0 4 0 1 0

12、1 0 1、設(shè)截面形心距離下邊緣為 y1 則有 mm33.53 21601040160 2120160102040160 1 y 則形心到上邊緣距離 mm67.14633.53200 2 y 于是截面對中性軸的慣性距為 42 3 2 3 mm 4 . 29013333267.6616010 12 16010 33.3340160 12 40160 z I 2、作梁的彎矩圖 C 截面 MPa057.22Pa10057.22 10 4 . 29013333 1033.531012 6 12 33 1maxt, y I M z C MPa663.60Pa10663.60 10 4 . 2901333

13、3 1067.1461012 6 12 33 2maxc, y I M z C B 截面上 MPa442.40Pa10442.40 10 4 . 29013333 1067.146108 6 12 33 2maxt, y I M z B MPa705.14Pa10705.14 10 4 . 29013333 1033.53108 6 12 33 1maxc, y I M z B 所以有 709 . 3 442.40 150 t n， tc 385.10 663.60 630 nn ，取安全系數(shù)為 3.709。 1013 一簡支工字型鋼梁，工字鋼的型號為 28a，梁上荷載如圖所示，已知 l=6m

14、，F(xiàn)1=60kN，F(xiàn)2=40kN，q=8kN/m，鋼材的許用應(yīng)力=170Mpa，=100Mpa， 試校核梁的強(qiáng)度。 解：作內(nèi)力圖 q AB l/6 F1F2 l/62l/3 8kN. m 12kN. m 則有 MPa 8 . 170Pa10 8 . 170 1015.508 10 8 . 86 6 6 3 max max z W M 而 %5%47 . 0 170 170 8 . 170 max MPa56.38Pa1056.38 0085. 01062.24 10 7 . 80 6 2 3 max,maxS, max bI SF z z 1014 一簡支工字型鋼梁，梁上荷載如圖所示，已知 l

15、=6m，q=6kN/m，F(xiàn)=20kN，鋼材的許用應(yīng)力=170Mpa，=100Mpa，試選擇工字鋼 的型號。 解：作內(nèi)力圖 q AB l/2 F l/2 80.7kN 67.3kN 12.7kN 72.7kN 59.3kN 19.3kN 2.588m 76.7kN.m 63.3kN.m 86.8kN.m 28kN 10kN 57kN.m 10kN 28kN 由 z W Mmax max 得 334 6 3 max cm 3 . 335m10353 . 3 10170 1057 M Wz 查表選 25a（考慮 5%誤差可以選則 22b） 。 對于所選型號，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 MPa21.16P

16、a1021.16 008 . 0 1058.21 1028 6 2 3 max,maxS, max bI SF z z （如為 22b， MPa 8 . 15 max ） 所以工字鋼型號為 25a（或 22b） 。 1015 由工字鋼制成的簡支梁受力如圖所示。已知材料的許用彎曲應(yīng)力 =170Mpa，許用切應(yīng)力=100Mpa。試選擇工字鋼型號。 解：作內(nèi)力圖 由 z W Mmax max 得 334 6 3 max cm 6 . 488m10886 . 4 10170 1005625.83 M Wz 查表選 28a 。 對于所選型號，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 MPa06.54Pa1006.54 0

17、085 . 0 1062.24 10125.113 6 2 3 max,maxS, max bI SF z z 所以工字鋼型號為 28a。 1016 外伸梁 AC 承受荷載如圖所示，Me=40KN.m，q=20KN/m。材料的許用應(yīng)力 =170Mpa，=100Mpa。試選擇工字鋼的型號。 20kN/m AB 0.5m 80kN60kN 1m2.5m CD 113.125k N 1.85m 56.5625kN.m 76.875kN.m 83.05625kN.m 33.125kN 76.875kN 16.875kN 解：作內(nèi)力圖 由 z W Mmax max 得 334 6 3 max cm 3

18、. 235m10353 . 2 10170 1040 M Wz 查表選 20a 。 對于所選型號，梁內(nèi)出現(xiàn)的最大切應(yīng)力為 MPa22.33Pa1022.33 007. 010 2 . 17 1040 6 2 3 max,maxS, max bI SF z z 所以工字鋼型號為 20a。 1017 圖示簡支梁是由三塊截面為 40mm90mm 的木板膠合而成，已知 l=3m，膠 縫的許用切應(yīng)力=0.5Mpa，試按膠縫的切應(yīng)力強(qiáng)度確定梁所能承受的最大荷載 F。 解： 梁內(nèi)的最大剪力值為 0.5F 則膠縫處的最大切應(yīng)力為 F F bI SF z z 73.61 109010 12 12090 1040

19、40905 . 0 312 3 9 * maxS, max 由 max 得 F 8100N。 1018 圖示結(jié)構(gòu)中，AB 梁與 CD 梁所用材料相同，二梁的高度與寬度分別為 h、b 0.5l0.5l BA 90mm 40mm 40mm 40mm F q 2m1m1m A B C Me 40kN 40kN.m 和 h1和 b，已知 l=3.6m，a=1.3m，h=150mm，h1=100mm，b=100mm，材料的許用應(yīng) 力=10Mpa，=2.2Mpa，試求該結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載 Fmax。 解： 1、對于上梁 作內(nèi)力圖 由 z W Mmax max 得 z WM max ，即 z W Fl

20、4 所以有 kN852 . 1 N10852 . 1 6 . 3 6 1 . 01 . 0 10104 4 3 2 6 l W F z 又由 A F 2 3 maxS, max 得 3 2 maxS, A F ，即 3 2 2 AF 所以有 kN33.29N1033.29 3 1 . 01 . 0102 . 24 3 4 3 6 A F 2、對于下梁 作內(nèi)力圖 由 1 max max z W M 得 1maxz WM，即 1 2 z W Fa 所以有 kN77 . 5 N1077 . 5 3 . 1 6 15 . 0 1 . 0 10102 2 3 2 6 1 a W F z 0.5l0.5l

21、a a BA DC h b b h1 F F 2 1 F 2 1 Fl 4 1 F 2 1 F 2 1 Fa 2 1 又由 1 maxS, max 2 3 A F 得 3 2 1 maxS, A F ，即 3 2 2 1 AF 所以有 kN 0 . 44N10 0 . 44 3 15 . 0 1 . 0102 . 24 3 4 3 6 1 A F 綜上，取 kN852 . 1 F 1019 圖示木梁受一可移動的荷載 F=40KN 作用。已知=10Mpa，=3Mpa。 木梁的橫截面為矩形，其高寬比 2 3 b h ，試選擇梁的截面尺寸。 解： 當(dāng)F位于跨中時，梁內(nèi)出現(xiàn)最大彎矩 kN10N1010 4 11040 4 3 3 max Fl M 由 z W Mmax max 得 max M Wz 即 33 6 3 max 32 m100 . 1 1010 1010 24 9 6 Mbbh 從而有 138.7mmm1387 . 0 b 又當(dāng)F位于靠近左右支座時，梁內(nèi)出現(xiàn)最大剪力 kN20 2 maxS, F F 由 A F 2 3 maxS, max 得 2 3 maxS, F A ，即 23 6 3 maxS,2 m1010 1032 10203 2 3 2 3 F