考研數(shù)一真題和答案

1、2018年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一考研真題與全面解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1.下列函數(shù)中在x0處不可導(dǎo)的是（(A) f(x)x sinx(B) f(x)x si nJ x(C) f (x) cosx(D f(x)cos2.過點(1,0,0) , (0,1,0)，且與曲面 zx2 y2相切的平面為（）(A) z0與 2x 2y z 2(C) xy與 2x 2y z 23.1)n 2n 3(2n1)!4.2(1 x)221 x2 dx，xdx，2 (1 Jcosx)dx，貝y(

2、2(A)(B) M(C) K(D) K5.1F列矩陣中陣，與矩陣 001相似的是（(A)0 11( B)0 11(0010( D) 0 16.設(shè)A,B是n階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩，(X,Y)表示分塊矩陣，貝(A) r(A,AB) r(A)(B) r(A, BA) r(A)(D) r(A, B) r(AT,BT)(C) r(A,B) maxr(A),r(B)7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f (x)滿足f (1 x) f (1 x),20 f(x)dx 0.6則 PX 0()(A) 0.2(B) 0.3(C) 0.4(D) 0.58.設(shè) 總體X服從正態(tài)分布N( , 2), X1,X2,Xn是來自

3、總體X的簡單隨機(jī)樣本，據(jù)此樣本檢測,假設(shè) H0:0,則如果在檢驗水平0.05下拒絕H。，那么在檢驗水平0.01下必拒絕H。；(B)如果在檢驗水平0.05下拒絕Ho，那么在檢驗水平0.01下必接受Ho ；如果在檢驗水平0.05下接受H。，那么在檢驗水平0.01下必拒絕H。；(D)如果在檢驗水平0.05下接受H。，那么在檢驗水平0.01下必接受Ho。二、填空題:9 14小題,每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置1tanx上.e,則k19.若 lim -x 0 1 ta nx10.設(shè)函數(shù)f (x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，若曲線 y f (x)過點(0,0)，且與y 2x1在點(1,2)處相切，

4、求0xf (x)dx11、設(shè)函數(shù) F(x, y,z) xy i yzj zxk，則 rotF (1,1,0)12.設(shè)L是曲面1與平面x y z 0的交線，貝y xyds13.設(shè)二階矩陣A有兩個不同的特征值,2是A的線性無關(guān)的特征向量，且滿足A2( 12)則|a|_14.設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨立，A與C相互獨立，BC1P(A) P(B) 2，1pcIabUc) 4,則P(C)三、解答題：15 23小題，共94分.請將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應(yīng)寫 出文字說明、證明過程或演算步驟15.（本題滿分10分）求不定積分 e2x arctan Jex 1dx.16.（本題滿分10分）將長為2m的鐵絲

5、分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個圖形的面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。17.（本題滿分10分）設(shè) 是曲面X J13y2 3z2的前側(cè)，計算曲面積18.數(shù)。xdydz（本題滿分若 f(x)(y3 2)dzdx z3dxdy.10分）已知微分方程 y yX，求方程的通解；（II ）若f （x），其中f （x）是R上的連續(xù)函f （x）是周期為T的函數(shù)，證明:I）。方程存在唯一的以T為周期的解。19.(本題滿分 10分)設(shè)數(shù)列 Xn 滿足 x1 0,xeXn1 eXn 1(n 1,2,3,證明Xn收斂，并求lim Xn。n20. （本題滿分11分）設(shè)二次型f（X1，X2，X3）

6、（X1 X2 X3）2 （X2 X3）2 （X1 axJ2，其中 a是參數(shù)。(I )求 f (x1,x2,x3) 0 的解；(II )求 f (x1,x2,x3)的規(guī)范型。1 2 a21. （本題滿分11分）設(shè)a是常數(shù)，且矩陣A 130 可經(jīng)過初等列變換化2 7a為矩陣求a ； （II ）求滿足AP B的可逆矩陣P ?22.（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨立，X的概率分布為Y服從參數(shù)為的泊松分布。令XY，（I ）求 Cov（X,Z） ；（II）求 Z 的概率分布。23.本題滿分 11） 設(shè)總體X的概率密度為f(X；其中（0,）為未知參數(shù),X1,X2,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本,記的

7、最大似然估計量為0( I )求；（II ）求 E（)和D(答案解析1.【答案】（D）【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,Xm0X sin X000，可導(dǎo);C. 00 嚀0x|si nJ x|limX 0XlimX 0 X0,可導(dǎo);cos x| 1 lim X 01 , lim 2x 0 X，可導(dǎo);2XX1lim 2X 0 X，極限不存在。故選（D）.解方程（1） （2） （3）,可得切點坐標(biāo)（0,0,0）或（1,1,2）。因此，切平面有兩D. lim cos胸 1 limX 0XX 0X2.【答案】（B ）【解析一】設(shè)平面與曲面的切點為 （XoVoZ），則曲面在該點的法向量為n （2x0,2y0, 1），切

8、平面方程為切平面過點（1,0,0） , （0,1,0），故有2x0(1X0)2y0(0y。）(0z0)0，（ 1）2x0(0Xo)2y0(1y。）(0z0)0，(2)又（Xq, yozj是曲面上的點，故z。x0y0z 0 與 2x 2y z 2，故選(B).【解析二】由于X y不經(jīng)過點（1,0,0）和（0,1,0），所以排除（0（ D）。對于選項（A），平面X y z 1的法向量為（1,1, 1），曲面X2 y2 z 0的111向量為（2x,2y, 1），如果所給平面是切平面，則切點坐標(biāo)應(yīng)為（丄,丄，丄），而曲2 2 2面在該點處的切平面為 X y z 1，所以排除（A）.所以唯一正確的選項是

9、2(B).3.【答案】（B ）【解析】因為 si nx-Xxn0(2 n 1)!2n,cosx2nn 0 (2n)!1)n 2n 3(2n 1)!n0(1)噥11)!1)n(2n 1)!4.【答案】（C ）(1)n n 0(2n)!（2n如 cos1 2sin1，故選（B）?！窘馕觥糠e分區(qū)間是對稱區(qū)間，先利用對稱性化簡，能求出積分最好，不能求出積分則最簡化積分。1 (1 x)2 122dx21x2Adx1 x22 (1272x2)dx1 x2 (12Jcosx)dx2 l|dxex1x, x(x) ex 1 ，當(dāng)x (u0)時,f (x) 0，（巧）時,f (x)-,J)有 f(x)f (0)

10、0 ,因而1 x1，N 2 pdx2 eM N。應(yīng)選（5.【答案】（A）【解析】記矩陣H01，則秩r(H)1跡 tr(H)3,特征值1（三重）。觀察A, B,C,D四個選項，它們與矩陣的秩相等、跡相等、行列式相等，特征值也相等，進(jìn)一步分析可得:r(H) 2,r( E A)r( E B) 1r( E C) 1, r( E D) 1。如果矩陣A與矩陣X相似,則必有kEkE X相似（k為任意常數(shù)），從而r（kEA) r(kE X)，故選(A)6.【答案】（A）【解析】把矩陣A, AB按列分塊，記AI n)，AB (n)，則向量組可以由向量組n線性表出，從而n，等價，于是r(A,AB) r(A)，故選

11、(A)。7.【答案】【解析】由f(1 x)f （1 x）可知概率密度函數(shù)f（x）關(guān)于x 1對稱,結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)2f （x）dx 1及已知條件0f (x)dx 0.6，容易得0PX 0 f (x)dx1 2? f(x)dx 0f(x)dx0.2，故選（A ）。8.【答案】（D ）【解析】正確解答該題，應(yīng)深刻理解“檢驗水平”的含義。X統(tǒng)計量 一JN（0,1）,在檢驗水平0.05下接受域為U0.025,解得接受域的區(qū)間為（X U0.025 -,X U0.025 ）；vnVn在檢驗水平0.01下接受域的區(qū)間為 （X U0.005,XVnU0.005) 0由于U0.025U0.005，0.01下

12、接受域的區(qū)間包含了0.05下接受域的區(qū)間,(x)故選（D）0 9.【答案】tanx【解析】elim -x 0 1 tanx1sinkxlim-lnX 0sinkx1e1 tanx.1 . 2tanxlimln 1 tanx X 0sinkx1 tanxe10.【答案】2(1 n2 1)【解析】由已知條件可得:f(0)0,f(1)2, f (1) 2ln2,f (x)dx1 1故 0 xf (x)dx 0 xdf (x) xf11.【答案】（1,0, 1）【解析】rotF(x, y, z)k/zy i z j xkxyyz zx故 rotF (1,1,0)(1,0, 1)。12.【答案】-3【解

13、析】先求交線L: x2xy2z 1,由于曲面方程與平面方程中的0x, y, z 滿足輪換對稱性，因此在曲線L上X, y, z具有輪換對稱性。又知由輪換對稱性可得：n xyds 1P (xyyz zx)ds13.【答案】1【解析】設(shè)2對應(yīng)的特征值分別是2，則A2( 12) a2 1 a2(121) 1( I 1) 20，由于2線性無關(guān),1, 22從而A的兩個不同的特征值為1,1,于是114.【答案】丄【解析】P (AcIabIJc)PAC(ABJ C)P (ABC)P(ABCU AC)P(AB) P (C) P (ABC)411 14 P(C) 4,尹(C)-P(C)2 215.【解析】e2xa

14、rctanJex 1dx 1 arctan/ex 1de2x216.【答案】面積之和存在最小值，SminJ4 373【解析】設(shè)圓的半徑為 x，正方形的邊長為y，三角形的邊長為z，則2 x 4y 3z 2,/3三個圖形的面積之和為 S(x, y, z)x2 y2 z2，40,z0下，求三元函數(shù)則問題轉(zhuǎn)化為“在條件2 x 4y 3z 2，x 0,y2S(x, y,z) xy2礬的最小值”。2 V3 2z4(2 x 4y 3z 2)LxLy解方程組Lz2x22y 4z 322 x 4y3z 2 0，得到唯一駐點143/324332/34 3/3由實際問題可知，最小值一定存在，且在該駐點處取得最小值。

15、最小面積和SminJ4 37317.【解析】將空間曲面化成標(biāo)準(zhǔn)形以便確定積分曲面的形狀。曲面前側(cè)是一個半橢球面，補(bǔ)平面 1 :x 0, y2z21，取后側(cè)，則xdydz (y3132)dzdx z dxd xdydz1(y3 2)dzdx z3dxdy 由高斯公式可得其中(x,y,z)0J1 3y2 3z2 ，由“先二后一”法可得而 xdydz (y3 2)dzdx1z3dxdy故I蟲4518.【解析】(I )若f(x)X,則y由一階線性微分方程通解公式dxdx得 ye ( xe dx C)Cex1。(II )由一階線性微分方程通解公式可得x( f (x)exdx C)，由于y(x T)在f

16、(x)exdx中無法表達(dá)出來，取X xty(x) e ( 0 f(t)edt C)，于是 y(x T) e (x T) (t)etdt C)若方程存在唯一的以T為周期的解，則 必有y(x T) y(x)，即T t0 e f (t)dt由于 旦r 為一常數(shù)，可知 當(dāng)且僅當(dāng) CeT 1T t0ef(t)dt1時,y(x)以 T為周期，故微分方程存在唯一的以T為周期的解19.【證明一】因為 x 0，所以ex2eX11e x1根據(jù)拉格朗日中值定理，存在(0,Xi)，使得ex1e，即 eX2e，因0 x2X1。完全類似，假設(shè)Xn 1Xn ，則故數(shù)列xn 1e 1 eXn 1(0XiXn 1)，即 0Xn

17、2Xn 1，xn單調(diào)減少且有下界，從而數(shù)列xn收斂。設(shè)limn程得唯一解A 0,故lim Xn 0o nXnA，在等式xneXn 1 eXn 1兩邊取極限，得AeA【證明二】首先證明數(shù)列Xn有下界，即證明xn0 :Xl當(dāng)n 1時,x10。根據(jù)題設(shè)x2In，由X1ex1x!可知x2 ln1 0；假設(shè)當(dāng)n k時，xk則當(dāng)n k 1時,XkXk 1 In eXkxk1 xk，可知 Xkiln1 0。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,對任意的 nXn再證明數(shù)列人的單調(diào)性:eXn1xnXn1 Xn ln XnXnlneXnlneXnXnen（離散函數(shù)連續(xù)化）f(x) ex1 xeX(x 0)，則當(dāng)X 0時，(II )將矩

18、陣B按列分塊：B (1， 2，3)，求解矩陣方程AP B可化為解f (x)xeXf（X）單調(diào)遞減,f(x)f (0)0,即X .Xe 1 Xe 。從而Xn 1 XnXne1Xnln1 0，故 X, 1 X,，即數(shù)列 Xn的單調(diào)遞減。綜上，數(shù)列 Xn的單調(diào)遞減且有下界。由單調(diào)有界收斂原理可知Xn收斂。a ,在等式 XneXn 1e 1兩邊同時令n，得設(shè) lim Xnnaea ea 1 ,解方程得 唯一解a 0，故lim Xn 0。 n20.【解析】（I ）由f （X1,X2,X3）0可得對上述齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換得當(dāng) a 2 時，f (X,X2，X3) 0 只有零解：X (0,0

19、,0) T。1 0 2當(dāng) a 2 時，A 0 110 0 0f (x1,x2,x3)0有非零解：x k( 2, 1,1，k為任意常數(shù)。(II )當(dāng)a 2時，若X1,X2,X3不全為0，則二次型(咅必必)恒大于0，即二次型f(x1,x2,x3)為正定二次型，其規(guī)范型為 f (y1,y2, y3) y2 y； yf。當(dāng)a 2時,二次型對應(yīng)的實對稱矩陣B 130 ，其特征方程為6解得特征值1577, 25J7, 30，可知二次型的規(guī)范型為f (Zi，Z2，Z3)z2z2。21.【解析】(I )由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，故r(A) r(B)。對矩陣A, B作初等行變換，得aa3a顯然r(A) 2，要使r(B)必