拉氏變換詳解

1、1,2.常用函數(shù)的拉氏變換 (1)例1.求階躍函數(shù)f(t)=A1(t)的拉氏變換。 單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的拉氏變換為 。 (2)例2.求單位脈沖函數(shù)f(t)=(t)的拉氏變換。,數(shù)學(xué)知識回顧,2,（3）例3.求指數(shù)函數(shù)f(t)= 的拉氏變換 幾個重要的拉氏變換,3,3.拉氏變換的基本性質(zhì) (1)線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。 (2)微分性質(zhì) 若 ，則有 f(0)為原函數(shù)f(t) 在t=0時的初始值。,4,證：根據(jù)拉氏變換的定義有 原函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換 依次類推，可以得到原函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的拉氏 變換,5,(3)積分性質(zhì) 若 則 式中 為積分 當(dāng)t=0時的值

2、。 證：設(shè) 則有 由上述微分定理，有,6,即： 同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為 若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于0 則有 即原函數(shù) f(t)的n重積分的拉氏變換等于其象 函數(shù)除以 。,7,（4）終值定理 原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。 證：由微分定理，有 等式兩邊對s趨向于0取極限,8,注：若 時f(t)極限 不存在，則不能用終值定理。如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應(yīng)用終值定理。 (5)初值定理： 證明方法同上。只是要將 取極限。 (6)位移定理： a.實域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延遲 ，則其象函數(shù)應(yīng)乘以,9,b.復(fù)域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應(yīng)乘

3、以 即： (7)時間比例尺定理 原函數(shù)在時間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即： 證：,10,(8)卷積定理 兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積。 即 證明：,11,12,二.拉氏反變換 1. 定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運算稱為拉氏反變換。記為 。由F(s)可按下式求出 式中C是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的實部。 直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。,13,若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏

4、變換在表中可以查到。 例1： 例2：求 的逆變換。 解：,14,例3.,15,2. 拉式反變換部分分式展開式的求法 （1）情況一:F(s) 有不同極點,這時,F(s) 總能展開成如下簡單的部分分式之和,16,17,18,（2）情況2:F(s)有共軛極點 例2：求解微分方程,19,（3）情況3:F(s)有重極點,假若F(s)有L重極點 ,而其余極點均不相同。 那么,20,21,22,23,如果不記公式,可用以下方法求解,也可得解。,24,3、線性定常微分方程的求解,【例26 P25】下圖中，若已知L=1H, C=1F, r=1,U0(0)=0.1V, i(0)=0.1A, ui(t)=1V.試求

5、電路突然接通電源時電容電壓的變化規(guī)律。,25,解：已求得微分方程為,拉氏變換得,26,代入得,根據(jù)初值定理、終值定理,27,三.傳遞函數(shù) 1.定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。 設(shè)線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是,28,c(t)為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,分母中S的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。,29,因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)，即 ,若mn,我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。,30,2.性質(zhì) (1)傳遞函數(shù)與微分方程一一

6、對應(yīng)。 (2)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素?zé)o關(guān)，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。） (3)只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映。 (4)如果存在零極點對消情況，傳遞函數(shù)就不能正確反映系統(tǒng)的動態(tài)特性了。 (5)只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。,31,例1：RC電路如圖所示 依據(jù)：基爾霍夫定律 消去中間變量 ，,則微分方程為：,32,可用方框圖表示 例2.雙T網(wǎng)絡(luò),對上式進行零初始條件下的拉氏變換得：,33,解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出

7、下列微分方程組：,方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：,34,35,方法二：雙T網(wǎng)絡(luò)不可看成兩個RC網(wǎng)絡(luò)的串聯(lián)，即：,36,傳遞函數(shù)的基本概念 例,例2-9 P31求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù)。 解已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：,37,38,2.4典型環(huán)節(jié)的特性,控制系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)組成的，為了研究控制系統(tǒng)的特性，有必要首先研究其各個組成部分的特性，即研究各個環(huán)節(jié)的特性。 不同物理性質(zhì)，不同結(jié)構(gòu)用途的環(huán)節(jié)可以表現(xiàn)出相同的動態(tài)特性，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，所以這里按數(shù)學(xué)模型對環(huán)節(jié)進行分類。,39,1、比例環(huán)節(jié) （1）微分方程 c (t) = K r (t) K 為常數(shù) 任意時刻，輸出

8、與輸入成比例。 （2）傳遞函數(shù) K為常數(shù) （3）動態(tài)結(jié)構(gòu)圖 （4）動態(tài)特性 r (t) = 1(t) c (t) = K 1(t) 輸出不失真，不延遲，成比例地 表現(xiàn)輸入信號的變化。 （迅速、準(zhǔn)確地表現(xiàn)輸入信號的變化）,40,（5）舉例： a、工作于線性狀態(tài)的電子放大器，其慣性很小可以近似地看成一個比例環(huán)節(jié)。 b、測速發(fā)電機空載時，它的輸出電壓與輸入轉(zhuǎn)速成正比例關(guān)系。帶負載時，略去其電樞反應(yīng)和電刷與換相器的接觸電壓，仍近似地把它視為一個比例環(huán)節(jié)。,41,2-4 結(jié)構(gòu)圖,一.結(jié)構(gòu)圖的概念和組成 1.概念,我們可以用結(jié)構(gòu)圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向。在引入傳遞函數(shù)后，可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標(biāo)在結(jié)構(gòu)圖的

9、方塊里，并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示。這時Y(s)=G(s)X(s)的關(guān)系可以在結(jié)構(gòu)圖中體現(xiàn)出來。,42,(3)比較點： 綜合點，相加點 加號常省略，負號必須標(biāo)出 (4)引出點： 一條傳遞線上的信號處處相等 ，引出點的信號與原信號相等。,2. 組成 (1)方框：有輸入信號，輸出信號，傳遞線，方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)，一條傳遞線上的信號處處相同。 （2）信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標(biāo)注信號的時間函數(shù)或象函數(shù),43,結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-11,例1利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。,解：不能把左圖簡單地看成兩個RC電路的串聯(lián),有負載效應(yīng)。根據(jù)

10、電路定理，有以下式子：,二.結(jié)構(gòu)圖的繪制,44,繪圖：ui(s)為輸入，畫在最左邊。,這個例子不是由微分方程組代數(shù)方程組結(jié)構(gòu)圖，而是直接列寫s域中的代數(shù)方程，畫出了結(jié)構(gòu)圖。,45,若重新選擇一組中間變量，會有什么結(jié)果呢？ (剛才中間變量為i1,u1,i2，現(xiàn)在改為I,I1,I2),從右到左列方程：,46,這個結(jié)構(gòu)與前一個不一樣，選擇不同的中間變量，結(jié)構(gòu)圖也不一樣，但是整個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系是不會變的。,繪圖,47,三.結(jié)構(gòu)圖的等效變換 （1）串聯(lián),48,(2)并聯(lián),49,(3)反饋 這是個單回路的閉環(huán)形式，反饋可能是負， 可能是正，我們用消去中間法來證明。,C(s),50,以后我們均采用(s)

11、表示閉環(huán)傳遞函數(shù)， 負反饋時， (s)的分母為1回路傳遞函數(shù)， 分子是前向通路傳遞函數(shù)。 正反饋時， (s)的分母為1回路傳遞函數(shù)， 分子為前向通路傳遞函數(shù)。 單位負反饋時，,51,（4）信號引出點的移動： 引出點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端,信號分支點的移動和互換,52,信號相加點和分支點的移動和互換,引出點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：,注意： 相臨的信號相加點位置可以互換；見下例,53,信號相加點和分支點的移動和互換,同一信號的分支點位置可以互換：見下例,相加點和分支點在一般情況下，不能互換。,常用的結(jié)構(gòu)圖等效變換見表2-1,所以，一般情況下，相加點向相加點移動，分支點向分支點移動。,54,結(jié)構(gòu)

12、圖等效變換例子|例2-11,例2利用結(jié)構(gòu)圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。,總的結(jié)構(gòu)圖如下：,55,結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-11,為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進行適當(dāng)?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：,56,結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-11,57,解：結(jié)構(gòu)圖等效變換如下：,58,結(jié)構(gòu)圖等效變換例子|例2-12,59,小結(jié),結(jié)構(gòu)圖的概念和繪制方法； 結(jié)構(gòu)圖的等效變換（環(huán)節(jié)的合并和分支點、相加點的移動）；,作業(yè)：2-2(b)，2-4(b)，2-8，2-9，2-11，2-17(e),60,2-5 信號流圖,信號流圖可以表示系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和變量傳送過程中的數(shù)學(xué)關(guān)系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。在

13、求復(fù)雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。,61,一、信號流圖及其等效變換 組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。見下圖：,信號流圖的概念,節(jié)點：節(jié)點表示變量。以小圓圈表示。 支路：連接節(jié)點之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標(biāo)在支路上箭頭的旁邊，稱支路增益。 支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變?yōu)榱硪环N信號。,62,信號流圖的概念,63,信號流圖的術(shù)語,幾個術(shù)語：,輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如： C,混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：E，P，Q ?；旌瞎?jié)點相當(dāng)于結(jié)構(gòu)圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加。,

14、前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳輸時，每個節(jié)點只通過一次的通路叫前向通路。,輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如： R，N。,64,回路(閉通路)：起點和終點為同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱為回路。,互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。,信號流圖的術(shù)語,通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。,回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。,65,信號流圖的等效變換,66,信號流圖的等效變換,67,信號流圖的性質(zhì),節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般

15、，節(jié)點自左向右順序設(shè)置，每個節(jié)點標(biāo)志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。 支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。 信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關(guān)系。 對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設(shè)置是任意的，因此信號流圖不是唯一的,信號流圖的性質(zhì),68,信號流圖的繪制,信號流圖的繪制： 根據(jù)結(jié)構(gòu)圖 例2 已知結(jié)構(gòu)圖如下，可在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。,69,信號流圖的繪制, 按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學(xué)關(guān)系繪制。如前例所對應(yīng)的代數(shù)方程為,按方程可繪制信號流圖,

16、70,梅遜公式的推導(dǎo),二、梅遜公式的推導(dǎo),如前例已知信號流圖如圖所示，所對應(yīng)的代數(shù)方程為,以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程,71,于是可求得該方程組的系數(shù)行列式,和,梅遜公式的推導(dǎo),72,根據(jù)克萊姆法則得,于是傳遞函數(shù)為,分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓撲結(jié)構(gòu)有著密切的關(guān)系。從拓撲結(jié)構(gòu)的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。,梅遜公式的推導(dǎo),73,圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路和、和、和）,可見，傳遞函數(shù)的分母取決于信號流圖的拓

17、撲結(jié)構(gòu)特征。,梅遜公式的推導(dǎo),74,如果把中與第k條前向通道有關(guān)的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應(yīng)的余子式如下表所示,梅遜公式的推導(dǎo),75,故用信號流圖拓撲結(jié)構(gòu)的術(shù)語，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為,梅遜公式的推導(dǎo),76,梅遜公式,二、梅遜公式,77,梅遜公式,78,梅遜公式|例2-13a,79,梅遜公式|例4,解：先在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關(guān)系畫出信號流圖如下：,例4：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。,80,梅遜公式|例4,81,梅遜公式|例4,討論：信號流圖中，a點和b點之間的傳輸為1，是否可以將該兩點合并。使得將兩個不接觸回路變?yōu)榻佑|回路？如果可以的話，總傳輸將不一樣。,不能合并。因為a、b兩點的信號值不一樣。,上圖中，u i和ue，I1和I，a和b可以合并。為什么？,82,梅遜公式|例5,解：在結(jié)構(gòu)圖上標(biāo)出節(jié)點，如上。然后畫出信號流圖，如下：,83,梅遜公式|例5,84,梅遜公式|例5,85,梅遜公式注意事項,注意：梅森公式只能求系統(tǒng)的總增益，即輸出對輸入的增益。而輸出對混合節(jié)點（中間變量）的增益就不能直接應(yīng)用梅森公式。也就是說對混合節(jié)點，不