第1講 三角恒等變換與三角函數(shù)的化簡、求值

1、 14 6 tantan tan1tan 45tan 144 6 44 1 5 tan 1 11tan35第 1 講三角恒等變換與三角函數(shù)的化簡、 求值高考定位高考對本內容的考查主要有： (1)兩角和 (差)的正弦、余弦及正切， c級要求；(2)二倍角的正弦、余弦及正切， b 級要求 .應用時要適當選擇公式，靈活應用，試題類型可能是填空題，同時在解答題中也是必考題，經(jīng)常與向量綜合 考查，構成中檔題.真 題 感 悟1.(2017 江蘇卷)若 tan ，則 tan _. 解析 法一 44 tan 1 1 ， 61tan tan76tan 61tan (tan 1)，tan . 1tan 7法二 t

2、an tan 4 4 6.答案754 52.(2018 江蘇卷)已知 ， 為銳角，tan ，cos() . (1)求 cos 2 的值；(2)求 tan()的值.3cos 32222552537211cos 2222222 22 24 sin 4解 (1)因為 tan ，tan ，所以 sin cos .因為 sin2cos1，所以 cos9 ，257因此，cos 22cos 1 .5(2)因為 ， 為銳角，所以 (0，).又因為 cos() ，2 5所以 sin() 1cos （） ，因此 tan()2. 4 2tan 24因為 tan ，所以 tan 2 ，1tan 因此，tan()tan

3、2()tan 2tan（） 2 .1tan 2tan（）考 點 整 合1.三角函數(shù)公式(1)同角關系：sin2cos2sin 1， tan .k(2) 誘導公式：對于“ ，kz 的三角函數(shù)值”與“ 角的三角函數(shù)值”的關 系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限.(3) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos tan tan tan()tan .sin ；(4)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos sin 2cos 112sin .(5)輔助角公式：asin xbcos x a2bsin(x)，其中 cos

4、aa b，sin b .a b2.公式的變形與應用(1)tan tan tan()(1tan tan )； tan tan tan()(1tan tan ).222222 2 等. 422 2443 105 5122x 4x24x42 x cos x 4422cos 2x cos 2x 12x2 102 1055 555515152(2)升冪、降冪公式1cos 2cos ，1cos 2sin ；sin21cos 2 1cos 2 ，cos .(3)角的拆分與組合2()()，2 ()()； ()() ； 4 4 3 3熱點一 三角函數(shù)式的化簡與求值【例 1】 (1)(2018 泰州模擬)化簡：1

5、2 cos x2cos x_.2tanxsin x cos (2)若 tan 2tan ，則 _.sin 解析 (1)原式（4cos4x4cos x1）sin 2 cos cos （2cos2x1）4sin 2cos 2x 22sin cos 2x.(2)3 3 cos sin sin sin cos sin sin sin sin cos cos sincos sintan tan5 tan 5 tan21213.1答案 (1) cos 2x (2)3 24cos 7022sin 20 2 sin 2sin cos (2)由 cos 2sin 2 444， ， sin24 444 ，sin

6、2cos 2 2cos2 14246371427223 92，0.727探究提高(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循 “三看”原則：一看角，二看名，三看式子結構與特征.(2)三角函數(shù)式化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)， 尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點.【訓練 1】 (1)(2018 徐州調研)計算：tan 70cos 10( 3tan 201)_. (2)若 ，且 3cos 2sin，則 sin 2 的值為_. sin 70 3sin 20cos 20解析 (1)原式 cos 10 cos 20 3 1 cos 102 sin 20 cos 20 2cos 10sin

7、10 1.cos 70 cos 70 cos 70 2 4 4 4 代入原式，得 6sincossin， 3 0， 1 cos 1718.答案 (1)1 (2)1718熱點二 三角函數(shù)的求值(求角)1【例 2】 (1)(2018 全國卷改編)若 sin ，則 cos 2_.1 5 3(2)(2017 南京、鹽城聯(lián)考)已知 ， 為銳角，cos ，sin() ，則 cos _.1 1(3)已知 ，(0，)，且 tan() ，tan ，則 2 的值為_.1 7解析 (1)cos 212sin 12 .(2) 為銳角，sin 1 4 3 1 .，0， .11 1 5 3 4 3 49 11 1 31

8、223331tan 2tan 4 70， ，20，2.927510122又sin()sin ， ，cos( )21114cos cos()cos()cos sin( )sin 14 7 14 7 98 2.1 1tan（）tan 2 7 1(3)tan tan() 0，1tan（）tan 2 70 .又tan 22tan 1tan 12 11 0，2 4023 1 tan 2tan 4 7，tan(2 ) 1. 2 3 11 tan 1 37 2 4答案 (1)7 1(2)(3)3 3探究提高(1)給值求值問題的關鍵在 “變角”，通過角之間的聯(lián)系尋找轉化方法；(2)給值求角問題：先求角的某一三

9、角函數(shù)值，再求角的范圍確定角.1【訓練 2】 (1)(2015 江蘇卷)已知 tan 2，tan() ，則 tan 的值為 _.5 10(2)已知 sin ，sin() ， 均為銳角，則角 等于_.解析 (1)tan 2，tan()tan tan 1tan tan 2tan 12tan ，解得 tan 73.(2)， 均為銳角， .又 sin()1010，cos ，1055 5 10 544 3 45 5135 5555 55131365652 2 222225 63 10 5 2 5cos() .又 sin sin sin()sin cos() cos sin()5 3 10 2 5 10

10、2 . 10 2 .答案 (1)3 (2)(3)(2018 浙江卷)已知角 的頂點與原點 o 重合，始邊與 x 軸的非負半軸重合， 它的終邊過點 p ， . 求 sin()的值；5若角 滿足 sin() ，求 cos 的值. 3 4 4 4解 由角 的終邊過點 p ， 得sin ，所以 sin()sin . 3 4 3由角 的終邊過點 p ， 得cos ， 5 12由 sin() 得 cos() .由 ( ) 得 cos cos()cos()cos sin( )sin ，56 16所以 cos 或 cos .熱點三 三角恒等變換的應用【例 3】 (2018 蘇州期末)已知函數(shù) f(x)( 3c

11、os xsin x) 2 3sin 2x.(1) 求函數(shù) f(x)的最小值，并寫出 f(x)取得最小值時自變量 x 的取值集合；(2) 若 x ， ，求函數(shù) f(x)的單調遞增區(qū)間. 解 (1)因為 f(x)3cos x2 3cos xsin xsin x2 3sin 2x3 1 (1cos 2x) 3sin 2x (1cos 2x)2 3sin 2x 3sin 2xcos 2x22sin2x 2. 362 5 112 26 6666 2 26 6 2 6 3 2 2 6 3 22 2 23 4 42 3322 2 3223 2121223 21212 4 412 44 12所以函數(shù) f(x)

12、的最小值是 0，5 3 此時 2x 2k ，kz，即 x 的取值集合為xxk ，kz. (2)當 x ， 時，2x ， ， 5 3 5 11 令 2x 或 2x ，得 x 或 x . 所以 f(x)的單調遞增區(qū)間是 ， 和， . 探究提高 三角恒等變換的應用策略(1) 進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數(shù)名稱、變結構，尤其是角之間的關 系；注意公式的逆用和變形用.(2) 把形如 yasin xbcos x 化為 y a b sin(x)，可進一步研究函數(shù)的周期、 單調性、最值與對稱性等性質.【訓練 3】 已知函數(shù) f(x)4tan xsinxcosx 3. (1) 求 f(x)的定義域與最小正

13、周期；(2) 討論 f(x)在區(qū)間 ， 上的單調性. 解 (1)f(x)的定義域為xx k，kz. f(x)4tan xcos xcosx 34sin xcosx 3 1 3 4sin xcos x sin x 32sin xcos x2 3sin x 3 sin 2x 3(1cos 2x) 3sin 2x 3cos 2x2sin2x . 所以 f(x)的最小正周期 t2. 5(2)由 2k2x 2k，kz，得 kx k，kz. 3 5 11由 2k2x 2k，kz，得 kx k，kz. 所以當 x ， 時，f(x)在區(qū)間 ， 上單調遞增，在區(qū)間 ， 上 單調遞減.2 2222222 2 21

14、 cos 2x1.對于三角函數(shù)的求值，需關注：(1)尋求角與角關系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應用公式； (2)注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用；(3)對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，對 于很難入手的問題，可利用分析法.2.對于三角恒等變換的應用問題，可以運用化歸思想和整體代換思想解決問題 . 討論形如 yasin xbcos x 函數(shù)的性質，可先化為 y a b sin(x)型的 函數(shù).一、填空題tan 12 31.計算：（4cos 122）sin 12_.解析 原式sin 12 3cos 12 2sin（1260） 2

15、sin 48 4.2sin 12cos 12cos 24 1 1sin 48 sin 48答案 42.(2018 全國 卷改編 ) 已知函數(shù) f(x) 2cos x sin x 2 ，則 f(x) 的最大值為 _.解析 易知 f(x)2cos xsin x23cos x13cos 2x1 3 5 2 2 2，當 xk(kz )時，f(x)取得最大值，最大值為 4.答案 43.(2018 南京、鹽城模擬)已知銳角 ， 滿足(tan 1)(tan 1)2，則 的 值為_.解析 因為(tan 1)(tan 1)2，所以 tan tan (tan tan )12，即tan tan 1tan tan 1

16、，所以 tan() 1.又 ， 為銳角，所以 (0，)，即 34.sin 1623 5 14 54 ，所以 ，4 55 541tan tan4 4 ，所以 tan tan 44 4 55 5 tan41 tan15答案3 34.(2017 蘇、錫、常、鎮(zhèn)調研)已知 是第二象限角，且 sin 310，tan()2，則 tan _.解析 由 是第二象限角，且 sin 310，則 cos 1sin2110，23則 tan 3，所以 tan tan() cos 17.答案175.(2018 常州期末)滿足等式 cos 2x13cos x(x0，)的 x 的值為_.解析 由題意可得，2cosx3cos

17、x20，解得 cos x12或 cos x2(舍去).又2x0，故 x .答案2 26.(2018 全國卷)已知 tan ，則 tan _. 解析 法一5tan tan 5 1 1 因為 tan 1tan tantan 1 1 3 即 ，解得 tan 5 2. 5 5 tan 5 1 5 5 法二 因為 tan 415 3 1 21 1.答案32 4 6 512 ， ，sin66 3 56 6sin 12 6cos 2664 2166 2 6633 2 cos cos sin 636631， ，233 2323 ，sin 2sin33 2 3cos33 42 47.(2012 江蘇卷)設 為銳

18、角，若 cos ，則 sin2 的值為_. 4 2解析 為銳角且 cos 3 5.sin2 2 sin 2 4 cos sin 4 2sin 2 cos 2cos 23545 222452112252750217502.答案17 250 1 8.(2016 蘇北四市模擬)已知 coscos ， ，則 sin 2 4 _. 1 解析 cos sin2 2 ，4即 sin 1 4 2 . ， ， 3 cos2 2 sin答案 1 2 cos 2 sin . 3 3 212二、解答題9.已知 tan 2.(1)求 tan 的值； (2)求sin 2sin sin cos cos 21的值.解 (1)tan tan tan1tan tan4421 1213.22 3321 1 3 162 2 22 1 5 6 3 36326 2 3371427722727(2)sin2sin 2sin cos cos 21 sin22sin cos sin cos 2cos22tan 22 1.tan tan 2 4