歷年自主招生試題分類匯編計數(shù)原理

1、歷年自主招生試題分類匯編計數(shù)原理2. （ 2014 年北約） 將 10 個人分成 3 組 ,一組 4 人 ,兩組各 3 人 ,有多少種分法 .C103 C73C44【解】由題知所有分組方法有NA222100種 .2（ 2013 年北約） 在 66 的棋盤中停放著3 個紅色車和3 個黑色車，每一行、每一列都只有一個車，共有多少種停放方法？A720B 20C 518400D 14400解析先排3 個紅色車，從6 行中任取3 行，有C6320 種取法；在選定的3 行中第一行有6 種停法， 第一行選定后第二行有5 種停法，第二行選定后第三行有4 種停法；紅車放定后，黑車只有6 種停法故停放方法共206

2、54614400 種故選D1. （ 2013 年華約） 集合A x | x10, xN , B 為A 的子集 ,若集合B 中元素 滿足以下條件:任意數(shù)字都不相等;任意兩個數(shù)之和不為9(1) B 中兩位數(shù)有多少？三位數(shù)有多少？(2) B 中是否有五位數(shù)？六位數(shù)？(3) 若將集合 B 的元素按從小到大的順序排列,第 1081 個數(shù)為多少？【解】將 0,1,2, ,9這 10 個數(shù)字按照和為9 進(jìn)行配對 , 考慮 (0,9),(1,8),(2,7),(3,6),(4,5), B 中元素的每個數(shù)位只能從上面五對數(shù)中每對至多取一個數(shù)構(gòu)成.(1) 兩位數(shù)有 C5222A22C41272個;三位數(shù)有 C53

3、23A33C42 22A22432個 ;(2) 存在五位數(shù) ,只需從上述五個數(shù)對中每對取一個數(shù)即可構(gòu)成符合條件的五位數(shù);不存在六位數(shù) ,由抽屜原理易知 ,若存在 ,則至少要從一個數(shù)對中取出兩個數(shù),則該兩個數(shù)字之和為9,與B 中任意一個元素的任意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于矛盾,因此不存在六位數(shù) ;(3) 四位數(shù)共有C5424A44C4323A33 1728個 ,因此第 1081個元素是四位數(shù),且是第577 個四位數(shù) ,我們考慮千位 ,千位為 1,2,3的四位數(shù)有 3C4323A33576個 ,因此第 1081個元素是 4012.（2）（ 2012 年華約） 紅藍(lán)兩色車、馬、炮棋子各一枚，將這6 枚

4、棋子排成一列，其中每對同字的棋子中，均為紅棋子在前，藍(lán)棋子在后，滿足這種條件的不同的排列方式共有（）(A) 36 種(B) 60 種(C) 90 種(D)120 種解：從 6 個位置中，先給兩個車選位置，有C6215 種方法，由于總是紅棋子在前，藍(lán)棋子15 種排法；繼續(xù)排馬，有26 種，剩下兩個位在后，所以只有一種排法，因此車總共有C4置自然是炮，因此總共有90 種排法，選 C。610(1,2,10)1010（10）（ 2012 年華約） 已知xiixi50，當(dāng)2 取得最大值時，xii 1i1在 x1 , x2 , x10這十個數(shù)中等于6 的數(shù)共有（）(A)1 個(B)2 個(C)3 個(D)

5、4個解：首先要求平方和最大，-xi我們希望有較多的1010，但是的個數(shù)不能1070，這樣剩余的三個數(shù)最多能加到，不能滿足和為50，太多， 如果有 7 個 ，那么和為50但如果有 6個 10，剩余 4個數(shù)做和可以等于-10，從而滿足做和為，這樣，我們得到應(yīng)該有6個 10，另一方面，剩余 4個數(shù)字做和為 -10，可取 3個 - 6， 1個 8，不難驗(yàn)證，這種組合平方和最大。選 C.9（ 2010 年華約） 欲將正六邊形的各邊和各條對角線都染為n 種顏色之一，使得以正六邊形的任何3 個頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形有3 種不同顏色的邊， 并且不同的三角形使用不同的3色組合，則 n 的最小值為（B ）（ A）6（B） 7（ C）8（D）91、（ 2013年卓越聯(lián)盟） 如圖，在 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五個區(qū)域中栽