線性代數(shù)電子教案：3.6 歐氏空間

1、,3.6 歐氏(Euclidean)空間,前面主要介紹了向量的線性運(yùn)算，向量組的線性相關(guān) 與線性無(wú)關(guān)性，并討論了向量空間中的基、維數(shù)以及向量 的坐標(biāo)等概念。,但在向量空間中還沒(méi)有涉及度量性質(zhì)，即還沒(méi)有考慮 向量空間中的向量的大小、向量間的夾角等問(wèn)題。,本節(jié)將在向量空間中引入內(nèi)積的概念，并賦予相應(yīng)的 度量性質(zhì)。,一、基本概念,一、基本概念,1. 內(nèi)積與歐氏空間,在幾何空間中兩個(gè)向量 a, b 的內(nèi)積 (數(shù)量積)定義為：,相應(yīng)地，內(nèi)積的計(jì)算公式為,是向量 a, b 的夾角。,在建立空間直角坐標(biāo)系后，有了向量的坐標(biāo)表示，,下面仿照該計(jì)算公式，在空間 中引入內(nèi)積的概念。,即,定義,(1) 設(shè) n 維實(shí)

2、向量,的內(nèi)積，,記作,一、基本概念,1. 內(nèi)積與歐氏空間,(2) 稱定義了內(nèi)積的向量空間 R n 為歐幾里德(Euclidean),空間，簡(jiǎn)稱歐氏空間 R n .,1. 內(nèi)積與歐氏空間,(2) 線性性,(1) 對(duì)稱性,由正定性可以引出向量長(zhǎng)度的概念。,性質(zhì),(3) 正定性,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，有,一、基本概念,定義,稱 為 a 的,對(duì)于 n 維實(shí)向量,記為 |a | .,長(zhǎng)度 (或模)，,1. 內(nèi)積與歐氏空間,2. 向量的長(zhǎng)度(或模),非零向量的單位化或標(biāo)準(zhǔn)化,若 稱 a 為單位向量 .,一、基本概念,1. 內(nèi)積與歐氏空間,2. 向量的長(zhǎng)度(或模),(2) 齊次性,(3) 三角不等式,性質(zhì),(4)

3、柯西-許瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式,即,一、基本概念,因此其判別式滿足,即,由 Cauchy-Schwarz 不等式可以引出向量夾角的概念。,稱為 a 與 b 的夾角。,定義,設(shè) 若,此時(shí)有,1. 內(nèi)積與歐氏空間,2. 向量的長(zhǎng)度(或模),3. 向量的夾角,由向量的夾角可以引出向量正交(或垂直)的概念。,則,一、基本概念,定義,則稱 a 與 b 正交 (或垂直)，,記作,若,1. 內(nèi)積與歐氏空間,2. 向量的長(zhǎng)度(或模),3. 向量的夾角,4. 向量的正交,若 則有,一、基本概念,結(jié)論,(3) 對(duì)于非零向量 a 和 b ，,a 與 b 的夾角為,(2),1. 內(nèi)積與歐氏空間,2

4、. 向量的長(zhǎng)度(或模),3. 向量的夾角,4. 向量的正交,一、基本概念,有,(2) 由,有,附：內(nèi)積的一般定義及其在函數(shù)空間中的推廣,一組兩兩正交的向量稱為正交向量組。,定義,由單位向量組成的正交向量組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。,說(shuō)明,二、正交向量組,則 線性無(wú)關(guān)。,對(duì)其兩端與 作內(nèi)積可得,定理,若 是一組兩兩正交的非零向量，,這表明 線性無(wú)關(guān)。,所以,二、正交向量組,定義,(1) 設(shè) 是向量空間 的一組基，,則稱這組,正交基為向量空間 V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 .,三、標(biāo)準(zhǔn)正交基,的一組正交基 ；,則它們是向量空間 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基 .,是 中一組典型的標(biāo)準(zhǔn)正交基。,是 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；,例如,(

5、1),(2),三、標(biāo)準(zhǔn)正交基,對(duì)于 V 中的任一向量 a ，,有,即,將上式兩端與 作內(nèi)積，有,從而有,優(yōu)點(diǎn),設(shè) 是向量空間 V 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，,三、標(biāo)準(zhǔn)正交基,從而可以解出,注 顯然有,即,令,得,則 0 ，且 與 正交。,四、施密特(Schmidt)正交化方法,已知向量空間 V 中的一組向量 是線性,使得,問(wèn)題,(標(biāo)準(zhǔn))正交化問(wèn)題：,求一組 (標(biāo)準(zhǔn)) 正交的向量,向量組 與 等價(jià)，,無(wú)關(guān)的，,進(jìn)行(標(biāo)準(zhǔn))正交化的一個(gè)重要目的是得到(標(biāo)準(zhǔn))正交基,即,(1) 設(shè) 是向量空間 V 中 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，,方法,令,四、施密特(Schmidt)正交化方法,(2) 進(jìn)一步令,方法,四、施密

6、特(Schmidt)正交化方法,上述由線性無(wú)關(guān)向量組 導(dǎo)出正交化向量組,的方法稱為施密特(Schmidt)正交化方法，,不僅滿足 與 等價(jià)，,還滿足：,其中,說(shuō)明,單位化，,則 為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。,(2) 將,上述標(biāo)準(zhǔn)正交化方法是先正交化再單位化，,還可以將正交化與單位化同時(shí)進(jìn)行。,即令,令,四、施密特(Schmidt)正交化方法,附：內(nèi)積的一般定義及其在函數(shù)空間中的推廣,1. 內(nèi)積的一般定義,則稱數(shù) 為向量 a 和 b 的內(nèi)積。,(2) 線性性,(1) 對(duì)稱性,還可定義其“內(nèi)積”為,滿足,附：內(nèi)積的一般定義及其在函數(shù)空間中的推廣,1. 內(nèi)積的一般定義,則有如下定義：,2. 推廣到函數(shù)空間,(1) 稱 為 和 的內(nèi)積；,(2) 稱 為 的模；,(3) 若 稱 和 正交，記為,附：內(nèi)積的一般定