同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式_第1頁
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文檔簡介

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 式及誘導(dǎo)公式,回歸課本,1.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式 平方關(guān)系:sin2+cos2=1; 商數(shù)關(guān)系:tan=,2.相關(guān)角的表示 (1)終邊與角的終邊關(guān)于原點對稱的角可以表示為+; (2)終邊與角的終邊關(guān)于x軸對稱的角可以表示為-(或2-); (3)終邊與角的終邊關(guān)于y軸對稱的角可以表示為-; (4)終邊與角的終邊關(guān)于直線y=x對稱的角可以表示為 -.,3.誘導(dǎo)公式 (1)公式一 sin(+k2)=sin,cos(+k2)=cos,tan(+k2)=tan,其中kZ. (2)公式二 sin(+)=-sin,cos(+)=-cos, tan(+)=tan.,(3)公式三 si

2、n(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan. (4)公式四 sin(-)=sin,cos(-)=-cos, tan(-)=-tan.,(5)公式五,(6)公式六,即+k2(kZ),-,的三角函數(shù)值,等于的同名函數(shù)值,前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號; 的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.,總口訣為:奇變偶不變,符號看象限,其中“奇偶”是指“k (kZ)”中k的奇偶性;“符號”是把任意角看作銳角時原函數(shù)值的符號.,考點陪練,1.(2010全國)cos300=( ) 解析:cos300=cos(360-60)=co

3、s60= ,故選C. 答案:C,答案:A,答案:B,4.點P(tan2008,cos2008)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:2008=6360-152, tan2008=-tan152=tan280, cos2008=cos1520,點P在第四象限. 答案:C,答案:B,類型一 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求值 解題準(zhǔn)備:本考點的試題難度不大,而對公式的應(yīng)用要求準(zhǔn)確靈活,尤其是利用平方關(guān)系sin2+cos2=1及其變形形式sin2=1-cos2或cos2=1-sin2進(jìn)行開方運算時,特別注意符號的判斷.如果所給的三角函數(shù)值是字母給出的,且沒有指定角

4、在哪個象限,那么就需要結(jié)合分類討論的思想來確定其他角的三角函數(shù)值.,【典例1】 (1)已知sin= ,且為第二象限角,求tan; (2)已知sin= ,求tan; (3)已知sin=m(m0,m1),求tan.,(3)sin=m(m0,m1), cos= = (當(dāng)為第一四象限角時取正號,當(dāng)為第二三象限角時取負(fù)號), 所以當(dāng)為第一四象限角時,tan= ; 當(dāng)為第二三象限角時,tan=,反思感悟 本例屬同角三角函數(shù)關(guān)系式的基本題,關(guān)鍵是掌握住“先平方,后作商”的原則,先求與sin的平方關(guān)系相聯(lián)系的cos,再由公式求tan.在(3)中,為第四象限角,但tan= ,原因是m此時小于0,所以形式上tan

5、的表達(dá)式前面仍不帶負(fù)號.,類型二誘導(dǎo)公式及其應(yīng)用 解題準(zhǔn)備:誘導(dǎo)公式起著變名變角變號的作用,應(yīng)用誘導(dǎo)公式,著眼點應(yīng)放在“角”上,重點是“函數(shù)名稱”和“正負(fù)號”的判斷.求任意角的三角函數(shù)值問題,都可以利用誘導(dǎo)公式最終化為銳角三角函數(shù)的求值問題,具體步驟是:“化負(fù)為正化大為小銳角求值”.,分析 顯然應(yīng)用到誘導(dǎo)公式,既可以直接從誘導(dǎo)公式中合理選用,也可以直接運用十字訣,一般來說用后一方法記憶負(fù)擔(dān)較輕.,(3)-1860=-2190+30, f(-1860)=-cos(-1860) =-cos(-2190+30) =-sin30= .,反思感悟 如何運用十字訣,可通過下例來體會:設(shè)=- 且為銳角,則如

6、圖所示,可知可看成是第二象限角,而在第二象限中余弦取負(fù)號,且k=-3為奇數(shù). cos=cos(-3 +)=-sin.,類型三sincos與sincos關(guān)系的應(yīng)用 解題準(zhǔn)備:利用sin2+cos2=1,可以得出如下結(jié)論: (sin+cos)2=1+2sincos; (sin-cos)2=1-2sincos; (sin+cos)2+(sin-cos)2=2; (sin+cos)2-(sin-cos)2=4sincos. 對于sin+cos,sincos,sin-cos這三個式子,已知其中一個式子的值,可求其余二式的值.,【典例3】 已知sinx+cosx= ,求下列各式的值: (1)sin3x+c

7、os3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.,反思感悟 平方關(guān)系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx聯(lián)系起來,要靈活運用它們之間的變換,熟記立方和公式及和的立方公式.,類型四 關(guān)于sin與cos的二次齊次式的求值問題 解題準(zhǔn)備:這類已知某個三角函數(shù)值,求其余三角函數(shù)值的問題的常規(guī)思路是:利用同角間的三角函數(shù)關(guān)系,求出其余三角函數(shù)值,這就需要根據(jù)m的取值符號,確定角所在的象限,再對它進(jìn)行討論.這樣計算相當(dāng)繁瑣,而在這里靈活地運用“1”的代換,將所求值的式子的分子分母同除以cosn,用tann表示出來,從而簡化了解題過程,我們應(yīng)熟練掌握這種解法

8、.更主要的是由此進(jìn)一步領(lǐng)悟具體問題具體分析的辯證思想方法.,反思感悟 形如asin+bcos和asin2+bsincos+ccos2的式子分別稱為關(guān)于sincos的一次齊次式和二次齊次式,對涉及它們的三角式的變換常有如上的整體代入方法可供使用.,錯源一 忽視隱含的平方關(guān)系,擴大解的范圍而致錯,A.m3,9 B.m(-,5)3,+) C.m=0,或m=8 D.m=8,錯解 由已知有 解得m-5或m3,選B. 剖析 條件給出了含有參數(shù)的正余弦的函數(shù)值,而參數(shù)值要受到正余弦的平方關(guān)系“sin2+cos2=1”的限制,而上述解法就忽視了這個制約關(guān)系,以致擴大了解的范圍而錯.,答案 D,評析 如果在題設(shè)

9、條件中出現(xiàn)了正余弦,則要注意利用它們之間的平方關(guān)系.,錯源二忽視角的范圍,造成多解而致錯,評析 解答關(guān)于含有“sincos,sincos”的問題時,一般都要利用平方關(guān)系sin2+cos2=1,但必須注意對所求得的結(jié)果進(jìn)行檢驗,否則會造成多解.,技法一整體換元 【典例1】 已知sin+3cos=2,求 的值.,技法二快速解法(求根法) 【典例2】 已知(0,),且sin,cos是方程25x2-5x-12=0的兩個根,求sin3+cos3和tan-cot的值.,解題切入點 由根與系數(shù)的關(guān)系入手,sin+cos= ,sincos= ,將sin3+cos3與tan-cot用sin+cos,sincos表示.,分析思維過程 欲求sin3+cos3的值需先分解因式,出現(xiàn)sin+cos和sincos的形式后,即可代入 和 求出值來.而tan-cot化為正弦、余弦之比后,同樣可求出值來.,方法與技巧 由題目的形式得知,很明確要利用根與系數(shù)的關(guān)系,將所求式表示成sin+cossincos的形式,求tan-cot時,必須化為“弦”,否則用不上已求得的值. 由于sin,cos是方程的根,一般地,很自然的想到根與系數(shù)的關(guān)系.其實此題直接求出兩根更簡單.,得分主要步驟 只要求出兩根的和與積,分解因

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