知識講解_命題及其關(guān)系_基礎(chǔ)

1、命題及其關(guān)系編稿：張希勇審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解命題、真命題、假命題的概念，能夠指出一個(gè)命題的條件和結(jié)論；2了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系，能判斷四種命題的真假；3能熟練判斷命題的真假性.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、命題的概念用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題 . 其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題 .要點(diǎn)詮釋：1.不是任何語句都是命題，不能確定真假的語句不是命題，如“x2 ”，“ 2 不一定大于 3”.2. 只有能夠判斷真假的陳述句才是命題 . 祈使句，疑問句，感嘆句都不是命題，例如：“起立”、“ 是有理數(shù)嗎？” 、“今天天氣真

2、好！ ”等 .3.語句能否確定真假是判斷其是否是命題的關(guān)鍵. 一個(gè)命題要么是真，要么是假， 不能既真又假，模棱兩可. 命題陳述了我們所思考的對象具有某種屬性，或者不具有某種屬性，這類似于集合中元素的確定性.要點(diǎn)二、命題的結(jié)構(gòu)命題可以改寫成“若p ，則 q ”的形式，或“如果p ，那么 q ”的形式 . 其中 p 是命題的條件， q 是命題的結(jié)論 .要點(diǎn)詮釋：1.一般地，命題“若p 則 q”中的 p 為命題的條件 q 為命題的結(jié)論 .2.有些問題中需要明確指出條件p 和 q 各是什么，因此需要將命題改寫為“若p 則 q”的形式 .要點(diǎn)三、四種命題原命題：“若 p ，則 q ”；逆命題：“若 q

3、，則 p ”；實(shí)質(zhì)是將原命題的條件和結(jié)論互相交換位置；否命題：“若非 p ，則非 q ”，或“若p ，則q ”；實(shí)質(zhì)是將原命題的條件和結(jié)論兩者分別否定；逆否命題： “若非 q ，則非 p ”，或“若q ，則p ”；實(shí)質(zhì)是將原命題的條件和結(jié)論兩者分別否定后再換位或?qū)⒃}的條件和結(jié)論換位后再分別否定.要點(diǎn)詮釋：對于一般的數(shù)學(xué)命題，要先將其改寫為“若p ，則 q ”的形式，然后才方便寫出其他形式的命題 .要點(diǎn)四、四種命題之間的關(guān)系四種命題之間的構(gòu)成關(guān)系原命題互 逆逆命題若q則p若 p則 q互否為逆互互否為逆否否互否命題逆否命題若p則 q互 逆若 q則 p四種命題之間的真值關(guān)系原命題逆命題否命題逆否

4、命題真真真真真假假真假真真假假假假假要點(diǎn)詮釋：（ 1）互為逆否命題的兩個(gè)命題同真同假；（ 2）互為逆命題或互為否命題的兩個(gè)命題的真假無必然聯(lián)系.【典型例題】類型一：命題的概念例 1.判斷下列語句中哪些是命題，是命題的判斷其是真命題還是假命題.（ 1）末位是 0 的整數(shù)能被 5 整除；（ 2）平行四邊形的對角線相等且互相平分；（ 3）兩直線平行，則斜率相等；（ 4） ABC 中，若 A= B，則 sinA=sinB ；（ 5）余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎？【思路點(diǎn)撥】依據(jù)命題的定義判斷。【解析】（ 1）是命題，真命題；（ 2）是命題，假命題；（ 3）是命題，假命題；（ 4）是命題，真命題；（ 5）不是命

5、題 .這是一個(gè)疑問句，沒有做出判斷.【總結(jié)升華】 對于命題真假的判斷應(yīng)根據(jù)已學(xué)習(xí)過的已有定義、定理、 公理及已有結(jié)論等進(jìn)行 .舉一反三：【變式 1】判斷下列語句是否為命題？若是，判斷其真假.(1) x 1；(2)當(dāng) x0 時(shí) ,x1 ；(3) 你是男生嗎？(4) 求證： 是無理數(shù) .【答案】(1) 不是命題；由于無法確定變量 x 的值，所以無法確定其真假(2) 是命題；假命題(3) 不是命題；這是一個(gè)疑問句，沒有做出判斷(4) 不是命題；這是一個(gè)祈使句，沒有做出判斷【變式2】下列語句中是命題的是（）A | xa |B 0NC元素與集合D真子集【答案】 B【變式 3】判斷下列語句是否是命題.（

6、1）這是一棵大樹；（ 2） sin30 = 1 ；2（ 3） x2+10；（ 4）梯形是平行四邊形 .【答案】（ 1）不是，無法確定“大”；（ 2）是；（ 3）是；（ 4）是 .類型二：命題的結(jié)構(gòu)例 2. 指出下面命題的條件和結(jié)論.（ 1）對頂角相等；（ 2）四邊相等的四邊形是菱形.【思路點(diǎn)撥】命題都是一定的條件下推出的一定的結(jié)果，所以據(jù)此確定哪是條件，哪是結(jié)論?！窘馕觥浚?1）原命題寫成：若兩個(gè)角是對頂角，則這兩個(gè)角相等. 條件：兩個(gè)角是對頂角；結(jié)論：這兩個(gè)角相等.（ 2）原命題可寫成： 如果一個(gè)四邊形的四邊相等， 則這個(gè)四邊形是菱形 . 條件：一個(gè)四邊形的四邊相等；結(jié)論：這個(gè)四邊形是菱形.

7、【總結(jié)升華】要寫出一個(gè)命題的條件和結(jié)論，一般是把一個(gè)命題改寫成“如果 p，那么q”的形式，其中 p 是條件， q 是結(jié)論 .舉一反三：【變式】指出下列命題的條件p 和結(jié)論 q.（ 1）若空間四邊形為正四面體，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心；（ 2）若兩條直線 a 和 b 都和直線 c 平行，則直線 a 和直線 b 平行 .【答案】（ 1）條件 p：空間四邊形為正四面體；結(jié)論q：頂點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心.（ 2）條件 p：兩直線a、 b 都和直線c 平行；結(jié)論q：直線 a 和 b 平行 .【高清課堂：命題及其關(guān)系394803 例 3】例 3. 將下列命題改寫為“若 p，則 q”的形式，并

8、判斷其真假 .（ 1）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；（ 2）對角線相等的平面四邊形是矩形.【解析】（ 1）“若兩個(gè)平面垂直于同一條直線，則這兩個(gè)平面平行”，真命題 .（ 2）“若一個(gè)平面四邊形的兩條對角線相等，則這個(gè)四邊形是矩形”，假命題 .【總結(jié)升華】有一些命題雖然表面上不是“若p，則 q”的形式，但適當(dāng)?shù)母膶懞罂梢詫懗伞叭魀，則 q”的形式，那么就能很清楚地看出其條件和結(jié)論.舉一反三： “【變式 1】把命題“ 6 是 12 和 24 的公約數(shù)”寫成若p 則 q 的形式 .【答案】若一個(gè)數(shù)等于6，則這個(gè)數(shù)是12 和 24 的公約數(shù) .【變式 2】將下列命題改寫成“若p 則 q”的形式，

9、并判斷真假.（ 1）偶數(shù)能被 2 整除；（ 2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；（ 3）同弧所對的圓周角不相等 .【答案】（ 1）若一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則它能被2 整除；真命題.（ 2）若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；真命題.（ 3）若兩個(gè)角為同弧所對的圓周角，則它們不相等；假命題.類型三：命題的四種形式【高清課堂：命題及其關(guān)系394803 例 5】例 4.寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷四種命題的真假.（ 1）若ab0 ，則a 2b20 ；（ 2）若x1 ，則x23x20 ；（ 3）若一個(gè)三角形有兩條邊相等，則這個(gè)三角形有兩個(gè)角相等【思路點(diǎn)撥】由原命題寫出逆命題，否命題和逆否命

10、題時(shí)注意規(guī)律：交換原命題的條件和結(jié)論. 所得命題就是逆命題.同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論所得命題就是否命題.交換原命題的條件和結(jié)論并且同時(shí)否定. 所得命題就是逆否命題.【解析】（ 1）原命題：若 ab0，則 a2b20；假命題逆命題：若 a2b20 ，則 ab0；真命題否命題：若 ab0 ，則 a2b20 ；真命題逆否命題：若 a2b20 ，則 ab0.假命題（ 2）原命題：若 x1，則 x23x20 ；真命題逆命題：若 x23x2 0，則 x1 ；假命題否命題：若 x1，則 x23x20 ；假命題逆否命題：若 x23x20 ，則 x1 .真命題（ 3）原命題：若一個(gè)三角形有兩條邊相等，則這個(gè)三

11、角形有兩個(gè)角相等；真命題逆命題：若一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，則這個(gè)三角形有兩條邊相等；真命題否命題：若一個(gè)三角形沒有兩條邊相等，則這個(gè)三角形沒有兩個(gè)角相等；真命題逆否命題：若一個(gè)三角形沒有兩個(gè)角相等，則這個(gè)三角形沒有兩條邊相等.真命題【總結(jié)升華】一般地，先將命題改寫成“若 ，則 ”的形式，再寫出其他命題形式；某些命題存在大前提，寫其它命題時(shí)應(yīng)注意保留.互為逆否命題的兩個(gè)命題是等價(jià)的，同為真或同為假，因此在判定真假時(shí)，只需判定二者中的一個(gè)舉一反三：【變式 1】原命題為 “若 an an 1an ， nN ，則 a n 為遞減數(shù)列 ”，關(guān)于其逆命題，否2命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(

12、)A 真、真、真B 假 、假、真C 真、真、假D假、假、假【答案】anan 1an ?， a n 為遞減數(shù)列，命題是真命題；an 1an， nN2其否命題是：若anan 1 an， nN ，則 a n 不是遞減數(shù)列，是真命題；2又命題與其逆否命題同真同假，命題的否命題與逆命題是互為逆否命題，命題的逆命題，逆否命題都是真命題故選： A【變式 2】寫出下列的命題的逆命題，否命題和逆否命題，并判斷它們的真假.（ 1）對頂角相等；（ 2）空集 A 是非空集合 B 的真子集；【答案】（ 1）原命題：如果兩角是對頂角，那么這兩角相等（真命題）；逆命題：如果兩角相等，那么兩角是對頂角（假命題）；否命題：如果

13、兩角不是對頂角，那么這兩角不相等（假命題）；逆否命題：如果兩角不相等，那么這兩角不是對頂角（真命題）.（ 2）原命題：若 A 是空集，則 A 是非空集合 B 的真子集（真命題） ；逆命題：若 A 是非空集合 B 的真子集，則 A是空集（假命題） ；否命題：若A 不是空集，則A 不是非空集合B 的真子集（假命題） ；逆否命題：若A 不是非空集合B 的真子集，則A 不是空集（真命題）.【變式 3】（ 2016吉林校級一模）給出下列四命題，其中真命題有_?！叭?xy=1 ，則 x， y 互為倒數(shù)”的逆命題；“面積相等的三角形全等”的否命題；“若 m 1，則 x22x+m=0 有實(shí)數(shù)解”的逆否命題；“

14、若事件A 發(fā)生的概率為0，則事件 A 是不可能事件”的逆否命題?！敬鸢浮康哪婷}為“若 x， y 互為倒數(shù)，則 xy=1 ”，是真命題；逆命題“全等三角形的面積相等”為真命題，故否命題是真命題；是真命題，所以它的逆否命題也是真命題；是假命題， 因?yàn)樵趲缀胃判椭须S機(jī)事件的概率可是0，所以它的逆否命題也是假命題。故答案為：。例 5 設(shè)命題 :若 m0 ，則關(guān)于 x 的方程 x2xm0 有實(shí)數(shù)根試寫出它的逆命題，否命題和逆否命題，并分別判斷其真假【思路點(diǎn)撥】判斷原命題，逆命題，否命題，逆否命題的真假時(shí)，只要判斷原命題與逆命題的真假，就可知道其它兩個(gè)命題的真假，不必一一判斷.【解析】逆命題：若關(guān)于x

15、的方程 x2x m 0 有實(shí)數(shù)根，則 m 0.否命題：若 m0 , 則關(guān)于 x 的方程 x2xm 0 無實(shí)數(shù)根逆否命題：若關(guān)于x 的方程 x2x m0無實(shí)數(shù)根，則 m0 .先判斷原命題和逆否命題的真假.14m , 當(dāng) m1時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根4當(dāng) m0 時(shí)， m1成立， 方程有實(shí)數(shù)根，原命題為真，逆否命題也為真4判斷逆命題和否命題的真假當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根，即m1m 0 ，逆命題為假，否命題也為假時(shí)，推不出4【總結(jié)升華】 先將命題中的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化， 然后關(guān)于不等式的集合的命題可以借助于集合的韋恩圖解決 .舉一反三：【變式 1】試寫出下列命題的逆命題，否命題和逆否命題，并分別判斷其真假（ 1）當(dāng)集合 A1

16、,2,3,5,6 ， B 1,2,5 時(shí)，若 x A，則 x B .（ 2）若 x 3 ，則 x2 ， （ 3）若 x26x5 0 ，則 x 5【答案】（ 1）原命題：當(dāng)集合A1,2,3,5,6， B1,2,5時(shí)，若 xA，則 xB （假命題）；逆命題：當(dāng)集合A1,2,3,5,6， B1,2,5時(shí)，若 xB ，則 xA（真命題）；否命題：當(dāng)集合A1,2,3,5,6， B1,2,5時(shí)，若 xA，則 xB （真命題）；逆否命題：當(dāng)集合A1,2,3,5,6 ， B 1,2,5 時(shí)，若 xB ，則 xA（假命題） .（ 2）原命題：若 x3，則 x2 （真命題）；逆命題：若 x2 ，則 x3 （假命題

17、）；否命題：若 x3 ，則 x2 （假命題）；逆否命題：若 x2，則 x3 （真命題） .（ 3）原命題：若 x26x50 ，則 x5（假命題）；逆命題：若 x5，則 x26x 50 （真命題）；否命題：若 x26x50 ，則 x5（真命題）；逆否命題：若 x 5，則 x2 6 x5 0（假命題） .【變式 2】已知命題：“如果 | a |1 ，那么關(guān)于 x 的不等式 (a24) x2(a 2)x 10的解集是空集” ，寫出它的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷它們的真假.【答案】逆命題： 如果關(guān)于 x 的不等式 ( a24) x2(a2) x 10 的解集是空集， 那么 | a |1 ；否命題：如果 |a | 1 , 那么關(guān)于 x 的不等式 (a24) x2(