滬教版初中總復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練中考沖刺：數(shù)形結(jié)合問題--知識(shí)講解(提高)

1、精品文檔用心整理滬教版初中數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)梳理重點(diǎn)題型（常考知識(shí)點(diǎn)）鞏固練習(xí)中考沖刺：數(shù)形結(jié)合問題知識(shí)講解（提高）【中考展望】1.用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類:(1)利用幾何圖形的直觀性表示數(shù)的問題,它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；(2)運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題,常需要建立方程(組)或建立函數(shù)關(guān)系式等.2.熱點(diǎn)內(nèi)容：在初中教材中，數(shù)的常見表現(xiàn)形式為:實(shí)數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)和不等式等，而形的常見表現(xiàn)形式為:直線型、角、三角形、四邊形、多邊形、圓、拋物線、相似、勾股定理等.在直角坐標(biāo)系下，一次函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)著一條直線，二次函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)著一條拋物線，這些都是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.特別是二次函數(shù)，不僅

2、是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，同時(shí)也使數(shù)形結(jié)合的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中得到最充分體現(xiàn).在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等都與其系數(shù)a，b，c密不可分.事實(shí)上，數(shù)a決定拋物線的開口方向,b與a一起決定拋物線的對(duì)稱軸位置,c決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)位置，與a、b一起決定拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，拋物線的平移的圖形關(guān)系只是頂點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，其實(shí)從代數(shù)的角度看是b、c的大小變化.【方法點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合：就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題,它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面.利用它可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,抽象問題具體化,它兼有“數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)”與“形的直觀”之長,是

3、優(yōu)化解題過程的重要途徑之一,是一種基本的數(shù)學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合問題，也可以看作代數(shù)幾何綜合問題.從內(nèi)容上來說，是把代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，以及解直角三角形的方法、圖形的變換、相似等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，同時(shí)也會(huì)融入開放性、探究性等問題.經(jīng)?？疾榈念}目類型主要有坐標(biāo)系中的幾何問題(簡(jiǎn)稱坐標(biāo)幾何問題)，以及圖形運(yùn)動(dòng)過程中求函數(shù)解析式的問題等解決這類問題，第一，需要認(rèn)真審題，分析、挖掘題目的隱含條件，翻譯并轉(zhuǎn)化為顯性條件；第二，要善于將復(fù)雜問題分解為基本問題；第三，要善于聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步得到新的結(jié)論.尤其要注意的是，恰當(dāng)?shù)厥褂镁C合分析法及方程與函數(shù)的

4、思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，能更有效地解決問題【典型例題】類型一、利用數(shù)形結(jié)合探究數(shù)字的變化規(guī)律1.如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)四邊形都是菱形如果格點(diǎn)三角形abc的面積為s，按照如圖所示方式得到的格點(diǎn)三角形a1b1c1的面積是，格點(diǎn)三角形a2b2c2的面積是19s，那么格點(diǎn)三角形a3b3c3的面積為（）.a.39sb.36sc.37sd.43s【思路點(diǎn)撥】資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理設(shè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)小菱形的邊長為一個(gè)單位，由于abc的面積為s，則小菱形的面積為2s；從圖上觀察可知三角形a2b2c2三個(gè)頂點(diǎn)分別在邊長為3個(gè)單位的菱形的內(nèi)部，其中一頂點(diǎn)與菱形重合

5、，另兩頂點(diǎn)在與前一頂點(diǎn)不相連的兩邊上，三角形anbn三頂點(diǎn)分別在邊長為（2n+1）個(gè)單位的菱形的內(nèi)部，此菱形與三角形anbn不重合的部分為三個(gè)小三角形；由此得到關(guān)于三角形anbn面積公式，把n=3代入即可求出三角形a3b3c3的面積【答案】c.【解析】網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)小菱形的邊長為一個(gè)單位，由于abc的面積為s，則小菱形的面積為2s；從圖上觀察可知三角形a2b2c2三個(gè)頂點(diǎn)分別在邊長為3個(gè)單位的菱形的內(nèi)部，其中一頂點(diǎn)與菱形重合，另兩頂點(diǎn)在與前一頂點(diǎn)不相連的兩邊上，三角形anbn三頂點(diǎn)分別在邊長為2n+1個(gè)單位的菱形的內(nèi)部，此菱形與三角形anbn不重合的部分為三個(gè)小三角形；而三角形anbn面積=邊長為

6、2n+1個(gè)單位的菱形面積-三個(gè)小三角形面積=2s（2n+1）2-,=s（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=s（3n2+3n+1），把n=3分別代入上式得：s3=s（332+33+1）=37s故選c【總結(jié)升華】此題主要考查菱形的性質(zhì)，也考查了學(xué)生的讀圖能力以及探究問題的規(guī)律并有規(guī)律解決問題的能力舉一反三:【變式】（2016濰坊）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x1與x軸交于點(diǎn)a1，如圖所示依次作正方形a1b1c1o、正方形a2b2c2c1、正方形anbn1，使得點(diǎn)a1、a2、a3、在直線l上，點(diǎn)c1、c2、c3、在y軸正半軸上，則點(diǎn)bn的坐標(biāo)是【答【解案】（2n1，2

7、n1）析】解：y=x1與x軸交于點(diǎn)a1，a1點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），四邊形a1b1c1o是正方形，b1坐標(biāo)（1，1），c1a2x軸，a2坐標(biāo)（2，1），資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理四邊形a2b2c2c1是正方形，b2坐標(biāo)（2，3），c2a3x軸，a3坐標(biāo)（4，3），四邊形a3b3c3c2是正方形，b3（4，7），b1（20，211），b2（21，221），b3（22，231），bn坐標(biāo)（2n1，2n1）類型二、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)與式的問題2.已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|2-a|+的結(jié)果為_.【思路點(diǎn)撥】由數(shù)軸可知，0a2，由此去絕對(duì)值，對(duì)二次根式化簡(jiǎn)【答案與解析】解：

8、0a2，|2-a|+=2-a+a=2.故答案為：2【總結(jié)升華】本題考查了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)和二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置來判斷數(shù)a的取值范圍，根據(jù)取值范圍去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)二次根式類型三、利用數(shù)形結(jié)合解決代數(shù)式的恒等變形問題3.(1)在邊長為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個(gè)矩形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的乘法公式是_（用字母表示）（2）設(shè)直角三角形的直角邊分別是a，b，斜邊為c，將這樣的四個(gè)完全相同的直角三角形拼成正方形，驗(yàn)證等式a2+b2=c2成立?！舅悸伏c(diǎn)撥】(1)根據(jù)陰影部分的面積相等，即可得到公

9、式；(2)直角三角形的直角邊分別是a，b，斜邊為c，這樣的4個(gè)三角形，即可拼成正方形，據(jù)此即可得到【答案與解析】解：（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）驗(yàn)證：利用面積公式可得正方形的面積是：c2，正方形的面積是四個(gè)直角三角形的面積加上里面較小的正方形的面積，得到：4ab+（b-a）2=2ab+（a2-2ab+b2）=a2+b2，則a2+b2=c2【總結(jié)升華】本題主要考查了平方差公式的幾何表示，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理類型四、利用數(shù)形結(jié)合思想解決極值問題4.我們?cè)鴮W(xué)過“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，?？衫盟鼇斫鉀Q兩條線段和最小的相關(guān)

10、問題，下面是大家非常熟悉的一道習(xí)題：如圖1，已知，a，b在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點(diǎn)，使得pa+pb最小我們只要作點(diǎn)b關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)b，（如圖2所示）根據(jù)對(duì)稱性可知，pb=pb因此，求ap+bp最小就相當(dāng)于求ap+pb最小，顯然當(dāng)a、p、b在一條直線上時(shí)ap+pb最小，因此連接ab，與直線l的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)p有很多問題都可用類似的方法去思考解決探究：（1）如圖3，正方形abcd的邊長為2，e為bc的中點(diǎn)，p是bd上一動(dòng)點(diǎn)連接ep，cp，則ep+cp的最小值是_；運(yùn)用：（2）如圖4，平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)a（6，4）、b（4，6）、c（0，2），在x軸上找一點(diǎn)d，使得四邊形abcd的周長最

11、小，則點(diǎn)d的坐標(biāo)應(yīng)該是_.操作：（3）如圖5，a是銳角mon內(nèi)部任意一點(diǎn)，在mon的兩邊om，on上各求作一點(diǎn)b，組成abc，使abc周長最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）.【思路點(diǎn)撥】(1)由正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)a是點(diǎn)c關(guān)于bd的對(duì)稱點(diǎn)，連接ae，則ae就是ep+cp的最小值；(2)找點(diǎn)c關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)c，連接ac，則ac與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)d的位置，先求出直線ac的解析式，繼而可得出點(diǎn)d的坐標(biāo);(3)分別作點(diǎn)a關(guān)于om的對(duì)稱點(diǎn)a、關(guān)于on的對(duì)稱點(diǎn)a，連接aa，則aa與om交點(diǎn)為點(diǎn)b的位置，與on交點(diǎn)為c的位置【答案與解析】解：（1）點(diǎn)a是點(diǎn)c關(guān)于bd的對(duì)稱點(diǎn)，連接ae，則ae就是ep+cp的最小

12、值，ep+cp的最小值=ae=；（2）作點(diǎn)c關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)c，連接ac，則ac與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)d的位置，點(diǎn)c坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)a坐標(biāo)為（6，4），直線ca的解析式為：y=x-2，故點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2，0）；（3）分別作點(diǎn)a關(guān)于om的對(duì)稱點(diǎn)a、關(guān)于on的對(duì)稱點(diǎn)a，連接aa，則aa與om交點(diǎn)為點(diǎn)b的位置，與on交點(diǎn)為c的位置；如圖所示：點(diǎn)b、c即為所求作的點(diǎn)【總結(jié)升華】此題考查了利用軸對(duì)稱求解最短路徑的問題，求解模式題意已經(jīng)給出，注意仔細(xì)理解，靈活運(yùn)用題目所給的信息類型五、利用數(shù)形結(jié)合思想，解決函數(shù)問題高清課堂：數(shù)形結(jié)合問題資源編號(hào)：416971經(jīng)典例題1資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文

13、檔用心整理5.（仙游縣二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)a的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)p（m，n）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）如圖1，過動(dòng)點(diǎn)p作pbx軸，垂足為b，連接pa，求證：pa=pb；如圖2，設(shè)c的坐標(biāo)為（2，5），連接pc，ap+pc是否存在最小值？如果存在，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（2）如圖3，過動(dòng)點(diǎn)p和原點(diǎn)o作直線交拋物線于另一點(diǎn)d，若ap=2ad，求直線op的解析式（【思路點(diǎn)撥】1）設(shè)p（m，n）得出pb=m2+1，再根據(jù)a（0，2）得出ap=m2+1，即可證出pb=pa；過點(diǎn)p作pbx軸于b，由pa=pb得出要使ap+cp最小，只需當(dāng)c，p，b共線時(shí)即可，再根據(jù)點(diǎn)

14、p的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)c（2，5）的橫坐標(biāo)，即可得出答案；（2）作dex軸于e，作pfx軸于f，先得出pf=2de，再根據(jù)=，得出設(shè)p（m，m2+1），則d（m，m2+），根據(jù)m2+=（m）2+1，求出m，從而得出點(diǎn)p的坐標(biāo)，最后代入求解即可【答案與解析】解：（1）設(shè)p（m，n）n=m2+1，pbx軸，pb=m2+1，a（0，2）ap=m2+1，pb=pa；過點(diǎn)p作pbx軸于b，由（1）得pa=pb，所以要使ap+cp最小，只需當(dāng)bp+cp最小，因此當(dāng)c，p，b共線時(shí)取得，此時(shí)點(diǎn)p的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)c（2，5）的橫坐標(biāo)，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，2），（2）如圖，作dex軸于e，作pfx軸于f，由（1）得：

15、da=de，pa=pfpa=2da，pf=2de，odeopf，=，2設(shè)p（m，m2+1），則d（m，m2+）點(diǎn)d在拋物線y=x2+1上，m2+=（m）2+1，解得m=，p1（，3），直線op的解析式為y=x，p2（，3）直線op的解析式為y=x，綜上所求，所求直線op的解析式為y=x或y=x【總結(jié)升華】此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線，列出算式，注意分類討論思想的運(yùn)用舉一反三:資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理高清課堂：數(shù)形結(jié)合問題資源編號(hào)：416971經(jīng)典例題2【變式】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線的頂點(diǎn)為m，直線，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)p作軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)a，點(diǎn)b.（1）直接寫出a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；設(shè)線段ab的長為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及的最小值，并直接寫出此時(shí)線段ob與線段pm的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；(3)已知二次函數(shù)（，為整數(shù)且），對(duì)一切實(shí)數(shù)恒有，求，的值.【答案】解：(1)，.(2)=ab=.=.當(dāng)時(shí)，