人教版初中數(shù)學(xué)《反比例函數(shù)的意義的教學(xué)嘗試》

1、拉長概念形成的思維鏈條17.1.1 反比例函數(shù)的意義的教學(xué)嘗試 【教材分析】本節(jié)教材是新課標(biāo)人教版第46頁至47頁的內(nèi)容，教材的主題內(nèi)容非常精短.我們知道，學(xué)生曾在小學(xué)六（下）學(xué)過“反比例”，在中學(xué)七（下）學(xué)過“平面直角坐標(biāo)系”，在八（上）學(xué)過“一次函數(shù)”。對(duì)“反比例”、“函數(shù)”等已經(jīng)有了一定認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上來討論反比例函數(shù)有了一定的經(jīng)驗(yàn)積累，為這里的學(xué)習(xí)奠定了較好的基礎(chǔ).學(xué)好它，將對(duì)后繼學(xué)習(xí)（如二次函數(shù)等）產(chǎn)生積極的影響.本節(jié)內(nèi)容是本章的重點(diǎn)之一，也是反比例函數(shù)的開端.教材首先在“思考”欄目中提出三個(gè)反比例關(guān)系的實(shí)例，通過對(duì)具體情景的分析，從中引出反比例函數(shù)并概括出它的概念.然后通過舉例和例

2、題豐富對(duì)反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)，理解反比例函數(shù)的意義.本節(jié)的重點(diǎn)、難點(diǎn)都是理解反比例函數(shù)的概念.我們知道，八年級(jí)學(xué)生的思維品質(zhì)（完備性、深刻性、實(shí)踐性、批判性等）尚待提高，學(xué)生抽象概括能力也有限，對(duì)函數(shù)的意義理解、數(shù)量變化規(guī)律的把握還是有一定難度，特別是對(duì)抽象的表達(dá)式中的變量與常量的取值理解不深. 因此在反比例函數(shù)概念的形成過程中，應(yīng)注重利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)與背景知識(shí)，創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實(shí)情境，同時(shí)充分讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)與合作交流相結(jié)合，通過舉例、說理、討論等交流形式，鞏固、內(nèi)化、升華其知識(shí)，讓學(xué)生揭示規(guī)律，形成數(shù)學(xué)能力。具體操作如下：1、注意“三看”，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的理解.一看形式 .等號(hào)左邊是

3、函數(shù)y，等號(hào)右邊是一個(gè)分式，自變量x在分母上，且x的指數(shù)是1，分子是不為0的常數(shù)k；二看自變量x的取值范圍.由于x在分母上，故取x0的一切實(shí)數(shù)；三看函數(shù)y的取值范圍.因?yàn)閗0，且x0，所以函數(shù)值y也不可能為0.2、加強(qiáng)與正比例函數(shù)的對(duì)照.講解、交流時(shí)可對(duì)照正比例函數(shù)ykx（k0），比較二者解析式的相同點(diǎn)和不同點(diǎn). 以舊帶新，相互對(duì)比，能加深對(duì)反比例函數(shù)概念的理解3、注意形態(tài)的變化. （k0）還可以寫成 （k0）或xyk（k0）的形式.【教學(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能目標(biāo)：1從現(xiàn)實(shí)情境和已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)出發(fā)、討論兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系，加深對(duì)函數(shù)、函數(shù)概念的理解.2使學(xué)生理解并掌握反比例函數(shù)的概念3能判斷

4、一個(gè)給定的函數(shù)是否為反比例函數(shù)，并會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式過程與方法目標(biāo)：1、經(jīng)歷對(duì)兩個(gè)變量之間相依關(guān)系的討論，培養(yǎng)學(xué)生的辨別唯物主義觀點(diǎn)。2、經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，提高數(shù)學(xué)化意識(shí)。3、經(jīng)歷在實(shí)際問題中探索數(shù)量關(guān)系的過程，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思維方式解決實(shí)際問題的習(xí)慣，體會(huì)函數(shù)的模型思想情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：1經(jīng)歷抽象反比例函數(shù)概念的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。2、通過分組討論，培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識(shí)和探索精神?！窘虒W(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)】1重點(diǎn)：理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件寫出函數(shù)解析式2難點(diǎn)：理解反比例函數(shù)的概念【教學(xué)方法】情景探索教學(xué)法.教學(xué)過

5、程一、豐富情境，領(lǐng)悟新知（設(shè)計(jì)說明：問題1、2、3、4是為引入反比例函數(shù)的概念而設(shè)置的，目的是讓學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，探索其中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，通過對(duì)兩個(gè)變量之間的反比例關(guān)系的討論和探究，使學(xué)生感受彼此之間特殊的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而加深對(duì)函數(shù)概念的理解，然后，啟動(dòng)“互動(dòng)遷移”欄目，讓學(xué)生根據(jù)自己的理解舉例，而后通過改編教材“思考”欄目上的問題成三個(gè)填空題，為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)提供了足夠的感性材料，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過觀察、討論、歸納，最后得出反比例函數(shù)的概念，體會(huì)函數(shù)的模型思想，并在交流中領(lǐng)悟概念.）（一）、情境引入根據(jù)下面情境，探究有關(guān)問題.問題1：（課件展示）請(qǐng)同學(xué)們想一想：把一張面值100元的

6、人民幣換成面值50元的人民幣，可得幾張？如果換成面值20元的人民幣，可得幾張？如果換成10元、5元的人民幣呢？設(shè)所換成的面值為x元，相應(yīng)的張數(shù)為y元:x（元）502010521xy（張） 你會(huì)用含x的代數(shù)式表示y嗎？ 當(dāng)換成的面值x變化時(shí)，相應(yīng)的張數(shù)y會(huì)怎樣變化？ 變量y是x的函數(shù)嗎？為什么？問題2：（課件展示）我們知道：矩形的面積（s）與長（a）、寬（b）之間的關(guān)系式為：s=ab，當(dāng)s=24cm2你能用含有b的代數(shù)式表示a嗎？利用寫出的關(guān)系式完成下表b(cm)24681012a(cm)規(guī)律：當(dāng)b越來越大時(shí)，a 當(dāng)b越來越小時(shí)，a 變量a是b的 ，理由： 問題3：（課件展示）我們知道，電流i、

7、電阻r、電壓u之間滿足關(guān)系式u=ir，當(dāng)u=220v時(shí)你能用含有r的代數(shù)式表示i嗎？利用寫出的關(guān)系式完成下表r（）20406080100i（a）規(guī)律：當(dāng)r越來越大時(shí)，i 當(dāng)r越來越小時(shí)，i 變量i是r的 ，理由： 課件定性展示舞臺(tái)燈光明暗：當(dāng)i較小時(shí)，燈光較暗，當(dāng)i較大時(shí)，燈光較亮.問題4：（課件展示）京滬高速公路全長約為1262km，汽車沿京滬高速公路從上海駛往北京，汽車行完全程所需的時(shí)間t（h）與行駛的平均速度v（km/h）之間有怎樣的關(guān)系？變量t是v的函數(shù)嗎？為什么？在學(xué)生完成四個(gè)問題的交流后得到四個(gè)關(guān)系式： ， ， , .至此，教師不要忙于揭示、導(dǎo)引，讓反比例函數(shù)現(xiàn)身，而應(yīng)進(jìn)入新的互動(dòng)

8、環(huán)節(jié)，使反比例函數(shù)的概念“瓜熟蒂落”.（二）、互動(dòng)遷移你能舉出類似以上的實(shí)例嗎？并與同伴交流.有了前面4個(gè)問題的鋪墊，以及小學(xué)學(xué)過的反比例關(guān)系的認(rèn)識(shí)，估計(jì)學(xué)生能順利地舉例.如：百米賽跑中時(shí)間與平均速度的關(guān)系；三角形的面積一定，底與高的關(guān)系等.諸如此類，都給予肯定，尤其要關(guān)注學(xué)困生的發(fā)言，若出現(xiàn)偏差，也要善于發(fā)現(xiàn)閃光點(diǎn)而予以表揚(yáng)，并做好適當(dāng)補(bǔ)充、引領(lǐng).然后教師在展示幾個(gè)備好的填空，進(jìn)一步強(qiáng)化反比例函數(shù)模型.1、某住宅小區(qū)要種植一個(gè)面積為1000 平方米的矩形草坪，草坪長為y米，寬為x米，則y關(guān)于x的關(guān)系式為；2、已知北京市的總面積為1.68104 平方千米，全市總?cè)丝跒閚人，人均占有土地面積為s

9、平方千米，則s關(guān)于n的關(guān)系式為；、京滬線鐵路全程為463km，某列車平均速度為v（kmh），全程運(yùn)行時(shí)間為t（h），則v關(guān)于t的關(guān)系式為.答案依次為： ， ， .（教學(xué)說明：情景引入與互動(dòng)遷移兩個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)，可先讓學(xué)生進(jìn)行小組合作交流,再進(jìn)行全班性的問答或交流.學(xué)生用自己的語言說明兩個(gè)變量間的關(guān)系為什么可以看成函數(shù),了解所討論的函數(shù)的表達(dá)形式.通過一波三折，反比例函數(shù)的概念已是呼之欲出.一折是問題1-4的交流，二折是學(xué)生的自主舉例，三折是三個(gè)填空，以構(gòu)建互動(dòng)、和諧的課堂教學(xué)氛圍為依托，幫助學(xué)生完成了對(duì)反比例函數(shù)概念從感性體驗(yàn)到理性認(rèn)知的過渡.）（三）、明晰概念師：前面我們已獲取了不少的關(guān)系式：

10、 ， ， ， ， ， ， 請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察，思考以下問題（按順序完成一個(gè)再出示下一個(gè)）：（1）這些關(guān)系式都體現(xiàn)了函數(shù)關(guān)系，那它們是我們已學(xué)過的一次函數(shù)、正比例函數(shù)嗎？（2）這些函數(shù)關(guān)系式與我們以前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)、正比例函數(shù)關(guān)系式有什么不同？（3）它們有一些什么樣的共同特征？（4）從問題1-3的表格可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量成什么關(guān)系嗎？（5）你能歸納出反比例函數(shù)的概念嗎？形成如下認(rèn)識(shí)：一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可表示成 （k為常數(shù)，k0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù).師：這就是我們今天學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)概念，他是繼一次函數(shù)后的又一種新函數(shù)，從今天起，函數(shù)家族又多了一個(gè)新成員，隨著學(xué)習(xí)的深入，

11、今后我們還要研究其它函數(shù).（教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生在體驗(yàn)探究的過程中，感受知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、形成和構(gòu)建過程，使學(xué)生從獲得的關(guān)系式中，抽象出反比例函數(shù)的一般形式，并借此提出反比例函數(shù)的概念，通過讓學(xué)生感受從特殊到一般的思考方法，發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，同時(shí)也為知識(shí)的內(nèi)化和正遷移創(chuàng)造了條件，培養(yǎng)了學(xué)生建模的意識(shí).） （四）、領(lǐng)悟概念請(qǐng)同學(xué)們通過下面的問題串，領(lǐng)悟概念（1）反比例函數(shù)關(guān)系式中有幾個(gè)變量？（2）變量之間存在什么關(guān)系？待添加的隱藏文字內(nèi)容3（3）還有其它形式嗎？若有，并指出來（4）對(duì)x、y、k有什么具體要求？為什么？（5）它與正比例函數(shù)有哪些區(qū)別與聯(lián)系？通過問題（5）的回答回應(yīng)以上4個(gè)問題.明確如

12、下：聯(lián)系：1它們都有兩個(gè)變量；2都含比例系數(shù)“k”；區(qū)別： 1反比例函數(shù)中兩個(gè)變量的積是一個(gè)非零定值；正比例函數(shù)中兩個(gè)變量的商是一個(gè)非零定值.2反比例函數(shù)中自變量x位于分母，表達(dá)式呈分式；正比例函數(shù)中的自變量x處于整式中.3自變量x的次數(shù)不同：反比例函數(shù)中自變量x的次數(shù)為-1，故可寫成 （k0）或xyk（k0）的形式；正比例函數(shù)中自變量x的次數(shù)為1.4自變量x的取值范圍不同：反比例函數(shù)中自變量x取除零外的任何實(shí)數(shù)；正比例函數(shù)中自變量x可取任何實(shí)數(shù).5函數(shù)y的取值范圍不同：反比例函數(shù)中y取除零外的任何實(shí)數(shù)；正比例函數(shù)中y可取任何實(shí)數(shù).（教學(xué)說明：引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審視列出的各函數(shù)關(guān)系式以及反比例函數(shù)的

13、定義式，使之與我們以前所學(xué)的一次函數(shù)、正比例函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行類比，找出異同，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)特征.教學(xué)時(shí)要緊抓概念中的關(guān)鍵詞，以確保學(xué)生對(duì)概念認(rèn)知的系統(tǒng)性、完整性，并在概念揭示后強(qiáng)調(diào)反比例函數(shù)也可表示為ykx1(k為常數(shù)，k0)的形式，并結(jié)合舊知驗(yàn)證其正確性.）二、自主演練，內(nèi)化新知.（設(shè)計(jì)說明：通過練習(xí)1，使學(xué)生進(jìn)一步熟悉從實(shí)際問題中抽象出反比例函數(shù)，體驗(yàn)反比例函數(shù)在生活中的應(yīng)用價(jià)值及模型作用；通過練習(xí)2，鞏固反比例函數(shù)的概念；通過補(bǔ)充練習(xí)3，進(jìn)一步突出反比例函數(shù)的本質(zhì)特點(diǎn)，理解其意義.）1、請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成p47，練習(xí)的1題.2、請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成p47，練習(xí)的2題.3、下列等式中的y是x的反

14、比例函數(shù)嗎？若是，指出k的值.（1） （2） （3）xy0 （4） （5） （6） （7）y4x1 （8） 答案1、（1） ；（2） ；（3） .2、xy123.3、解析：根據(jù)反比例函數(shù)的定義，關(guān)鍵看上面各式能否改寫成 （k為常數(shù)，k0）的形式，這里（1）是整式，（3）中的k=0，（4）的分母不是只單獨(dú)含x，（6）改寫后是 ，分子不是常數(shù)，只有（2）、（5）、（7）能寫成定義的形式，它們的k依次為： ， ，4.（教學(xué)說明：利用學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的初步認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生借助自主練習(xí)，進(jìn)一步加大學(xué)生對(duì)該概念的正遷移力度，初步把握其內(nèi)涵與外延.）三、拓展應(yīng)用，升華新知（設(shè)計(jì)說明：例1是一道用待定系數(shù)法

15、求反比例函數(shù)解析式的題，此題的目的一是要加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)概念的理解，掌握求函數(shù)解析式的方法；二是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)所蘊(yùn)含的“變化與對(duì)應(yīng)”的思想，特別是函數(shù)與自變量之間的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系.例2是對(duì)反比例函數(shù)概念的逆向認(rèn)識(shí)，是另一種形式y(tǒng)kx1的應(yīng)用，以圖深入理解概念.而例3是一道綜合題，此題是用待定系數(shù)法確定由兩個(gè)函數(shù)組合而成的新的函數(shù)關(guān)系式，有一定難度，但處理得當(dāng)能提高學(xué)生分析、解決問題的能力.緊隨其后，設(shè)置了4個(gè)練習(xí)，一是鞏固例題的成果，二是進(jìn)行了適當(dāng)延伸，特別是5題以表格的形式出現(xiàn)，既回應(yīng)了課始問題的對(duì)應(yīng)形式，實(shí)現(xiàn)了表格與函數(shù)關(guān)系式的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)又為下一節(jié)畫反比例函數(shù)的圖像做了孕伏.）

16、例1、已知y是x的反比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)y=6.（1）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求當(dāng)x=4時(shí)，y的值.分析：因?yàn)閥是x的反比例函數(shù)，所以先設(shè) ，再把x2和y6代入上式求出常數(shù)k，即利用了待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式.解：（1）設(shè) ，由x=2時(shí)y=6得 .則k12，故 .（2）把x=4代入 ，得 .例2（補(bǔ)充）當(dāng)m取什么值時(shí)，函數(shù) 是反比例函數(shù)？分析：反比例函數(shù) （k0）的另一種表達(dá)式是 （k0），后一種寫法中x的次數(shù)是1，因此m的取值必須滿足兩個(gè)條件，即m20且3m21，特別注意不要遺漏k0這一條件，也要防止出現(xiàn)3m21的錯(cuò)誤.估計(jì)這是問題的多發(fā)區(qū).解：根據(jù)題意，得， ，即 ，可知m只能取2.

17、所以，m=2時(shí)，函數(shù) 是反比例函數(shù).例3（補(bǔ)充）已知函數(shù)yy1y2，y1與x成正比例，y2與x成反比例，且當(dāng)x1時(shí)，y4；當(dāng)x2時(shí)，y5（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（2）當(dāng)x2時(shí)，求函數(shù)y的值分析：此題函數(shù)y是由y1和y2兩個(gè)函數(shù)組成的，要用待定系數(shù)法來解答，先根據(jù)題意分別設(shè)出y1、y2與x的函數(shù)關(guān)系式，再代入數(shù)值，通過解方程或方程組求出比例系數(shù)的值.這里要注意y1與x和y2與x的函數(shù)關(guān)系中的比例系數(shù)不一定相同，故不能都設(shè)為k，要用不同的字母表示，這也是“問題區(qū)”.解：（1）設(shè)y1k1x（k10）， （k20），則 ，代入數(shù)值求得k12，k22，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 .（2）把x2代入 得y5

18、.小試身手：1、若y+1與x成反比例，當(dāng)y=1時(shí)，x=4，則y與x的函數(shù)解析式為_. 2、若函數(shù) 是反比例函數(shù)，則m的取值是 3、已知y與x2成反比例，并且當(dāng)x=3時(shí)，y=4.(1) 寫出y和x之間的函數(shù)關(guān)系式(2)當(dāng)x=1.5時(shí)y的值.4、修建一條鐵路，若80人參加，則需要25天完成。（1）試寫出參加人數(shù)y和所需天數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）若需在20天內(nèi)修完，則從一開始就必須增加多少人參加修建？5、y是x的反比例函數(shù)，下表給出了x與y的一些值：x-2-113y2-1（1）寫出這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式完成上表.（教學(xué)說明：三個(gè)例題可用嘗試練習(xí)的方式，在學(xué)生交流后，教師再規(guī)

19、范解答，突出關(guān)鍵點(diǎn)；小試身手環(huán)節(jié)，可讓學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，而后再與同桌交流，上講臺(tái)板演，教師要重點(diǎn)關(guān)注“學(xué)困生”.）四、反思小結(jié)，觀點(diǎn)提煉.（設(shè)計(jì)說明：通過讓學(xué)生暢談自己的收獲、困惑以及感受，反饋?zhàn)约旱慕虒W(xué)，并做好歸納總結(jié)，盡可能地解惑釋疑，幫助學(xué)生提高認(rèn)識(shí).）1、知識(shí)歸納：（1）反比例函數(shù)的定義：形如 （k為常數(shù)，k0）的函數(shù). 也可寫成 （k0）或xyk（k0）的形式.（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別.正比例函數(shù)反比例函數(shù)解析式自變量取值范圍任意實(shí)數(shù)x0函數(shù)取值范圍 任意實(shí)數(shù) y0 自變量的次數(shù)1次-1次定量關(guān)系商為定值（ x0）積為定值2、思想方法歸納：待定系數(shù)法；數(shù)學(xué)建模思想，變化與對(duì)應(yīng)的

20、思想. 五、分層作業(yè)，各有所獲.必做題：p53-54習(xí)題17.1的1、2、4選做題：1、p54習(xí)題17.1的5、6.2、已知函數(shù)yy1y2，y1與x1成正比例，y2與x成反比例，且當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)x4時(shí)，y9，求當(dāng)x1時(shí)y的值選做題2的答案：y4.六、練習(xí)拓展，前貫后連.（設(shè)計(jì)說明：選取4道中考題、1道學(xué)生生活題，意圖之一是鞏固提高，之二是把本節(jié)所學(xué)延伸到下一節(jié)的學(xué)習(xí)中去，起到預(yù)習(xí)探索的作用，明確知識(shí)學(xué)習(xí)的永無止境.）1（2010年日照市）已知反比例函數(shù)y= ，則下列點(diǎn)中在這個(gè)反比例函數(shù)圖象的上的是（ ）a（2，1） b.（1，-2） c.（-2，-2） d.（1，2）2（2010年丹東市） 某服裝廠承攬一項(xiàng)生產(chǎn)夏涼小衫1600件的任務(wù)，計(jì)劃用t天完成（1）寫出每天生產(chǎn)夏涼小衫w（件）與生產(chǎn)時(shí)間t（天）（t4）之間的函數(shù)關(guān)系式;（2）由于氣溫提前升高，商家與服裝廠商議調(diào)整計(jì)劃，決定提前4天交貨，那么服裝廠每天要多做多少件夏涼小衫才能完成任務(wù)？3.（2010年蘭州市）已知：yy1y2，y1與x2成正比例，y2與x成反比例，且x1時(shí)，y3；x-1時(shí)，y1. 求x- 時(shí)，y的值4（2010年涼山州）已知函數(shù)