知識講解_充分條件與必要條件_基礎(1)

1、充分條件與必要條件編稿：張希勇審稿：李霞【學習目標】1理解充分條件、必要條件、充要條件的定義；2會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件；3會應用充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件表達命題之間的關系.4.能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要性的證明【要點梳理】要點一、充分條件與必要條件充要條件的概念/符號pq與pq的含義/“若p，則q”為真命題，記作：pq；“若p，則q”為假命題，記作：pq.充分條件、必要條件與充要條件若pq，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果既有pq，又有qp，就記作pq，這時p是q的充分必要條件，稱p是q的充要條件.要

2、點詮釋：對pq的理解：指當p成立時，q一定成立，即由p通過推理可以得到q.“若p，則q”為真命題；p是q的充分條件；q是p的必要條件以上三種形式均為“pq”這一邏輯關系的表達.要點二、充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關系看命題“若p，則q”，其條件p與結論q之間的邏輯關系/若pq，但qp，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件；若pq，但qp，則p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件；若pq，且qp，即pq，則p、q互為充要條件；若pq，且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.從集合與集合間的關系看若p：xa，q：xb，若ab，則p是q的充分條件，q是p的必要條件

3、；若a是b的真子集，則p是q的充分不必要條件；若a=b，則p、q互為充要條件；若a不是b的子集且b不是a的子集，則p是q的既不充分也不必要條件.要點詮釋：充要條件的判斷通常有四種結論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進行：確定哪是條件，哪是結論；嘗試用條件推結論，再嘗試用結論推條件，最后判斷條件是結論的什么條件.要點三、充要條件的證明要證明命題的條件是結論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）要點詮釋：對于命題“若p，則q”如果p是q的充分條件，則原命題“若p，則q”與其逆否命題“

4、若q，則p”為真命題；如果p是q的必要條件，則其逆命題“若q，則p”與其否命題“若p，則q”為真命題；如果p是q的充要條件，則四種命題均為真命題.【典型例題】類型一：充分條件、必要條件、充要條件的判定例1.指出下列各題中，p是q的什么條件？(1)p:(x-2)(x-3)=0，q:x=2；(2)p:c=0，q:拋物線y=ax2+bx+c過原點(3)p:一個四邊形是矩形，q:四邊形的鄰邊相等【解析】(1)p:x=2或x=3,q:x=2/pq且qp,p是q的必要不充分條件；(2)pq且qp,p是q的充要條件；/(3)pq且qp，p是q的既不充分條件也不必要條件.【總結升華】判定充要條件的基本方法是定

5、義法，即“定條件找推式下結論”.有時需要將條件等價轉化后再判定.舉一反三：【變式1】指出下列各題中，p是q的什么條件？（1）p：a=b，q：a和b是對頂角.（2）p:x=1，q:x2=1；【答案】/（1）pq且qp，p是q的必要不充分條件，q是p的充分不必要條件.（2）q:x2=1x=1或x=-1/x=1x2=1，但x2=1x=1，p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.【變式2】判斷下列各題中p是q的什么條件.（1）p:a0且b0,q:ab0（2）p:xy1,q:xy.【答案】（1）p是q的充分不必要條件.a0且b0時，ab0成立；反之，當ab0時，只要求a、b同號即可.必要性不成立

6、.（2）p是q的既不充分也不必要條件xy1在y0的條件下才有xy成立.充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清課堂：充分條件與必要條件394804例2】例2.已知p：0x3，q：|x-1|2，則p是q的（）（a）充分不必要條件（b）必要不充分條件（c）充要條件（d）既不充分也不必要條件【解析】q：|x-1|2，解得-1x3，亦即q：-1x2”的一個必要不充分條件為（）a.x1b.x3d.x3【答案】a【變式2】（2015天津文）設xr，則“1x2”是“|x2|1”的（）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件d既不充分也不必要條件【答案】由|x2|11x211x3，可知“1x2”是“|x

7、2|1”的充分而不必要條件.故選:a.【變式3】(2015福建)若l，m是兩條不同的直線，m垂直于平面，則“l(fā)m”是“l(fā)的（）a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件【答案】若lm，因為m垂直于平面，則l或l；若l，又m垂直于平面，則lm，所以“l(fā)m”是“l(fā)”的必要不充分條件，故選brrrrrrrr（【變式4】2016北京理）設a，b是向量，則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（）a.充分而不必要條件b.必要而不充分條件c.充分必要條件d.既不充分也不必要條件【答案】rrrrrrrrrrrr由|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2ab=0

8、ab，故是既不充分也不必要條件，故選d.類型二：充要條件的探求與證明例3.設x、yr，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么x=0，y0；x0，y=0；x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy0，即x0，y0或x0，y0，當x0，y0時，|x+y|=x+y=|x|+|y|.當x0，y0時，|x+y|=(x+y)=x+(y)=|x|+|y|.總之，當xy0時，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、yr，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|

9、xy|=xy，xy0.ac0,x1x2=c0，即x1,x2的符號相反，即方程有一個正根和一個負根.綜上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy0.【總結升華】充要條件的證明關鍵是根據定義確定哪是已知條件，哪是結論，然后搞清楚充分性是證明哪一個命題，必要性是證明哪一個命題.判斷命題的充要關系有三種方法：（1）定義法；.（2）等價法，即利用ab與ba；ba與ab；ab與ab的等價關系，對于條件或結論是不等關系（否定式）的命題，一般運用等價法（3）利用集合間的包含關系判斷，若ab，則a是b的充分條件或b是a的必要條件；若a=b，則a是b的充要條件.舉一反三：【變式1】已知a,b,c都是實數

10、，證明ac0是關于x的方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根的充要條件.【答案】（1）充分性:若ac0，方程ax2+bx+c=0有兩個相異實根，設為x1,x2,a（2）必要性:若方程ax2+bx+c=0有一個正根和一個負根，設為x1,x2,且x10,x20，則x1x2=ca0，ac0綜上可得ac0012若方程有兩個負的實根，則必須滿足-0ad=4-4a0a0；0a1綜上知，若方程至少有一個負的實根，則a1；反之，若a1，則方程至少有一個負的實根，因此，關于x的方程ax2+2x+1=0至少有一個負的實根的充要條件是a1類型三：充要條件的應用例4.已知p：axr|x2ax10，q：bxr|x23x20，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍【解析】bxr|x23x20x|1x2，p是q的充分不必要條件，pq，即ab，可知a=或方程x2ax10的兩根要在區(qū)間1,2內d01-a2a240或24+2a+101+a+10，得2a2.集且b不是a的子集，所以，或，解得c2，解得c2，1+c71-c7【總結升華】解決這類參數的取值范圍問題，應盡量運用集合法求解，即先化簡集合a、b，再由它們的因果關系，得到a與b的包含關系，進而得到相關不等式組，解之即可.舉一反三：【變式1】已知命題p：1cx0)，命題q：x7或x1，并且p是q的既不充分又不必要條件，則c的取值