利用向量方法求二面角導(dǎo)學(xué)案1

1、322利用向量方法求二面角的導(dǎo)學(xué)案一、儲備學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解用平面法向量的夾角求二面角的方法。 學(xué)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)：用平面法向量的夾角求二面角的方法 學(xué)習(xí)過程：回顧：二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做。這條直線叫做 ,以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做 。二面角的求法UU AB與CD勺夾角（如圖所示）. 設(shè)ni、n2是 二面角a I B的兩個(gè)面a、B的法向量， 則向量ni與n2的夾角（或其補(bǔ)角）就是二面角的 平面角的大?。ㄈ鐖D所示）面角： cos cos n 1, n2 或 coscos ri|, n2、導(dǎo)學(xué)（一）利用法向量求二

2、面角的大小的原理設(shè)ni,門2分別為平面，的法向量，二面角的大小為，向量（圖1）或（圖2）n|,n2的夾角為，貝U有圖1基本結(jié)論 構(gòu)成二面角的兩個(gè)平面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角等于這個(gè)面角的平面角.F分別y(二) 如何求平面的一個(gè)法向量：例1:如圖3,在正方體 ABCD-ABCD中G E、為AA、AB BC的中點(diǎn)，求平面GEF勺法向量。1 i略解：以D為原點(diǎn)建立右手空間直角坐標(biāo)系，則 E(1 , ,0) 、F(-, 1,0)2 21 1 1 1G(1,0 , 1)由此得:GE (0, ,) FE (1,0)2 2 2 2 2設(shè)平面的法向量為n (x, y, z)由n GE及n FE可得-11n?

3、GE y z 022xyAAn? FE-x-y 0 zy22令y=1取平面的一個(gè)法向量為n (1,1,1)評析 因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄坑袩o數(shù)個(gè)，方向可上可下，?？纱罂尚?，我們只要求出平面的某一個(gè)法向量(教簡單的)即可。(三) 法向量的應(yīng)用舉例：例2.在長方體ABCA1B1CD中，AB=2 BC=4 AA=2,點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn)，求此時(shí)二面角A AD Q的大小.解 如圖2,建立空間直角坐標(biāo)系.依題意：A1 (0, 0, 2), D (0 , a , 0). Q(2 , 2 , 0) , D( 0 , 4 , 0), A1Q (2,2, 2),QD( 2,20).面AAD的法向量m (1,0,0).設(shè)面A

4、DQ的法向量門2 (aiaa),則丫n2 QD2a! 2a2 2a32a!2a 20,0,a2 ai ,as 2ai,x #-n2(a1, a1,2a1).(1,1,2),* n1 n21nin21 46令ai=1，則n二 cos nt, n26面角的平面角為銳角面角A AiD Q的大小為arccos6 .6評析(1)用法向量的方法處理二面角的問題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問題時(shí)的 三步曲：“找一一證一一求”直接簡化成了一步曲：“計(jì)算”，這在一定程度上降 低了學(xué)生的空間想象能力，達(dá)到不用作圖就可以直接計(jì)算的目的，更加注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神。(2)此法在處理二面角問題時(shí)，可能會(huì)遇

5、到二面角的具體大小問題，如本題中若令 ai1，則門2 ( 1, 1, 2)，. cos ni,n?6，二二面角 A AiD Q6的大小 是ni, n2arccos 6的補(bǔ)角arccos6。所以在計(jì)算之前不妨先依題6 6意直觀判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或取“補(bǔ)角”。例3 如圖5,在底面是直角梯形的四棱錐 S ABCD中, AD/BC，/ ABC=90,11SA丄面ABCD SA=，AB=BC=1 AD。求側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的 22解：以A為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,S圖5C大小。1 1- SA (0,0, -), SB (0,1,-)“11 1SD (：,

6、0,-), SC (1,1,-),2 2 2顯然平面SBA的一個(gè)法向量為n1=(1 , 0, 0),n2 SDn2 SC0x z 0c cc 取z 2,則 n2(2, 12)02x 2y z 0b- tr貝U cos n,n2m &1 22mil n?|1 33評析：(1)因?yàn)樗蟮亩娼堑慕痪€在圖中較難作出， 所以用傳統(tǒng)的方法求設(shè)平面SCD勺一個(gè)法向量為n2=(x, y, z)，則n2丄平面SCD面角比較困難，向量法在這里就體現(xiàn)出它特有的優(yōu)勢；(2)但判斷側(cè)面SCD與面SBA所成的二面角的平面角是銳角還是鈍角時(shí)，圖形的直觀性就不明顯了, 當(dāng)不能很好地判斷所求的二面角的類型時(shí)，以下給出解決方案

7、。(四)當(dāng)直觀很難判斷二面角是銳角還是鈍角時(shí)，通過判斷法向量的方向來求解 二面角原理 首先我們再重新認(rèn)識一下法向量夾角和二面角的關(guān)系:如上圖6所示，當(dāng)我們把法向量控制成“一進(jìn)一出”此時(shí)兩法向量在三個(gè)坐標(biāo)平面 xoy, yoz,xoz的投影也uv uv可以看成是“一進(jìn)一出”，這時(shí)不難得出m,n2的夾角就是二面角的大小，反之就不是。其次如何控制一個(gè)平面的法向量方向是我們想要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”圖6如圖7所示：平面ABC的法向量n若要法向量n的方向“向上”，可設(shè)n = (x, y,1)或n = (x, y, Z0),其中Z00;若要法向量n的方向“向前”，可設(shè) n = (

8、1, y,z)或 n = (x0,y,z),其中AyCB圖7xo 0 ;若要法向量n的方向“向右”，可設(shè)n =(x,1, y)或 n = (x, yo, z),其中 y0所以，只要我們判斷兩個(gè)法向量的方向是掌握了這點(diǎn)，那么用法向“一進(jìn)一出”，那么所求的二面角的平面角就等 于兩法向量的夾角，如果是“同進(jìn)同出”，那么 所求的二面角的平面角就等于兩法向量的夾角的補(bǔ)角, 量求二面角就可以做到隨心所欲。例4 (改編高考題)如圖，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱長都為2，D為CCi中點(diǎn).(I)求證：AB1丄平面ABD ;(U)求二面角A AiB Ci的大?。唤? (I).uuu uLun取BiCi中

9、點(diǎn)Oi，以0為原點(diǎn)，OB，OOi，0A的方向?yàn)閤，y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.解略(U)設(shè)平面AAiB的法向量為n (x, y, z).iuurAB (I,0,3)，AA (0,2,0).=I： n AB, n AAIF甲n?AA 2y 0n?AB x 3zi 0令z i,得平面AiAD的一個(gè)法向量n C3,0,i)設(shè)平面Ai BCi的法向量為v (a, b,c).BA ( 1,2, . 3) , BCi ( 2,2,0).v BA ,v BC1n ? BAia 2b 3c 0n ?BG 2a 2b 0令a 1,得平面A1BC1的一個(gè)法向量v ( 1,1, /3)cos n, vn?vnv2325 15所求的二面角的平面角是arccos5三、課后追蹤ABCD所成1. 在正方體ABCA1B1C1D中，點(diǎn)E為BB的中點(diǎn)，則平面 AED與平 的銳二面角的余弦值為()1A. 2B.C.D.則這兩個(gè)2. 若兩個(gè)平面 a,B的法向量分別是 n= (1,0,1) , v= ( 1,1,0)平面所成的銳二面角的