加權(quán)殘值法(全)[專業(yè)教學(xué)]

1、數(shù)學(xué)物理中的近代分析方法,第三章 加權(quán)殘值法,3.1 加權(quán)殘值法的基本概念,設(shè)某一具體的工程定解問(wèn)題：,Luf=0（在域V內(nèi)）,（3.1.1）,Gug=0（在邊界S上）,（3.1.2）,這里，u為待求的未知函數(shù)，L和G分別為控制方程（在域V內(nèi)）和邊界條件（在邊界S上）的微分算子。f和g分別是域內(nèi)和邊界上的已知項(xiàng)。,3.1 加權(quán)殘值法的基本概念,一般地，定解問(wèn)題（3.1.1）、（3.1.2）的精確解難以求得，從而求助于近似解，這里我們假設(shè)一個(gè)待求函數(shù)u的試函數(shù)：,（3.1.3）,其中Ci為待定系數(shù)，vi為試函數(shù)項(xiàng)。,將（3.1.3）代入定解問(wèn)題的兩個(gè)微分方程中，一般不會(huì)精確滿足，于是就出現(xiàn)了內(nèi)部

2、殘值（Residuals）RV和邊界殘值RS，即：,3.1 加權(quán)殘值法的基本概念,為了消除殘值，選取內(nèi)部權(quán)函數(shù)（Weighted function）WV和邊界權(quán)函數(shù)WS，使得殘值RV和RS分別與相應(yīng)權(quán)函數(shù)的乘積在域內(nèi)和邊界上的積分為零，即：,據(jù)此，我們就可以得到關(guān)于待定系數(shù)Ci（i=1，2，N）的代數(shù)方程組，求得了Ci后，即確定了近似解（3.1.3）。,（3.1.4）,（3.1.5）,（3.1.6）,（3.1.7）,按試函數(shù)是否滿足控制方程和邊界條件，將加權(quán)殘值法分為三類：,內(nèi)部法,邊界法,混合法,3.1 加權(quán)殘值法的基本概念,3.2 加權(quán)殘值法的基本方法,據(jù)權(quán)函數(shù)的形式分類，主要有以下五種方

3、法：,（1）最小二乘法（Least Square Method）,最小二乘法的基本思想是選取一個(gè)試函數(shù)，使得在域V內(nèi)的殘值平方積分：,（3.2.1）,最小。為使J（Ci）最小，取極值條件：,3.2 加權(quán)殘值法的基本方法,（3.2.2）,即可得到最小二乘法的基本方程：,（3.2.3）,可見(jiàn)，最小二乘法就是將權(quán)函數(shù)取作 。式（3.2.3）將給出N個(gè)代數(shù)方程，用于求解N個(gè)待定系數(shù)Ci（i=1，2，N）。這個(gè)方法一般計(jì)算精度高，但運(yùn)算較為繁瑣。,（i=1，2，N）,（i=1，2，N）,（2）配點(diǎn)法（Collocation Method）,3.2 加權(quán)殘值法的基本方法,如果選用狄拉克函數(shù)（Dirac D

4、elta Function）作為權(quán)函數(shù)，即：,（3.2.4）,就得到了配點(diǎn)法。配點(diǎn)法的基本方程為：,（3.2.6）,（i=1，2，N）,（2）配點(diǎn)法（Collocation Method）,3.2 加權(quán)殘值法的基本方法,對(duì)于高維問(wèn)題，例如二維問(wèn)題的配點(diǎn)法基本方程為：,（i=1，2，N）,（3.2.7）,由殘值R在N個(gè)配點(diǎn)xi（或二維（xi，yi）處為零。得到N個(gè)代數(shù)方程，從而求得待定系數(shù)Ci（i=1，2，N）。配點(diǎn)法是加權(quán)殘值法中最簡(jiǎn)單的一種，只是其計(jì)算精度相對(duì)差一些。,3.2 加權(quán)殘值法的基本方法,（3）子域法（Subdomain Method）,如果將待求問(wèn)題的整個(gè)區(qū)域V按任意方式劃分為N

5、個(gè)子域Vi（i=1，2，N），并定義此時(shí)的權(quán)函數(shù)為：,（3.2.8）,于是在每個(gè)子域Vi內(nèi)可列出消除殘值的方程為：,（i=1，2，N）,（3.2.9）,3.2 加權(quán)殘值法的基本方法,（3）子域法（Subdomain Method）,這里，N個(gè)子域共有N個(gè)方程，聯(lián)立求解即得待定系數(shù)Ci（i=1，2，N）。 需要說(shuō)明的是，每個(gè)子域的試函數(shù)的選取可以相同，也可以不同。若各子域的試函數(shù)互不相同時(shí)，則必須考慮各子域間的連接條件。,3.2 加權(quán)殘值法的基本方法,（4）伽遼金法（Galerkin Method）,伽遼金法是俄國(guó)工程師伽遼金提出的并以他的名字而命名的方法。,伽遼金法中的權(quán)函數(shù)就是試函數(shù)中的基函數(shù)，即：,Wi=vi， （i=1，2，N）,（3.2.10）,（i=1，2，N）,（3.2.11）,由殘值方程和試函數(shù)中的每一個(gè)基函數(shù)正交這一性質(zhì)，不僅保證了解的收斂性，還使得伽遼金法精度高而計(jì)算工作量又不算太大，所以該方法應(yīng)用廣泛。,3.2 加權(quán)殘值法的基本方法,（5）矩量法（Method of Moment）,當(dāng)權(quán)函數(shù)選取為xi（i=0，1，N1）時(shí)，就得到了矩量法的基本方程為：,（i=0，1，N1）,（3.2.12）,由上式不難求得待定系數(shù)Ci（i=1，2，N）。,（1）最小二乘法（Least Square Method）,（2）配點(diǎn)法（Collocation M