求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析

1、名師推薦精心整理學習必備求遞推數(shù)列通項公式的十種策略例析遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當?shù)?策略將問題化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導出一般情形，進而用數(shù)學歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項公式問題成為 了高考命題中頗受青睞的考查內(nèi)容。筆者試給出求遞推數(shù)列通項公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學歸納法、換元法、 不動點法、特征根的方法。仔細辨析遞推關(guān)系式的特征，準確選擇恰當?shù)姆椒?，是迅速求?通項公式的關(guān)鍵。一、利用公式法求通項公式例1已知數(shù)列an滿足

2、an 2an 3 -2n，a1 =2，求數(shù)列an的通項公式。 解: an .1 =2an 3 2n兩邊除以2n 1，得儲二黑，則瞎一顯=?，2口 2n 22n_T1 2口 2故數(shù)列是以ai212 =1為首，以-為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得2 2anan =（3 n-：）2n。2 23=1 (n -1)2，所以數(shù)列an的通項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1 =2an 3 2n轉(zhuǎn)化為 開-予=|，說明數(shù)aa3列即 是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出才=1十(n -1)-，進而求出數(shù)列an的通項公式。二、利用累加法求通項公式例2已知數(shù)列an滿足an q =an

3、 2n 1，a1 =1，求數(shù)列an的通項公式。解：由 an 丫 =an 2n 1得 an 1 _ an = 2n 1貝V an - (an -an 4) (an 4 an _2)，3 2)，心2 1)，a1二2(n -1)12(n 2)1亠 亠(2 21)(2 1 1)1=2( n -1) (n -2)川川2 1 (n -1) 1c (n 1)n丄/八丄仏=2(n -1) 12所以數(shù)列an的通項公式為an二n2評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an彳=an - 2n - 1轉(zhuǎn)化為an彳-an =2n 1,進而求出(an -an 4) (and -an亠亠3 -a2) (a2 -a a1，即得數(shù)

4、列an的通項公式。例3已知數(shù)列an滿足an 1二a. 2 3n 1, a1 =3，求數(shù)列a.的通項公式。解：由 an an - 2 3n 1得 an 1 - an =2 3 亠 1則 an =(an -ani) - (an J an/) -3 -a2) (a2 -ai) ain 1n 921=(2 31) (2 3n1) z-h(2 32 1) (2 311) 3= 2(3n3心32 31) - (n -1) 3所以an=2 =1-3n u 2 =3n n -1評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式 an an 2 3n - 1轉(zhuǎn)化為an , -a2 3n 1 , 進而求出（a. -anj） -

5、（a.-an/（a3 -a?） （a?-?。┯?，即得數(shù)列a.的通項公式。求數(shù)列an的通項公式。已知數(shù)列an滿足 an 3an 2 3n 1，a3，解：an 1 =3an 2 3n 1兩邊除以3n 1，得an 1 旦.2 . _13n 1 _3n 33n：r1故業(yè)=（也一也）.（並!3n 3nananan_2an_2an-3)( )3n 323n；=(2 丄)(？丄).(23 3n 33nJ 32(n -1)( 1(孑丄丄3n3n*因此an3n一2(n1)切 2)3+ 11-333nan 1_ a n3n 1 _3na2a1+ ( 13231題13n 1關(guān)鍵是把遞 而求出本=23），即得數(shù)列牛的

6、通項公式,33n推關(guān)系式an d =3an 2 3n 1轉(zhuǎn)化為 _ an32最后再求數(shù)列n -1_ and ) . (and _ and)+3n心3nan的通項公式。三、利用累乘法求通項公式例5已知數(shù)列an滿足an 1 =2（n 1）5n an， a 3，求數(shù)列an的通項公式。解：因為 an 1 =2(n 1)5n an, a1 =3，所以 a. =0，則亠=2(n 1)5n,an則anan an_1求出anana n Aan _2a3a2a2a1q，即得數(shù)列an的通項公式。(全國15題)已知數(shù)列an滿足a1 =1, an = a12a2 _3a3(n1)an / an _2二2(n -1 1

7、)5n J 2(n _2 1)5n2 (2 1) 52 2 (1 1) 51 3=2心n (n _1)3 2 -5(nJ) -(n 21 .3所以數(shù)列an的通項公式為n(n)an =3 -2nl 5 2 n!an評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an 4=2(n 1)5n an轉(zhuǎn)化為 加 =2(n 1)5n,進而(n -1)anl(n _2)，則an的通項 an1, n =1n! . _ n _2 2解：因為 an =a1 - 2a2 - 3a3 亠亠(n - 1)an 4(n 亠2)所以 an 1 =a1 - 2a2 - 3a3 川川(n -1)and nan所以式式得an d -an =na

8、n則 an 1 =(n 1)an (n _2)則歸=n 1(n _2)an所以an也.色：.更a2an4 anda2n! 二n(n -1) ：4 3 a2 a22由 an a1 2a2 3a3n - 1)an(n 2)，取 n=2 得 a a1 2a2，則 a a1，又知a1 =1，則a2 1,代入得評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an d =(n 1)an(n _2)轉(zhuǎn)化為an 1aaa進而求出 一n口n a2,從而可得當n2時an的表達式，最后再求出數(shù)列an的an -1 an -2a2通項公式。四、利用待定系數(shù)法求通項公式例7已知數(shù)列an滿足an 2an - 3 -5n，a1 =6，求數(shù)

9、列an的通項公式。解：設(shè) an 1 x 5n d =2(an - x 5n)將an 2an 3 5n代入式，得 2an 3 5n x 5n 2an - 2x 5n，等式兩邊消去 2an，得3 5n x 51 =2x 5n，兩邊除以5n，得3 x 5 =2x，則x= 1,代入式，得 am -5n 2(an -5n)a舟由 ai 51 =6_5=1 工0 及式，得 an -5n =0，則 n 1 _ n =2，則數(shù)列a. -5n是 an -5以d-51=1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則an-5n=1 y，故a.=2n，-5n。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an d -2an - 3 5n轉(zhuǎn)化

10、為 an 1 -5n 1 =2(an -5n)，從而可知數(shù)列a. -5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 a5n的 通項公式，最后再求出數(shù)列 an的通項公式。例8已知數(shù)列an滿足an d =3an - 5 -2n - 4, a1 =1，求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè) an 1 x 2n d - y =3(an x 2n y)將an 1 =3an 5 -2n 4代入式，得3an 5 2n 4 x 2n 1 y =3(an x 2n y)整理得(52x) 2n 43x 2n - 3y o人 5 +2X =3X 戸“ X =5 八、/ 令，則，代入式，得_4+y=3y = 2an 15 -2n 12=3(an

11、5 2n 2)由 a15 212=1 12 =13=0 及式,得 an 5 2n-=0，則an1 52n1 2 =3an - 5 2n 2故數(shù)列an 5 2n 2是以a1 5 21 2 =1 *12=13為首項，以3為公比的等比數(shù)列, 因此 an52n2=133n4，則an=133n-5-2n-2。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 3an 5 2n 4轉(zhuǎn)化為 an 1 5 2n 1 -2 =3(an 5 2n 2),從而可知數(shù)列an 5 2n 2是等比數(shù)列，進而求出 數(shù)列an 5 2n 2的通項公式，最后再求數(shù)列 an的通項公式。例9已知數(shù)列an滿足an勺=2an 3n24n 5,印=1

12、，求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè) an ：x(n :1)2 ny(n2=2(an xnyn z) 將an1. =2an 3 n2 4n代入式，得2 22an 3 n 4n 5 x(n 1) y(n 1) z=2(an xn2 yn z)，則22an(3 x)n - (2x y 4)n (x y z 5)=2an 2xn2 2yn 2z等式兩邊消去 2an，得(3 x)n2 (2x y 4)n (x y - z 5) = 2xn2 2yn 2z，|3 x =2x.x =3則得方程組 2x y 2y ，貝U y =10，代入式，得 |x y z 5=2zz=18an 13(n - 1)2 10(n

13、1) 18 =2(an 3n2 10n 18)由 a13 1210 118 =131 =32 =0 及式，得an 3n210n18=0故數(shù)列an3n2 10n T8為以an3(n1)210(n1) 18an +3 n2 +10 n +18a13 1210 111332為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n2 10n 18 =32 -2nJ，則 an =2n 4 -3n2 -10n -18。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 2an 3 -n2 4n 5轉(zhuǎn)化為 an 13(n1)210( n 1)18=2(an 3 n210 n 18), 從而可知數(shù) 列an 3n2 70n 18是等比

14、數(shù)列，進而求出數(shù)列an 3n2 10n 18的通項公式，最后再 求出數(shù)列an的通項公式。五、利用對數(shù)變換法求通項公式例10已知數(shù)列an滿足an 丁 =2 3na5 ,印=7，求數(shù)列an的通項公式。解：因為an 2 3na5, a1 =7，所以an。an, 0。在an 2 3冷初式兩邊取常用 對數(shù)得 lg an d 5lg an n lg 3 lg 2設(shè) lg a. 1 x(n 1) y =5(lg xn y)將式代入O 11 式，得 5lg an nlg 3 lg 2 x(n 1) y =5(lg an xn y)，兩邊消去 5lg an 并整理，得(lg 3 x)n x y lg 2 =5x

15、n 5y，貝U1g 3 +x =5xx + y +lg 2 =5yx,34Ig3 Ig2 y =16代入式，得igan 1聖(n 1)4.Ig3 . Ig216= 5(lg an：3n飛3飛2)164由 iga1空咗旳71644詈譽0及式，得 Igan,lg 3 八 lg 3 lg 2lg an 1 (n 1)則4西 .=5,iganig3 +lg3 lg2 ， n 4 164所以數(shù)列l(wèi)gan等比數(shù)列Ig3 Ig3 lg 2、口 n是以Ig7164.空n朋咗4igang 3lg an -(ig 7 41n-lg 34n-ig(34朋.也n1641 116n4ig3lg3 lg3 lg2為首項，

16、以4164.ig3 . ig3 . ig_?)5nj4164 )1 1為公比的= (ig7ig264n_lg3亦-Ig24 =lg(7 34 薩 2)5n J - lg(37115n1_n5n-d5n 1.13血 24)=lg(75n4 3 3 2lg(75n4 16 5n Un 15n I3162 4。-(Ig7 lg 34 lg 3 Ig24)51316124) = lg(7 34 3165n/n5n3 162 4 )127)5nJ評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式and -2 3nan轉(zhuǎn)化為 lg an 1 (n 1) 必 乂2 =5(lg an n 必 2), 從而可 知數(shù)

17、列 41644164lg 3 lg 3 lg 2lg 3lg 3 lg 2lg ann是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列l(wèi)g an -n 出 的通項41644164公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。六、利用迭代法求通項公式例11已知數(shù)列an滿足an 丁 =a3(n 1)2, a5，求數(shù)列an的通項公式。 解：因為an 1二a3(n 1)2n，所以3n 2n 丄 3( n 4-) 2n3n 2n 丄an =an43(n 二)n 2(n 2)(n 2 112(b2 1 -1)1 4 (b； -1) bn241624即 4b2 (bn 3)2因為 b n = .1 24a n 0，故 bn1 = .1 24

18、a n 1 01 3則 2bn 1 =bn 3，即 bn 1 bn=an 23(nN)2n 衛(wèi) 32(n J)n2(n(n 1= an _33由此可猜測a(2；n1)1)2-1，(n _2)(n J)n 2(n 旦(n -) (n 衛(wèi) 二an _33n -2 (n _2) (n J) n 21 2 ：(n 旦(n 2) (n 丄)=a!n(n衛(wèi)3n -n! 22二 ain(n J)又a1 =5，所以數(shù)列an的通項公式為an =53n!2 2。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式，即先將等式an 1 二1)2 兩邊取常用對數(shù)得 lg an .1 =3(n1) 2n Ig an

19、，即 lg 兀 1 =3(n1) 2n，再由lgann(n J)lg an lg an Jlg a3 lg a23n -n!2 2累乘法 可推知lg anIga1 =lg5，從而lganlgan/ Iga2 lg印3n丄簾2心an =52七、利用數(shù)學歸納法求通項公式例12已知數(shù)列an滿足an 1二an 一2，a-，求數(shù)列a.的通項公 (2n +1) (2n +3)9式。解:由 an 1 =an8( n +1)(2n1)2(2 n 3)2及a8，得a 2 二 a8(1+1)(2 11)2(2 13)22499 2525a3 = a28(2+1)(2 2 1)2(2 23)2248 348 !=2

20、525 49498(3+1)(2 3 1)2(2 3 3)2488 480 i 4949 8181往下用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論。所以等式成立。(1)當 n=1 時，a1(2 1 1)一 (2k3)2 一 2(k1) 12由此可知，當n=k+1時等式也成立。根據(jù)(1)( 2)可知，等式對任何 l N*評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前 通項公式，最后再用數(shù)學歸納法加以證明。八、利用換元法求通項公式例13已知數(shù)列an滿足an1 (1 4a . 1 24an )，a1 =1，求數(shù)列an的通項公16式。, 1解：令 bn =,：124an，則 an (bn -1)24故 an 1

21、 =(b： 1 -1)，代入 an 1 = (1 4an1 24an)得2416 1 2 _1 _8(2 11)29(2)假設(shè)當n=k時等式成立，即ak2(2k1)2 -1一 (2 k 1)2，則當n =k -1時,8(k +1)(2k1)2(2k3)2(2k 1)2 -18(k 1)2 2 2(2k1)(2k1) (2k3)2 2(2k1)2 -1(2k3)28(k1)2 2(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2 -(2k3)28(k 1)(2k1)2(2k3)2(2k1)2(2k3)2 -(2k1)2-(2k+1)2(2k+3)22 2n項，進而猜出數(shù)列的(2k3)-12(k1)

22、 1 -1可化為bn 1-3)， 1所以 -3是以bi亠-一1”2為首項，以-為公比的等比數(shù)列，因此bn -3 =2an =2(4)n(2)n3 421 n（2）1。3，則 bn =（1）n，+3，即.1 24an =（1）n，3，得評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將 .124an的換元為bn，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化1 3bn 1 =丄5 3形式，從而可知數(shù)列bn為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 bn 的通項公2 2式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。九、利用不動點法求通項公式例14已知數(shù)列an滿足an彳=2何一24，印=4，求數(shù)列an的通項公式。21x 243是函數(shù)咖二廠的4an +1解:令 x =21x 一24，得 4x2 -20x 24 =0，貝 U Xj =2,4x +121an -24-2(4an 1) _13an -26 _1321an -24 - 3(4an 1) 一 9an - 27 一 921an 242兩個不動點。因為丸1 一2 他 1an出 一321an 2434an 1_3a-2，所以數(shù)列-?-?是以=2為首項，以13為公比的等比數(shù)列，故a* - 3a* - 3a1 - 34 - 39an _ 2an -3評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)f(x)21x - 242ix 24的不動點，即方程an 1-2兩個根x2,，進而可推出am_39 an-34x 113