二、三重積分的計(jì)算技巧

1、二、三重積分的計(jì)算技巧 重積分的計(jì)算中，對(duì)積分區(qū)域的熟悉非常重要，以下關(guān)于重積分的幾種計(jì)算技巧均是基 于積分區(qū)域的特點(diǎn)分析歸納得出。 一、積分區(qū)域?yàn)閳A（二重積分） 或球（三重積分） 2 1、在閉區(qū)域D為x a2的圓，區(qū)域關(guān)于原點(diǎn), 坐標(biāo)軸均對(duì)稱(chēng)，則有 (1) x2 x2dxdy y2 a2 y2dxdy x2 y2 a2 （2）若m, n中有一個(gè)為奇數(shù)有 x2 y2 n x a2 ymdxdy 0. 例1 .求 x2 y2 a2 2 2 (X 3y )dxdy 解：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性, 原式=2 x2 (x2 a2 y2)dxdy = 2 a r3dr 0 例2.求 x2 (x 2 a2 2 3y)

2、dxdy 解：原式 X2 22 (x 9y 6xy)dxdy y2 a2 5 (x2 y2)dxdy a4. x2 y2 a22 例3.求 x2 z2 2 (x 3y 5z) dxdydz. a2 （積分區(qū)域?yàn)榍颍?解：原式 x2 z2 (x2 9y2 a2 30 yz 10 xz)dxdyd z. 35 瓦2 y2 (x2 z2 a2 y2 2 z )dxdydz 35 4 3.5 a5盔 a5. 3 2、在閉區(qū)域D為（x a)2 2 a的圓上 例4.求 (x a)2 x y2 a dxdy 2 解：原式= (x a (x a)2 y2 a2 2 a) dxdy 例5.求 2 x dxdy

3、歡迎下載9 (x a)2 y2 a2 解：原式 (x (x a)2 y2 a2 2 a a) dxdy 3、在閉區(qū)域 (x (x a)2 y2 a2 2 a) dxdy (x a)2 2a(x a)dxdy 2 2/ y a(x a)2 a2 dxdy 2 2 y a 2 2 2 D為(x a) (y b) c的圓上(處理方法同 2) 二、積分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)(化重積分為累次積分) 1區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng) 例6區(qū)域D由y X2與y 1圍成，求(xy2 D 2 2 x y )dxdy. 解：原式= 1 1 / x2y2dxdy.dx x2y2dy = Z D1 x227 2、區(qū)域關(guān)于y x對(duì)稱(chēng)，(x,

4、y) D,(y,x) D，有 f (x, y)dxdy f (y, x)dxdy. 例7 求 (xy2 yx2)dxdy.其中區(qū)域D為x 0,y 解: 2 2 原式= (yx yx )dxdy.=0. D 3yx2)dxdy.其中區(qū)域D為x2 (xy2 a2 0,y 解: 原式 2 2 =4 xy dxdy= 4 d D0 a 22 r cos r sin 0 rdr a =4 2 d r5 sin2 d sin 0 0 例9.求 D a (x) b (y)dxdy.其中區(qū)域 (x)(y) D 為 x2 y2 (x)為正值連續(xù)函數(shù)。 解: 根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知 a (X) b dxdy = D (x

5、)(y) D b (X) (x)冷. 則由 2 a (x) b (y)dxdy = (a b)dxdy = (a b)R2. D (x)(y)D 故原式等于丄(a b)R2. 2 例10.若函數(shù) 111 f (x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，并且f (x)dx A.求 dx f (x) f (y)dy 00 x 解：若 F(x,y) f(x)f(y)則有 F(x,y) F(y,x) 1 則 2 dx f (x) f (y)dy = dy f (x) f (y)dx 0 x00 1 1 + dx f(x)f(y)dy 0 x 11 f (x)dx f (y)dy = A2 00 11A2 則 dx f

6、(x) f (y)dy 的值為一 0 x2 三、形如(Jx2 y2 )dxdy或 x2 y2 a2 Jx2 x2 y2 z2 a2 2 z dxdydz.積分的相關(guān)運(yùn)算, 化重積分為定積分(利用極坐標(biāo)或球面坐標(biāo)) x2y2 a2 2 a (Jx2y2 )dxdy = d f (r)dr 0 0 a f(r)rdr 0 2 Jx2 y2 z2dxdydz = d d X2 y2 z2 a2000 r.r2 sin dr = 4 a f (r)r2dr 0 例 11.令 g(a)=(Jx2 y2 )dxdy,求 lim a 0 a x2 y2 a2a 解：lim-g(| = lim 2 f (a)

7、af(0). a 0 a2a 0 c， 2a 例 12.令 g(a) = Jx2y2 x2 y2 z2 a2 耳xdydz,求am 4 3 f(0)- 解：lim 學(xué)= limf a 0 a3a 0 3a2 例 13.若 g(a)=(Jx2 y2)dxdy , f(0) 0,f (0) 1，求 lim x2 y2 a2 g(a) 3 a 解：lim a 0 a g (a) 3a2 lim f(a) f(0) a 2 f（a）a =lim 2 3a2 a 0 四、固定變量替換（利用圖形尋找合適的變量替換） y)dxdy. 例 14.求ex y cos(x |x| |y| 2 解：令x y u,x

8、 u v xy u v .則可算出雅克比行列式 貝y原式=ev cosu -dudv D2 evdv cosudu e2 五、用正交變換計(jì)算重積分 用正交變換的方法計(jì)算重積分，在很多求重積分的題目中會(huì)有意想不到的便利。 正交變換（其幾何意義為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)）計(jì)算重積分的方法是一種特殊的變量替換。 例15.將 x2 y2 f (ax by) dxdy化為定積分 t2 解：設(shè) b1y a TO2b2 a1 則有 u= ax Ja2 b2 by ,ax by Ja2 b2u f(Ua2 b2u)dudv = du tJt2 u2 f &a2 b2u)dv 則 u)Jt2 u2du tJt2 u2 ,ax by cz by cz)dxdydz利用正交變換后u ,222 va b c I QQQ 則有 ax by cz J a b c u，則有: f (ax by cz)dxdydz x2 y2 z2 t2 I 222 fWa b c u)dudvdw = 2 ,2 W t t du t v2 w2 t2 f(J