河大高等數(shù)學(xué)(同濟(jì))下冊期末考試題及答案13頁

1、高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（一）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、 =的定義域?yàn)镈= 。2、二重積分的符號為 。3、由曲線及直線，所圍圖形的面積用二重積分表示為 ，其值為 。4、設(shè)曲線L的參數(shù)方程表示為則弧長元素 。5、設(shè)曲面為介于及間的部分的外側(cè)，則 。6、微分方程的通解為 。7、方程的通解為 。8、級數(shù)的和為 。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）1、二元函數(shù)在處可微的充分條件是（ ） （A）在處連續(xù)；（B），在的某鄰域內(nèi)存在；（C） 當(dāng)時，是無窮?。唬―）。2、設(shè)其中具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則等于（ ）（A）； （B）； (C)； (D)0 。3、設(shè)：則三重積分等于（ ）（A）4；（B）；

2、（C）；（D）。4、球面與柱面所圍成的立體體積V=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線L所圍成，L取正向，函數(shù)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 （A）； （B）； （C）； （D）。6、下列說法中錯誤的是（ ）（A） 方程是三階微分方程；（B） 方程是一階微分方程；（C） 方程是全微分方程；（D） 方程是伯努利方程。7、已知曲線經(jīng)過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線與直線平行，而 滿足微分方程，則曲線的方程為（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。8、設(shè) , 則（ ） （A）收斂； （B）發(fā)散； （C）不一定； （D）絕對收斂。三、求解下列問題（共計(jì)15分）1、

3、（7分）設(shè)均為連續(xù)可微函數(shù)。，求。2、（8分）設(shè)，求。四、求解下列問題（共計(jì)15分）。1、計(jì)算。（7分）2、計(jì)算，其中是由所圍成的空間閉區(qū)域（8分）五、（13分）計(jì)算，其中L是面上的任一條無重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)過原點(diǎn)的封閉曲線的逆時針方向。 六、（9分）設(shè)對任意滿足方程，且存在，求。七、（8分）求級數(shù)的收斂區(qū)間。高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（二）1、設(shè)，則 。2、 3、設(shè)，交換積分次序后， 。4、設(shè)為可微函數(shù)，且則 。 5、設(shè)L為取正向的圓周，則曲線積分 。6、設(shè)，則 。7、通解為的微分方程是 。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）。1、設(shè)函數(shù) ,則在點(diǎn)（0，0）處（ ） （A）連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；

4、（B）連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在； （C）不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在； （D）不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。2、設(shè)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 及 ，則（ ） （A）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部； （B）最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上； （C）最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上； （D）最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上。3、設(shè)平面區(qū)域D：，若，則有（ ） （A）； （B） ； （C）； （D）不能比較。4、設(shè)是由曲面及 所圍成的空間區(qū)域，則 =（ ） （A）； （B）； （C） ； （D）。5、設(shè)在曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為 ，其中在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且， 則曲

5、線積分（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D)。6、設(shè)是取外側(cè)的單位球面， 則曲面積分 =（ ）(A) 0 ； (B) ； (C) ； (D)。7、下列方程中，設(shè)是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。8、設(shè)級數(shù)為一交錯級數(shù)，則（ ） (A)該級數(shù)必收斂； (B)該級數(shù)必發(fā)散；(C)該級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散； (D)若，則必收斂。三、求解下列問題（共計(jì)15分） 1、（8分）求函數(shù)在點(diǎn)A（0，1，0）沿A指向點(diǎn)B（3，-2，2）的方向的方向?qū)?shù)。 2、（7分）求函數(shù)在由直線所圍成的閉區(qū)域D上的最大值和最小值。四、求解下列問題（共計(jì)15分） 1

6、、（7分）計(jì)算，其中是由及 所圍成的立體域。 2、（8分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，定義，其中，求。五、求解下列問題（15分） 1、（8分）求，其中L是從A（a，0）經(jīng)到O（0，0）的弧。 2、（7分）計(jì)算，其中是 的外側(cè)。六、（15分）設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線積分與路徑無關(guān)，求函數(shù)。高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（三）一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）1、設(shè)， 則 。 2、函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處沿的方向?qū)?shù)= 。 3、設(shè)為曲面所圍成的立體，如果將三重積分化為先對再對最后對三次積分，則I= 。 4、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則 ，其中。 5、 ，其中。 6、設(shè)是一空間有界區(qū)域，其邊界曲面是由有限塊分片光滑的曲面所

7、組成，如果函數(shù)，在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系式： ， 該關(guān)系式稱為 公式。 7、微分方程的特解可設(shè)為 。 8、若級數(shù)發(fā)散，則 。二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分） 1、設(shè)存在，則=（ ） （A）；（B）0；（C）2；（D）。 2、設(shè)，結(jié)論正確的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。3、若為關(guān)于的奇函數(shù)，積分域D關(guān)于軸對稱，對稱部分記為，在D上連續(xù)，則（ ） （A）0；（B）2；（C）4； (D)2。 4、設(shè)：，則=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。5、設(shè)在面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線L，在點(diǎn)處的線密度為，則曲線弧的重心的坐標(biāo)為（ ）（）=； （B

8、）=； （C）=； （D）=, 其中M為曲線弧的質(zhì)量。、設(shè)為柱面和在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則 曲面積分（ ）（A）0； （B）； （C）； （D）。、方程的特解可設(shè)為（ ）（A），若； （B），若；（C），若；（D），若。、設(shè)，則它的Fourier展開式中的等于（）（A）； （B）0； （C）； （D）。三、（分）設(shè)為由方程 確定的的函數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。四、（分）在橢圓上求一點(diǎn)，使其到直線的距離最短。五、（分）求圓柱面被錐面和平面割下部分的面積。六、（分）計(jì)算，其中為球面 的部分的外側(cè)。七、（10分）設(shè)，求。八、（10分）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（一）參

9、考答案一、1、當(dāng)時，；當(dāng)時，；2、負(fù)號； 3、； 4、；5、180； 6、；7、； 8、1；二、1、D； 2、D； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、1、；2、；四、1、；2、；五、令則，； 于是當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中不含O（0，0）時，在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得：I=0；當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中含O（0，0）時，在D內(nèi)除O（0，0）外都連續(xù)，此時作曲線為，逆時針方向，并假設(shè)為及所圍成區(qū)域，則六、由所給條件易得： 又 = 即 即 又 即 七、令，考慮級數(shù) 當(dāng)即時，亦即時所給級數(shù)絕對收斂；當(dāng)即或時，原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)即時，級數(shù)收斂；當(dāng)即時，級數(shù)收斂；級數(shù)的半徑為R=1，

10、收斂區(qū)間為1，3。高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（二）參考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、；5、； 6、； 7、； 8、0；二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；三、1、函數(shù)在點(diǎn)A（1，0，1）處可微，且； 而所以,故在A點(diǎn)沿方向?qū)?shù)為： + 2、由得D內(nèi)的駐點(diǎn)為且， 又 而當(dāng)時， 令得 于是相應(yīng)且 在D上的最大值為，最小值為四、1、的聯(lián)立不等式組為所以 2、在柱面坐標(biāo)系中 所以 五、1、連接，由公式得：2、作輔助曲面 ，上側(cè)，則由Gauss公式得： += = = 六、由題意得：即特征方程，特征根對應(yīng)齊次方程的通解為：又因?yàn)槭翘卣鞲９势涮亟饪稍O(shè)為：代入方程并整理得：即 故所求函數(shù)為：高等數(shù)學(xué)（下冊）考試試卷（三）參考答案一、1、； 2、； 3、；4、； 6、，公式； 7、 8、。二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于，由上兩式消去，即得： 四、設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)