2019年吉林省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(全國新課標(biāo)ⅱ)

1、2019 年吉林省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國新課標(biāo)）一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。21（ 5 分）設(shè)集合 A x|x 5x+6 0 ， B x|x 1 0 ，則 A B（）A （， 1）B （ 2， 1）C（ 3， 1）D（ 3， +）2（ 5 分）設(shè) z 3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A 第一象限B 第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限3（ 5 分）已知（2， 3）， （3， t ）， | | 1，則? （）A3B2C 2D 34（ 5 分） 2019 年 1 月 3 日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面

2、軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2 點的軌道運行 L 2點是平衡點，位于地月連線的延長線上設(shè)地球質(zhì)量為 M1，月球質(zhì)量為 M 2，地月距離為R，L2 點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r 滿足方程：+（ R+r）3設(shè) 由于 的值很小，因此在近似計算中 3，則r 的近似值為（）ARBRCRDR5（ 5 分）演講比賽共有9 位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、 1 個最低分， 得到 7 個有

3、效評分 .7 個有效評分與9 個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A 中位數(shù)B 平均數(shù)C方差D極差6（ 5分）若a b，則（）ab33A ln（ a b） 0B33C a b 0D |a| |b|分）設(shè)， 為兩個平面， 的充要條件是7（ 5則（）A 內(nèi)有無數(shù)條直線與 平行第1頁（共21頁）B 內(nèi)有兩條相交直線與 平行C， 平行于同一條直線D ， 垂直于同一平面8（ 5 分）若拋物線 y22px （ p 0）的焦點是橢圓+ 1 的一個焦點，則 p（）A2B3C4D89（ 5 分）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間（，）單調(diào)遞增的是（）A f（x） |cos2x|B f（ x） |sin2x|C f（

4、x ） cos|x|D f（ x） sin|x|10（ 5分）已知（0，）， 2sin2 cos2 +1，則 sin （）ABCD11（5分）設(shè)F 為雙曲線C： 1（ a 0， b 0）的右焦點，O 為坐標(biāo)原點，以222OF 為直徑的圓與圓 x+y a交于 P， Q 兩點若 |PQ| |OF | ，則 C的離心率為（）A B C 2D12 （ 5 分）設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域為R ，滿足 f（ x+1 ） 2f（ x），且當(dāng) x（ 0，1時， f（ x） x（ x1）若對任意x（， m ，都有f （x），則m 的取值范圍是（）A （，B （，C（，D（，二、填空題：本題共4 小題，每小題5

5、分，共20 分。13 （ 5 分）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10 個車次的正點率為0.97 ，有 20 個車次的正點率為0.98 ，有 10個車次的正點率為0.99 ，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為ax14（5 分）已知 f（ x）是奇函數(shù)， 且當(dāng) x0 時，（f x） e 若 f（ ln2 ） 8 ，則 a15（ 5 分） ABC 的內(nèi)角 A ， B， C 的對邊分別為 a ， b， c若 b 6， a 2c ， B，則 ABC 的面積為16（ 5 分）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南

6、北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體” （圖 1）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美圖2 是一個棱數(shù)為48 的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且第2頁（共21頁）此正方體的棱長為1則該半正多面體共有個面，其棱長為三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22 、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17 （ 12 分）如圖，長方體BE EC1ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E 在棱AA 1上，（ 1）證明： B

7、E 平面 EB 1C1；（ 2）若 AE A1E，求二面角 B EC C1 的正弦值18 （ 12 分） 11 分制乒乓球比賽，每贏一球得1 分，當(dāng)某局打成10 ： 10 平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2 分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5 ，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4 ，各球的結(jié)果相互獨立在某局雙方10 ： 10 平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X 個球該局比賽結(jié)束（ 1）求 P（ X 2）；（ 2）求事件“ X 4 且甲獲勝”的概率19（ 12 分）已知數(shù)列 a n 和 bn 滿足 a 1 1，b1 0， 4an+1 3an bn+4，4bn+

8、1 3b n an 4（ 1）證明： a n+b n 是等比數(shù)列， a nbn 是等差數(shù)列；第3頁（共21頁）（ 2）求 a n 和 bn 的通項公式20 （ 12 分）已知函數(shù)f（x） lnx （ 1）討論 f（ x）的單調(diào)性，并證明f （ x）有且僅有兩個零點；（ 2）設(shè) x0 是 f（ x）的一個零點，證明曲線y lnx 在點 A（ x0， lnx 0）處的切線也是曲線xy e 的切線21 （ 12 分）已知點A（ 2 ，0）， B（ 2， 0），動點M （ x， y）滿足直線 AM 與 BM 的斜率之積為記 M 的軌跡為曲線C（ 1）求 C 的方程，并說明C 是什么曲線；（ 2）過坐標(biāo)

9、原點的直線交C 于 P， Q 兩點，點P 在第一象限，PE x 軸，垂足為E，連結(jié) QE 并延長交C 于點 G（ i）證明： PQG 是直角三角形；（ ii ）求 PQG 面積的最大值（二）選考題：共10 分。請考生在第22 、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修 4-4 ：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （ 10 分）0， 0）（ 0 0）在曲線 C： 4sin 上，22（ 10 分）在極坐標(biāo)系中，O 為極點，點M （直線l 過點 A（ 4，0）且與OM 垂直，垂足為P（ 1）當(dāng) 時，求 及l(fā) 的極坐標(biāo)方程；00（ 2）當(dāng) M 在 C 上運動且P 在線段 OM 上時，求P 點軌跡

10、的極坐標(biāo)方程選修 4-5 ：不等式選講 （10分）23已知f（ x） |x a|x+|x 2|（ xa）（ 1）當(dāng) a 1 時，求不等式 f （x） 0 的解集；（ 2）當(dāng) x（， 1 ）時， f（ x） 0 ，求 a 的取值范圍第4頁（共21頁）2019 年吉林省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國新課標(biāo)）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。21（ 5 分）設(shè)集合A x|x 5x+6 0 ， B x|x 1 0 ，則 A B（）A （， 1）B （ 2， 1）C（ 3， 1）D（ 3， +）【分析】根據(jù)題意，求出

11、集合A、B，由交集的定義計算可得答案【解答】 解：根據(jù)題意，A x|x2 5x+6 0 x|x 3或 x 2 ，B x|x 1 0 x|x 1 ，則 A B x|x 1 （，1）；故選： A【點評】本題考查交集的計算，關(guān)鍵是掌握交集的定義，屬于基礎(chǔ)題2（ 5 分）設(shè)z 3+2i ，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A 第一象限B 第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【分析】求出 z 的共軛復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出復(fù)數(shù)所對應(yīng)點的坐標(biāo)即可【解答】解：z 3+2i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（3， 2），在第三象限故選：C【點評】本題考查共軛復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，屬基礎(chǔ)題3（ 5 分）已知（ 2， 3），（

12、3，t ），| 1，則?（）A3B2C2D3【分析】由先求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)| 1 ，可求 t，結(jié)合向量數(shù)量積定義的坐標(biāo)表示即可求解【解答】 解：（ 2， 3）， （ 3， t），（ 1， t 3）， |1，第5頁（共21頁） t 3 0 即 （ 1， 0 ），則?2故選：C【點評】本題主要考查了向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)試題4（ 5 分） 2019 年 1 月 3 日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉

13、格朗日L2 點的軌道運行L 2 點是平衡點，位于地月連線的延長線上設(shè)地球質(zhì)量為 M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2 點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r 滿足方程：+（ R+r）3設(shè) 由于 的值很小，因此在近似計算中 3，則 r 的近似值為（）A RB RCRDR3【分析】由 推導(dǎo)出3，由此能求出r R【解答】 解： r R ，r 滿足方程：+（ R+r ）3 3， r R故選：D【點評】 本題考查點到月球的距離的求法，考查函數(shù)在我國航天事業(yè)中的靈活運用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查運算求解能力，是中檔題5（ 5 分）演講比賽共有9 位評委分別給出某選手的原

14、始評分，評定該選手的成績時，從9第6頁（共21頁）個原始評分中去掉1 個最高分、1 個最低分，得到 7 個有效評分.7 個有效評分與9 個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（）A 中位數(shù)B 平均數(shù)C方差D極差【分析】根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的定義，分析可得答案【解答】解：根據(jù)題意，從9 個原始評分中去掉1 個最高分、1 個最低分，得到7 個有效評分，7 個有效評分與9 個原始評分相比，最中間的一個數(shù)不變，即中位數(shù)不變，故選：A【點評】本題考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的定義以及計算方法，屬于基礎(chǔ)題6（ 5 分）若 a b，則（）ab33A ln（ a b） 0B

15、3 3C a b 0D |a| |b|【分析】取 a 0， b 1，利用特殊值法可得正確選項【解答】解：取a 0， b 1，則ln（ a b） ln1 0 ，排除 A；，排除B；3333a 0 （ 1 ） 1 b ，故 C 對；|a| 0 | 1| 1 b ，排除D 故選：C【點評】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，利用特殊值法可迅速得到正確選項，屬基礎(chǔ)題7（ 5 分）設(shè)， 為兩個平面，則 的充要條件是（）A 內(nèi)有無數(shù)條直線與 平行B 內(nèi)有兩條相交直線與 平行C， 平行于同一條直線D ， 垂直于同一平面【分析】充要條件的定義結(jié)合面面平行的判定定理可得結(jié)論【解答】解：對于A， 內(nèi)有無數(shù)條直線與 平行，

16、 或 ；對于B， 內(nèi)有兩條相交直線與 平行， ；對于C， 平行于同一條直線， 或 ；7 頁（共21 頁）對于D， ， 垂直于同一平面， 或 故選：B【點評】本題考查了充要條件的定義和面面平行的判定定理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題8（ 5 分）若拋物線 y22px （ p 0）的焦點是橢圓+ 1 的一個焦點，則 p（）A2B3C4D8【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)以及橢圓的性質(zhì)列方程可解得【解答】解：由題意可得：3p p（）2，解得p8故選：D【點評】本題考查了拋物線與橢圓的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題9（ 5 分）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間（，）單調(diào)遞增的是（）A f（x） |cos2x|B f（ x） |si

17、n2x|C f（ x） cos|x|D f（ x） sin|x|【分析】根據(jù)正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性依次判斷，利用排除法即可求解【解答】解： f（ x） sin|x| 不是周期函數(shù)，可排除D 選項；f（ x） cos|x| 的周期為2 ，可排除C 選項；f（ x） |sin2x| 在處取得最大值，不可能在區(qū)間（，）單調(diào)遞增，可排除B故選：A【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性，考查了排除法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10（ 5 分）已知（ 0，）， 2sin2cos2+1，則 sin （）ABCD2【分析】由二倍角的三角函數(shù)公式化簡已知可得4sincos 2cos ，結(jié)合角

18、的范圍可求sin 0，cos 0 ，可得 cos 2sin ，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可解得sin 的值【解答】解：2sin2 cos2 +1，可得：4sin cos 2cos 2， （0， ）， sin 0， cos 0 ， cos 2sin ，第8頁（共21頁） sin 2 +cos 2 sin 2+（ 2sin ） 2 5sin 2 1，解得： sin 故選：B【點評】本題主要考查了二倍角的三角函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題11 （ 5 分）設(shè) F 為雙曲線C ： 1（ a 0， b 0）的右焦點，O 為坐標(biāo)原點，以222OF

19、為直徑的圓與圓 x+y a交于 P， Q 兩點若 |PQ| |OF |，則 C 的離心率為（）A B C 2D【分析】 由題意畫出圖形，先求出PQ ，再由 |PQ| |OF| 列式求 C 的離心率【解答】 解：如圖，22以 OF 為直徑的圓的方程為x +y cx 0，222又圓 O 的方程為x +y a ， PQ 所在直線方程為222把 x代入 x +y a ，得 PQ ，再由 |PQ| |OF | ，得，即 4a2（c2 a2） c4， e2 2，解得e故選：A【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題12 （ 5 分）設(shè)函數(shù) f（ x）的定義域為R ，滿足 f（

20、 x+1 ） 2f（ x），且當(dāng) x（ 0，1時， f（ x） x（ x 1）若對任意x（， m ，都有f （x），則 m 的取值范圍是（）A （，B （，C（，D（，第9頁（共21頁）【分析】因為f（ x+1 ）2f （ x），f（ x）2f（ x 1），分段求解析式，結(jié)合圖象可得【解 答 】 解 ： 因 為 f （ x+1 ） 2f （ x ）， f （ x ） 2f （ x 1 ）， x（ 0， 1時， f（ x） x（ x 1） ， 0， x（ 1， 2時， x 1（ 0，1 ，f （ x） 2f（ x 1） 2（ x 1）（ x 2） ，0； x（ 2， 3 時，x 1（ 1，2 ，

21、 f （ x） 2f（ x 1）4（ x 2）（x 3） 1， 0，當(dāng) x（ 2， 3時，由 4（ x 2）（x 3）解得 x或 x ，若對任意 x（， m，都有 f（ x），則 m 故選： B【點評】 本題考查了函數(shù)與方程的綜合運用，屬中檔題二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共20 分。13 （ 5 分）我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10 個車次的正點率為0.97 ，有 20個車次的正點率為0.98 ，有 10 個車次的正點率為0.99 ，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為0.98 【分析】 利用加權(quán)平均數(shù)公式直接求解【解答】 解：經(jīng)統(tǒng)計，

22、在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10 個車次的正點率為0.97 ，有 20 個車次的正點率為0.98 ，有 10 個車次的正點率為0.99 ，經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為：（ 10 0.97+20 0.98+10 0.99 ） 0.98第 10 頁（共 21 頁）故答案為：0.98 【點評】本題考查經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值的求法，考查加權(quán)平均數(shù)公式等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題ax14（ 5 分）已知f （ x）是奇函數(shù)，且當(dāng)x 0 時， f（ x） e 若 f（ ln2） 8，則 a3 【分析】奇函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)的運算可得結(jié)果【解答】解：f（

23、 x）是奇函數(shù)，f（ ln2 ）8，又當(dāng)x 0 時， f （ x）eax， aln2 f （ ln2 ） e 8， aln 2 ln 8， a 3故答案為： 3【點評】 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題15 （ 5 分） ABC 的內(nèi)角 A ， B， C 的對邊分別為a， b， c若 b6， a 2c ， B，則 ABC 的面積為【分析】 利用余弦定理得到c2，然后根據(jù)面積公式S ABC acsinB c2sinB 求出結(jié)果即可222【解答】 解：由余弦定理有b a +c 2accosB ， b 6， a 2c，B，222 36（ 2c） +c 4c cos ， c2

24、12 ， SABC ，故答案為：6【點評】本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題16 （ 5 分）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖 1）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美圖2 是一個棱數(shù)為48 的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且第 11 頁（共 21 頁）此正方體的棱長為1則該半正多面體共有26個面，其棱長為 1【分析】中間層是一個正八棱柱，有8 個側(cè)面，上層是有8+1 ，個面，下層也有8+1 個面，故共有26 個面；

25、半正多面體的棱長為中間層正八棱柱的棱長加上兩個棱長的cos45 倍【解答】解：該半正多面體共有8+8+8+2 26 個面，設(shè)其棱長為x，則 x+x+x1，解得x 1故答案為：26， 1【點評】本題考查了球內(nèi)接多面體，屬中檔題三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17 21 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22 、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17 （ 12 分）如圖，長方體ABCD A1B1 C1D1 的底面ABCD 是正方形，點E 在棱 AA 1 上，BE EC1（ 1）證明： BE 平面 EB 1C1；（ 2）若 AE A1

26、E，求二面角 B EC C1 的正弦值第 12 頁（共 21 頁）【分析】（1）推導(dǎo)出B1 C1 BE， BE EC 1，由此能證明BE 平面EB 1C1（ 2）以 C 為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角BEC C 1 的正弦值【解答】證明：（1）長方體 ABCD A1B1C1D1 中， B1C1平面 ABA 1B1， B1C1 BE， BE EC1， BE 平面 EB 1C1解：（2）以C 為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE A1E 1， BE 平面 EB 1C1， BE EB 1， AB 1，則 E（ 1， 1， 1），A（1， 1， 0），B1

27、（ 0， 1， 2）， C1（ 0， 0， 2）， C（ 0， 0， 0）， BC EB1， EB1面 EBC ，故取平面EBC 的法向量為（1， 0， 1），設(shè)平面ECC1的法向量（x， y ， z），由，得，取 x 1，得（ 1， 1， 0）， cos ，二面角BEC C 1 的正弦值為第 13 頁（共 21 頁）【點評】 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題18 （ 12 分） 11 分制乒乓球比賽，每贏一球得1 分，當(dāng)某局打成10 ： 10 平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2 分的一方獲勝，該局

28、比賽結(jié)束甲、乙兩位同學(xué)進行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5 ，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4 ，各球的結(jié)果相互獨立在某局雙方 10 ： 10 平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X 個球該局比賽結(jié)束（ 1）求 P（ X 2）；（ 2）求事件“ X 4 且甲獲勝”的概率【分析】（1）設(shè)雙方10： 10 平后的第k 個球甲獲勝為事件Ak（ k1， 2， 3， ? ），則 P（ X 2） P（ A1A2）+P （） P（ A1） P（ A2） +P（）P（），由此能求出結(jié)果（ 2）P（X 4 且甲獲勝） P（A2A3A4） +P（） P（）P（ A2）P（ A3）P（ A4）+P（ A1） P（） P

29、（A3）P（ A4），由此能求出事件“X 4 且甲獲勝”的概率【解答】 解：（ 1）設(shè)雙方10 ： 10 平后的第k 個球甲獲勝為事件Ak（ k 1， 2， 3，? ），則 P（ X 2） P（ A1A2）+P（） P（ A1） P（ A2）+P（） P（） 0.5 0.4+0.5 0.6 0.5 （ 2）P（ X4 且甲獲勝）P（A2A3A4） +P （） P（ ）P（ A2） P（ A3） P（ A4） +P（ A1）P（ ） P（A3） P（ A4）第 14 頁（共 21 頁）（0.5 0.4+0.5 0.6 ） 0.5 0.4 0.1 【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘

30、法公式等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，是中檔題19（ 12 分）已知數(shù)列 a n 和 bn 滿足 a 1 1，b1 0， 4an+1 3an bn+4，4bn+1 3b n an 4（ 1）證明： an+b n 是等比數(shù)列， a n bn 是等差數(shù)列；（ 2）求 an 和 b n 的通項公式【分析】（ 1）定義法證明即可；（ 2）由（ 1）結(jié)合等差、等比的通項公式可得【解答】解：（1）證明：4a n+1 3a n bn+4， 4b n+1 3b n an 4； 4（ an+1 +bn+1 ） 2（ an+b n ）， 4（ an+1 bn+1） 4（ an bn ）+8 ；即 an+1 +

31、bn+1 （ an+b n）， an+1 bn+1 an bn+2 ；又 a1+b 1 1， a1 b1 1，nn 是首項為 1，公比為的等比數(shù)列， a+b a nbn 是首項為 1，公差為 2 的等差數(shù)列；（ 2）由（ 1）可得： an+bn（ ）n 1，a n bn 1+2 （ n 1） 2n 1 ； an（ ）n +n ，b n（ ） n n+ 【點評】本題考查了等差、等比數(shù)列的定義和通項公式，是基礎(chǔ)題20 （ 12 分）已知函數(shù)f（x） lnx （ 1）討論 f（ x）的單調(diào)性，并證明f （ x）有且僅有兩個零點；（ 2）設(shè) x0 是 f（ x）的一個零點，證明曲線y lnx 在點 A

32、（ x0， lnx 0）處的切線也是曲線xy e 的切線【分析】（1）討論f（x）的單調(diào)性，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)根據(jù)函數(shù)零點大致區(qū)間求零點個數(shù)，（ 2）運用曲線的切線方程定義可證明【解答】解析：（1）函數(shù)f（ x） lnx 定義域為：（0， 1）（ 1，+）；第 15 頁（共 21 頁）f（ x）+ 0，（ x 0 且 x 1）， f （ x）在（0， 1）和（1， +）上單調(diào)遞增， 在（0， 1）區(qū)間取值有，代入函數(shù)，由函數(shù)零點的定義得， f （） 0， f（ ） 0， f（）?f （） 0， f （ x）在（0， 1）有且僅有一個零點，2 在（1， +）區(qū)間，區(qū)間取值有e， e 代入函數(shù)

33、，由函數(shù)零點的定義得，又f（ e）0， f（ e2）0， f （ e） ?f（ e2） 0， f （ x）在（ 1， +）上有且僅有一個零點，故 f（ x）在定義域內(nèi)有且僅有兩個零點；（ 2） x0 是 f （x）的一個零點，則有l(wèi)nx 0，曲線ylnx ，則有y；由直線的點斜式可得曲線的切線方程，曲線ylnx 在點A（x0， lnx 0）處的切線方程為：y lnx 0（ x x0），即：yx 1+lnx 0，將 lnx 0代入，即有：yx+，而曲線y ex 的切線中，在點（ln，）處的切線方程為：y（ x ln） x+lnx 0 ，將 lnx 0代入化簡，即：yx+，x故曲線 y lnx 在

34、點 A（ x0， lnx 0）處的切線也是曲線y e 的切線故得證【點評】 本題考查f（x）的單調(diào)性，函數(shù)導(dǎo)數(shù)，在定義域內(nèi)根據(jù)函數(shù)零點大致區(qū)間求零點個數(shù)，以及利用曲線的切線方程定義證明21（ 12 分）已知點 A（ 2，0）， B（ 2， 0），動點 M（ x， y）滿足直線AM 與 BM 的斜率第 16 頁（共 21 頁）之積為記M 的軌跡為曲線C（ 1）求 C 的方程，并說明C 是什么曲線；（ 2）過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P 在第一象限，PE x 軸，垂足為E，連結(jié) QE 并延長交 C 于點 G（ i）證明： PQG 是直角三角形；（ ii ）求 PQG 面積的最大值【分析】（ 1）利用直接法不難得到方程；（ 2）（ i）設(shè) P （ x0 ，y0），則 Q（ x0， y0）， E（ x0 ，0），