八上培優(yōu)5半角模型

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔八上培優(yōu) 5半角模型方法：截長補(bǔ)短圖形中，往往出現(xiàn)90套 45的情況，或者120套 60的情況。還有2套的情況。求證的結(jié)論一般是線段的和與差。解決的方法是：截長補(bǔ)短構(gòu)造全等三角形。旋轉(zhuǎn)移位造全等，翻折分割構(gòu)全等。截長法，補(bǔ)短法。勤學(xué)早和新觀察均有專題。勤學(xué)早在第49 頁，新觀察在第34 頁，新觀察培優(yōu)也有涉及，在第27頁 2 兩個例題， 29 頁有習(xí)題。這些題大同小異，只是圖形略有變化而已。證明過程一般要證明兩次全等。下面是新觀察第34 頁 14 題1. 如圖， 四邊形 ABCD中，A= C=90，D=60，AB=BC，E、F，分別在 AD、CD上，且EBF=60求證： EF=AE

2、+CF2. 如圖 2，在上題中，若E、F 分別在 AD、 DC的延長線上，其余條件不變，求證：AE=EF+CF3. 如圖， A=B=90 , CA=CB=4, ACB=120， ECF=60， AE=3, BF=2, 求五邊形ABCDE的面積 .文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔CCB DBAAFFEE4如圖 1在四邊形ABCD中AB=AD， B+ D=180， E、F 分別是邊BC、CD上的點(diǎn)， 且 BAD=2EAF（1）求證： EF=BE+DF；（2）在（ 1）問中，若將AEF繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、 F 分別運(yùn)動到BC、 CD延長線上時，如圖 2 所示，試探究EF、 BE、DF 之間的數(shù)量關(guān)系3

3、. 如圖 3，在四邊形 ABDC中， B+C=180，DB=DC，BDC=120，以 D為頂點(diǎn)作一個 60的角，角的兩邊分別交 AB、AC于 E、 F 兩點(diǎn)，連接 EF，探索線段 BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔勤學(xué)早第40 頁試題1. （ 1）如圖，已知 AB= AC, BAC=90， MAN=45, 過點(diǎn) C 作 NC AC交 AN于點(diǎn) N，過點(diǎn) B 作 BM 垂直 AB交 AM于點(diǎn) M，當(dāng) MAN在 BAC內(nèi)部時，求證： BM+CN =MN;BMGBMBMGNNNACACAC證明 :延長 MB到點(diǎn) G，使 BG=CN,連接 AG，證 ABG ACN(SAS)

4、,AN=AG,BAG= ,NAC. LGAM=GAB + BAM= CAN+ BAM=45= L MAN,證 AMN AMG(SAS), MN= MG= BM + BG= BM十 NC.證明二： ( 此證明方法見新觀察培優(yōu)第27 頁例 3)(2) 如圖 , 在(1) 的條件下，當(dāng) AM和 AN在 AB兩側(cè)時， (1) 的結(jié)論是否成立 ?請說明理由 .NNMBMBFACAC解 : 不成立，結(jié)論是 :MN=CN一 BM,證明略 .文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔基本模型二120 套 60 2. 如圖， ABC中 ,CA=CB,ACB=120,E 為 AB上一點(diǎn)， DCE=60 , DAE= 120，求證 :D

5、E=BECCAAFEBEBDD證明 :( 補(bǔ)短法 ) 延長 EB 至點(diǎn) F, 使 BF=AD,連接 CF,則 CBF CAD，CED CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3. 如圖 , ABC中 ,CA=CB, ACB=120，點(diǎn) E 為 AB上一點(diǎn)， DCE= DAE= 60，求證 :AD+DE= BE.CCDDAAEBEFB證明 :( 截長法 ) 在 BE上截取 BF=AD,連接 CF，易證 CBF CAD，CED ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比較：新觀察培優(yōu)版27 頁例 4 如圖， ABC是邊長為1 的等邊三角形，BDC是頂角， BDC= 120

6、的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個60角，角的兩邊分別交AB、 AC于 M、 N, 連結(jié) MN, 試求 AMN的周長 .AMNB2C31DP文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔分析 : 由于 MDN=60 , BDC=120，所以 BDM十 CDN=60，注意到DB=DC，考慮運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)法”將 BDM和 CDN移到一起，尋找全等三角形。另一方面, AMN 的周長AM+AN + MN= AB+AC+MN-BM- CN. 猜想 MN= BM+CN,證三角形全等解決.新觀察培優(yōu) 68 頁 例 5 如圖， 點(diǎn) A、 B(2,0) 在 x 軸上原點(diǎn)兩側(cè) , C 在 y 軸正半軸上 , OC平分 ACB.(1) 求 A 點(diǎn)坐

7、標(biāo) ;(2) 如圖 1, AQ 在 CAB內(nèi)部，P 是 AQ上一點(diǎn)， 滿足 ACB=AQB,AP=BQ. 試判斷 CPQ的形狀，并予以證明 ;(3) 如圖 2. BD BC交 y 軸負(fù)半軸于D. BDO=60 , F為線段 AC上一動點(diǎn)， E 在 CB延長線上，滿足 CFD+ E=180 .當(dāng) F 在 AC上移動時，結(jié)論: CE+CF值不變 ; CE- CF 值不變，其中只有一個正確結(jié)論，請選出正確結(jié)論并求其值.yyCCFDB13AOxP22 ED1AO BxG分析 :(1)由 A0C BOC得 AO= BO=2, A(- 2,0).(2) 由 ACP BCQ得 CP=CQ.(3) 由 BDB

8、C, BDO=60，可證得等邊 ABC.由角平分線和 DB_ BC的條件 , 運(yùn)用對稱性知 DA AC, 連結(jié) DA, 加上條件 CFD+ E=180，可證得ADF BDE, 于是 CE+CF=2AC= 2AB= 8.基本模型三2套文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔4.(1) 如圖 1，在四邊形ABCD中，AB=AD, B+D=180, E,F分別是 BC,CD上的點(diǎn)，且 EAF=12 BAD, 求證 :EF= BE+ DF;(2) 如圖 2, 在(1) 的條件下 , 若將 AEF繞點(diǎn) A逆時針旋轉(zhuǎn)， 當(dāng)點(diǎn) E,F 分別運(yùn)動到 BC,CD延長線上時，則 EF,BE,DF 之間的數(shù)量關(guān)系是EF=BE- DFG

9、ADFFADEBECBMC解 :(1)EF=BE+DF, 延長 FD 到點(diǎn) G，使 DG=BE,連接 AG,證 ABE ADG (SAS), . AE = AG,BAE=DAG， EAF=1 BAD,2 GAF=DAG+ DAF=BAE+DAF= BAD- EAF= EAF, EAF= GAF,證 AEF GAF(SAS),. EF= FG, FG=DG+ DF=BE+ DF,EF=BE +DF;(2)EF=BE DF.外地試題：文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔4探究：如圖， 點(diǎn) E、F 分別在正方形ABCD的邊 BC、CD上， EAF=45，連結(jié) EF，求證：EF=BE+DF應(yīng)用：如圖，在四邊形ABCD

10、中，點(diǎn) E、 F 分別在 BC、CD上， AB=AD， B+ D=90， EAF=12BAD，若 EF=3， BE=2，則 DF=5通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的下面是一個案例，請補(bǔ)充完整原題：如圖 1，點(diǎn) E、F 分別在正方形 ABCD的邊 BC、CD上， EAF=45，連接 EF，求證：EF=BE+DF（1）思路梳理 AB=AD，把 ABE繞點(diǎn) A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90至 ADG，可使 AB 與 AD重合 ADG=B=90， FDG= ADG+ADC=180，則點(diǎn) F、 D、 G共線根據(jù)，易證 AFG，從而得EF=BE+DF；（2）類比引申如圖 2，四邊形ABCD

11、中， AB=AD， BAD=90點(diǎn) E、 F 分別在邊BC、CD上， EAF=45若 B、D 都不是直角， 但當(dāng) B 與 D 滿足等量關(guān)系時，仍有 EF=BE+DF，請給出證明；（3）聯(lián)想拓展如圖 3，在 ABC中， BAC=90， AB=AC，點(diǎn) D、 E 均在邊 BC上，且 DAE=45，猜想 BD、 DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程7（ 1）如圖 1，在四邊形ABCD中，AB=AD， B=D=90，E、F 分別是邊BC、CD上的點(diǎn)， 且 AE=AF，EAF=1 BAD現(xiàn)有三種添加輔助線的方式：延長EB 至 G，使 BG=BE，連接AG；延長FD2至 G，使 DG=BE，連接 A

12、G；過點(diǎn) A 作 AG EF，垂足為 G；選擇其中一種方法添加輔助線，求證：EF=BE+FD；文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔（ 2）如圖 2，在四邊形 ABCD中， AB=AD，若 B+ D=180， EAF=1 BAD，證明（ 1）中結(jié)論2是否還成立？（3）如圖 3，在四邊形ABCD中，AB=AD， B+ADC=180， E、F 分別是邊 BC、CD延長線上的點(diǎn)，且 EAF=1 BAD，（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間2的數(shù)量關(guān)系，并證明8（ 1）如圖 1，在四邊形 ABCD中， AB=AD， B= D=90， E、 F 分別是邊 BC、 CD上的點(diǎn)，且 EAF=

13、1 BAD求證： EF=BE+FD21（2）如圖 2，在四邊形ABCD中，AB=AD， B+D=180，E、F 分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且 EAF=2BAD，（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、 BE、 FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（3）如圖 3，在四邊形ABCD中，AB=AD， B+ADC=180， E、F 分別是邊 BC、CD延長線上的點(diǎn)，且 EAF=1 BAD，（ 1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出線段EF、2BE、 FD它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明半角模型問題放到平面直角坐標(biāo)系中是什么樣子？文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔1如圖 1，在

14、平面直角坐標(biāo)系中，AOB為等腰直角三角形，A（ 4， 4）（1）求 B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖 2，若 C 為 x 正半軸上一動點(diǎn)， 以 AC為直角邊作等腰直角 ACD， ACD=90，連接 OD，求 AOD的度數(shù)；（3）如圖 3，過點(diǎn) A 作 y 軸的垂線交 y 軸于 E，F(xiàn) 為 x 軸負(fù)半軸上一點(diǎn)， G在 EF 的延長線上，以EG為直角邊作等腰 Rt EGH，過 A 作 x 軸垂線交 EH于點(diǎn) M，連 FM，等式 AM=FM+OF是否成立？若成立，請說明；若不成立，說明理由解：（ 1）如圖所示，作AE OB于 E，A（ 4， 4）， OE=4， AOB為等腰直角三角形，且AE OB， OE=EB

15、=4， OB=8，B（ 8， 0）；（ 2）如圖所示，作 AE OB于 E，DFOB于 F， ACD為等腰直角三角形，AC=DC， ACD=90即 ACF+DCF=90， FDC+ DCF=90， ACF= FDC，又 DFC= AEC=90， DFC CEA（AAS）， EC=DF=4， FC=AE， A（ 4，4）， AE=OE=4， FC=OE，即 OF+EF=CE+EF， OF=CE， OF=DF， DOF=45， AOB為等腰直角三角形， AOB=45， AOD= AOB+DOF=90；（3） AM=FM+OF成立，理由：如圖所示，在AM AE=OE=4，上截取 AN=OF，連 EN

16、又 EAN= EOF=90， AN=OF，A（ 4， 4）， EAN EOF（SAS），文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔 OEF=AEN， EF=EN，又 EM=EM，又 EGH為等腰直角三角形， NEM FEM（SAS）， GEH=45，即 OEF+ OEM=45， MN=MF， AEN+OEM=45 AM-MF=AM-MN=AN，又 AEO=90， AM-MF=OF， NEM=45 = FEM，即 AM=FM+OF；【點(diǎn)評】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型2如圖，直線 L 交 x

17、 軸、 y 軸分別于 A、 B 兩點(diǎn)， A（ a， 0） B（ 0，b），且（ a-b ） 2 +|b-4|=0 （1）求 A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2） C 為線段 AB上一點(diǎn)， C 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 3， P 是 y 軸正半軸上一點(diǎn)，且滿足 OCP=45，求 P 點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（ 2）的條件下，過 B 作 BD OC，交 OC、 OA分別于 F、D兩點(diǎn)， E 為 OA上一點(diǎn)，且 CEA= BDO，試判斷線段 OD與 AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（ 1）解：（ a-b ）2 +|b-4|=0 ， a-b=0 ， b-4=0 ， a=4， b=4，A（ 4， 0）， B（ 0，4）；（ 2）文案大全實(shí)

18、用標(biāo)準(zhǔn)文檔3如圖，已知A（ a， b）， ABy 軸于 B，且滿足 |a-2|+（b-2 ） 2=0，（ 1）求 A點(diǎn)坐標(biāo)；（ 2）如圖 1，分別以 AB， AO為邊作等邊三角形 ABC和 AOD，試判定線段 AC和 DC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（ 3）如圖 2，過 A 作 AE x 軸于 E，點(diǎn) F、 G分別為線段 OE、 AE上兩個動點(diǎn)，滿足 FBG=45，試探究 OFAG 的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，請說明理由FG2017-2018 江漢期中如圖點(diǎn) P 為 ABC的外角 BCD的平分線上一點(diǎn)，PA=PB（ 1）求證： PAC= PBC；（ 2）作 PE BC于

19、 E，若 AC=5， BC=11，求 S PCE： S PBE；文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔1（3）若 M、 N 分別是邊AC、 BC上的點(diǎn)，且MPN= APB，則線段AM、 MN、 BN之間有何數(shù)量關(guān)2系，并說明理由解：（ 1）如圖 1，過點(diǎn) P 作 PE BC于 E， PF AC+CF=BC-CE， 5+CF=11-CE， CE=CF=3， PFC PEC， S=S， PFCPEC Rt PAF Rt PEB， S PAF=SPEB， S： S =S： S PCE PBE PFCPFAAC于 F，=1CF PF： 1AC PFPC平分 DCB，22PE=PF，=CF： AC=3：（ 3+5）=3：

20、 8；在 Rt PAF和 Rt PEB中，PF PEPA PB，Rt PAF Rt PEB， PAC=PBC，（ 2 ） 如圖2 ，過點(diǎn)P 作PF AC 于F ，PE BC，CP是 BCD的平分線， PE=PF， PCF= PCE，PC=PC， PCF PCE， CF=CE，由（ 1）知， Rt PAF Rt PEB， AF=BE， AF=AC+CF， BE=BC-CE，（ 3）如圖 3，在 BC上截取 BQ=AM，在 PMA和 PQB中，PA PBPAM PBQMA BQ， PMA PQB， PM=PQ， MPA=QPB， APM+ QPA=APQ+ QPB，即： APB= MPQ，1 MP

21、N= APB，21 MPN= MPQ，2 MPN= QPN，文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔在 MPN和 QPC中， BN=AM+MNPN PN【點(diǎn)評】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定理和角平MPN QPN分線的定義，解（ 1）的關(guān)鍵是判斷出 PE=PF，MP QP，解（ 2）的關(guān)鍵是求出 CE=CF=3，解（ 3）的關(guān) MPN QPC，鍵是構(gòu)造全等三角形判斷出APB= MPQ，是MN=QN，一道中等難度的中考常考題2015-2016 江岸八上期末已知在 ABC中， AB=AC，射線 BM、BN在 ABC內(nèi)部，分別交線段AC于點(diǎn) G、 H（ 1）如圖 1，若 ABC=60、

22、 MBN=30，作 AE BN于點(diǎn) D，分別交 BC、BM于點(diǎn) E、 F求證： CE=AG；若 BF=2AF，連接 CF，求 CFE的度數(shù)；（ 2）如圖 2，點(diǎn) E 為 BC上一點(diǎn)， AE 交 BM于點(diǎn) F，連接 CF，若 BFE= BAC=2 CFE，直接寫出SV ABF=SV ACF【分析】（ 1）由 AB=AC， ABC=60得到 ABC為等邊三角形， 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BAC= ACB=60， AB=CA，求得 BFD= AFG=60，推出 EAC= GBA證得 GBA EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；如圖 1，取 BF 的中點(diǎn) K 連接 AK，由 BF=2AF，推出 FAK是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到FAK= FKA，求得 AKF 1 BFD 30 ，根據(jù)全等三角2形的性質(zhì)得到 AG=CE， BG=AE， AGB= AEC，推出 GAK EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 CFE= AKF即可得到結(jié)論；（2）如圖 2，在 BF 上取 BK=AF，連接 AK，推出 EAC= FBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到S A