八年級數(shù)學(xué)下冊第一章三角形的證明141角平分線課件新版北師大版03311101

1、 1.4 1.4 角平分線 第一課時(shí) 思考：思考： 要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場 （1）使它到公路，鐵路距離相等，如何設(shè)計(jì)？ （2）它到公路，鐵路距離相等且離公路, 鐵路的交叉處4米，應(yīng)建在何處？ （比例尺 1：20 000） 公路 鐵路 不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。 你有什么辦法？ A O B C 活 動(dòng) 1 再打開紙片 ，看看折痕 與這個(gè)角有何關(guān)系？ （對折） 1.什么是角平分線？怎樣畫角平分線？ 分別以，為 圓心大于 的長為 半徑作弧兩弧在AOB 的內(nèi)部交于 2 1 如何用尺如何用尺規(guī)作角的平分作角的平分線？ A 作法： 以為圓心，適當(dāng) 長為半徑作弧，交于， 交于 作射線

2、OC 則射線即為所求 探究角平分線的性質(zhì) (1)實(shí)驗(yàn)：將AOB對折，再折出一個(gè)直 角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展 開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得 出什么結(jié)論？ 活 動(dòng) 2 (2)猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. 同學(xué)甲、乙誰的畫法是正確的 ? 按照做一做的順序畫AOB的折痕OC ,過點(diǎn)P的垂線段 PE、PF ，并度量所畫PE、PF是否等長？ C C 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的 距離相等 議一議：由折一折和畫一畫你可得到什么猜想？議一議：由折一折和畫一畫你可得到什么猜想？ 已知：如圖，OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB， 垂足分別為D、E 求證：P

3、D=PE 證明：OC是AOB的平分線，PDOA，PEOB， 1=2，PDO=PEO=90 又OP=OP PDOPEO(AAS) A O C B 1 2 P D E 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。 定理：角平分線上的點(diǎn)到這定理：角平分線上的點(diǎn)到這 個(gè)角的兩邊距離相等個(gè)角的兩邊距離相等. OC是AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn)， PDOA,PEOB,垂足分別是D,E(已知) PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距 離相等). A O C B 1 2 P D E 如圖，AD平分BAC（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這 個(gè)角的兩邊的距離相等。 AD C B BD CD （） 判

4、斷 1. AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知） = ，（ ） DB DC 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè) 角的兩邊的距離相等。 A D C B 不必再證全等不必再證全等 2. ， 1、在RtABC中，BD是角平分線， DEAB，垂足為E，DE與DC相等嗎？ 為什么？ A B C D E 知識應(yīng)用知識應(yīng)用 2、如圖 ,OC是AOB 的平分線 ,點(diǎn)P在 OC上,PDOA,PEOB,垂足分別是 D、 E,PD=4cm,則 （1）PE=_cm. （2）P點(diǎn)到OB的距離_cm. A D O B E P C ? 反過來，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是 否一定在這個(gè)角的平分線上呢？否一定在這個(gè)角的平分線

5、上呢？ （前提 條件） 已知：如圖,PDOA，PEOB， 點(diǎn)D、E為垂足，PDPE 求證：點(diǎn)P在AOB的平分線 上 A O C B 1 2 P D E 已知：在AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，且PDOA，PEOB，D、E為垂足且 PD=PE，求證：點(diǎn)P在AOB的角平分線上 證明：PDOA，PEOB， PDO= PEO=90 在RtODP和RtOEP中 OP=OP，PD=PE RtODP RtOEP(HL) 1=2(全等三角形對應(yīng)角相等) 點(diǎn)P在AOB的角平分線上 A O C B 1 2 P D E 判定定理： 在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距 離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上 . PDOA,PEOB,垂足分別

6、是 D,E(已知), 且PD=PE, 點(diǎn)P在AOB的平分線上 .(在一個(gè)角的內(nèi) 部,且到 角的兩邊距離相等的點(diǎn) ,在這個(gè)角的平分線上 ). A O C B 1 2 P D E 這樣，我們又可以得到一個(gè)結(jié)論： 要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場 （1）使它到公路，鐵路距離相等，如何設(shè)計(jì)？ （2）它到公路，鐵路距離相等且離公路, 鐵路的交叉處4米，應(yīng)建在何處？ （比例尺 1：20 000） 公路 鐵路 A B 例例1 1 已知:如圖,在ABC中,BAC=60點(diǎn)D在BC 上，AD=10，DEAB,DFAC,垂足分別是 E,F,且 DE=DF,求DE的長. A B C D E F 小組合作完成。 證明：DEAB，D

7、FAC DE DF AD平分BAC 又BAC=60 BAD=30, 在tADE中，AED=90，AD=10 DE= ? AD= ? 10=5 ? 已知:如圖,在ABC中,AD是它的角平分線,且 BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是E,F. ? 求證:BE=CF. A B E D C F 證明：AD平分平分CAB DEAB，DFAC DE DF(角平分線的性質(zhì)) 在tBDE和RtCDF中, DE=DF （已證） BD=CD（已知） RtBDERtCDF (HL) BE=CF （全等三角形對應(yīng)邊相等） ? 已知:如圖,在ABC中，BD=CD,DEAB, DFAC,垂足分別是E,F.且BE=C

8、F ? 求證:AD是BAC的角平分線. A B E D C F 證明：DEAB，DFAC DEB=CFD=90 在tBDE和RtCDF中, BE=CF （已證） BD=CD（已知） RtBDERtCDF (HL) DE DF(全等三角形對應(yīng)邊相等) 又DEAB，DFAC 點(diǎn)D在A的角平分線上。即ADAD是它的角平分線 ? 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,AD是它的角平分是它的角平分 線,DEAB,DFAC,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F. ? 求求: AD與EF關(guān)系？ A B E D C F 證明:AD平分CAB DEAB，DFAC DE DF(角平分線的性質(zhì)) DAE=D

9、AF DEB=CFD=90 ADE=ADF,即AD是EDF的角平分線 DE DF, AD是EDF的角平分線 AD垂直平分EF.(三線合一） O 鞏固提高 已知：在等腰RtABC中，AC BC C90，AD平分 BAC，DEAB于點(diǎn)E。 求證：BDDE AC 變式 已知AB 15cm, 求DBE的周長 E D C B A 1.1.用尺規(guī)作角平分線 2.角平分線的性質(zhì)定理： 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等. . 3.角平分線的判定定理： 在一個(gè)角的內(nèi)部, ,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn), ,在這個(gè)角的平分 線上. . 1.如圖（1），AD平分BAC，點(diǎn)P在AD上，若 PEAB，PFAC，則 PE_PF. 2.如圖（2），PDAB，PEAC，且 PD=PE，連