九級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第2章 圓小結(jié)與復(fù)習(xí)課件（新版）湘教版

1、第2章 圓 小結(jié)與復(fù)習(xí) 要點(diǎn)梳理考點(diǎn)講練 課堂小結(jié)課后作業(yè) 一.與圓有關(guān)的概念 1.圓:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形. 2.弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段. 3.直徑:經(jīng)過圓心的弦是圓的直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦. 4.劣弧:小于半圓周的圓弧. 5.優(yōu)弧:大于半圓周的圓弧. 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理 6.等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧. 7.圓心角:頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交. 8.圓周角:頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交. 注意 (1)確定圓的要素：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定 大小(2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓. 9.外接圓、內(nèi)接正多邊形:將一個(gè)圓n(n3)等分，依 次連接各等分點(diǎn)

2、所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接 正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓. 10.三角形的外接圓 外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心. 注意 (1)三角形的外心是三角形三條邊的垂直平 分線的交點(diǎn)(2)一個(gè)三角形的外接圓是唯一的. 11.三角形的內(nèi)切圓 內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心. 注意 (1)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的 交點(diǎn)(2)一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的. 12.正多邊形的相關(guān)概念 (1)中心：正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓 心，稱其為正多邊形的中心. (2)半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑. (3)邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊 形的

3、邊心距. (4)中心角：正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓 的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角. 二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離d與圓 的半徑r比較得到 設(shè)O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有 點(diǎn)P在圓內(nèi)；dr 點(diǎn)P在圓上；d=r 點(diǎn)P在圓外.dr 注意點(diǎn)與圓的位置關(guān) 系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心 的距離與半徑之間的關(guān) 系；反過來，也可以通 過這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn) 與圓的位置關(guān)系 2.直線與圓的位置關(guān)系 設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離 直線與圓的 位置關(guān)系 圖形 d與r的關(guān)系 公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 公共點(diǎn)名稱 直線名稱 2個(gè) 交點(diǎn) 割線 1個(gè) 切點(diǎn)

4、切線 0個(gè) 相離相切 相交 dr d=r dr 三、 圓的基本性質(zhì) 1. 圓的對(duì)稱性 圓是軸對(duì)稱圖形，它的任意一條_所在的直 線都是它的對(duì)稱軸. 直徑 2. 有關(guān)圓心角、弧、弦的性質(zhì). (1)在同圓中，如果圓心角相等，那么 它們所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等. (2)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、 兩條弧和兩條弦中有一組量相等，那么 它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等. 圓心角 相等 弧 相等 弦 相等 (2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于 這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??； 平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦. 三、 有關(guān)定理及其推論 1.垂徑定理 (1)垂徑定理：垂直于弦的

5、直徑平分這條弦，并且 平分弦所對(duì)的 . 注意 條件中的“弦”可以是直徑；結(jié)論 中的“平分弧”指平分弦所對(duì)的劣弧、優(yōu)弧 兩條弧 2.圓周角定理 (1)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的 圓心角度數(shù)的一半. (3)推論2：90的圓周角所對(duì)的弦是直徑. 注意 “同弧”指“在一個(gè)圓中的同一段弧”； “等弧”指“在同圓或等圓中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改為“同弦或等弦” (4)推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ). (2)推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的 圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)弧相等. 3.與切線相關(guān)的定理 (1)判定定理：經(jīng)過圓的半徑的外端且垂直于這 條半徑的直線是圓的切線. (

6、2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑. (3)切線長(zhǎng)定理：經(jīng)過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條 切線，它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線 平分這兩條切線的夾角. 四、 圓中的計(jì)算問題 1.弧長(zhǎng)公式 半徑為R的圓中，n圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l=_. 180 n R 2.扇形面積公式 半徑為R，圓心角為n的扇形面積S= _. 2 360 nR1 2 lR 或 3.弓形面積公式 O O 弓形的面積=扇形的面積三角形的面積 4.圓內(nèi)接正多邊形的計(jì)算 (1)正n邊形的中心角為 360 n (2)正n邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r之間的關(guān)系 222 ( ) . 2 a Rr (3)邊長(zhǎng)a，邊心距r的正n邊形的面積

7、為 11 . 22 Snarlr 其中l(wèi)為正n邊形的周長(zhǎng). 考點(diǎn)一 圓的有關(guān)概念及性質(zhì) 例1 如圖，在 O中，ABC=50，則CAO 等于（） A30B40C50D60 B 例2 在圖中，BC是O的直徑，ADBC,若D=36, 則BAD的度數(shù)是（ ） A. 72 B.54 C. 45 D.36 A BC D B 例3 O的半徑為R，圓心到點(diǎn)A的距離為d，且R、d 分別是方程x26x80的兩根，則點(diǎn)A與O的位 置關(guān)系是（ ） A點(diǎn)A在O內(nèi)部 B點(diǎn)A在O上 C點(diǎn)A在O外部 D點(diǎn)A不在O上 解析：此題需先計(jì)算出一元二次方程x26x80的 兩個(gè)根，然后再根據(jù)R與d的之間的關(guān)系判斷出點(diǎn)A 與 O的關(guān)系.

8、 D 1.如圖所示，在圓O中弦ABCD，若ABC=50， 則BOD等于（） A50B40C100D80 C 針對(duì)訓(xùn)練 135 2.如圖a，四邊形ABCD為O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為 劣弧BC上的任意一點(diǎn)（不與B,C重合），則BPC的 度數(shù)是 . C D B A P O 圖a 考點(diǎn)二 垂徑定理 例4 工程上常用鋼珠來測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè) 鋼珠的直徑是10mm,測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為 8mm,如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長(zhǎng)度為 mm. 8mm A B 8 C D O 解析 設(shè)圓心為O，連接AO,作出過 點(diǎn)O的弓形高CD，垂足為D,可知 AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 進(jìn)

9、行計(jì)算，AD=4mm，所以 AB=8mm. 2 A OB C E F 圖a 3.如圖a，點(diǎn)C是扇形OAB上的AB的任意一點(diǎn)，OA=2, 連接AC,BC,過點(diǎn)O作OE AC,OF BC，垂足分別為 E,F，連接EF，則EF的長(zhǎng)度等于 . （ 針對(duì)訓(xùn)練 3 A B C D P O 圖b D P 4.如圖b,AB是 O的直徑，且AB=2，C,D是同一半圓 上的兩點(diǎn)，并且AC與BD的度數(shù)分別是96 和36 ， 動(dòng)點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，則PC+PD的最小值 是 . （ （ 例5 如圖，在RtABC中，ABC=90，以AB為直 徑的O交AC于點(diǎn)D，連接BD. 考點(diǎn)三 切線的判定與性質(zhì) 解：（1）AB是直

10、徑，ADB=90. AD=3，BD=4，AB=5. CDB=ABC， A=A， ADBABC， 即 BC= DDB =, ABBC A 34 =, 5BC 20 . 3 （1）若AD=3，BD=4，求邊BC的長(zhǎng). 又OBD+DBC=90，C+DBC=90， C=OBD，BDO=CDE. AB是直徑， ADB=90， BDC=90， 即BDE+CDE=90. BDE+BDO=90，即ODE=90. ED與O相切. （2）證明：連接OD，在RtBDC中， E是BC的中點(diǎn)，CE=DE，C=CDE. 又OD=OB，ODB=OBD. （2）取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與O相切. 例6 （多解題）

11、如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O， AOD=30 ,半徑為1cm的P的圓心在射線OA上，且 與點(diǎn)O的距離為6cm,如果P以1cm/s的速度沿由A向B的 方向移動(dòng)，那么 秒鐘后P與直線CD相切. 4或8 解析： 根本題應(yīng)分為兩種情況：(1)P在直線CD下面與 直線CD相切；(2)P在直線CD上面與直線CD相切. AB D C PP2 P1 E 解析 連接BD，則在RtBCD 中，BEDE，利用角的互余 證明CEDC. 例7 如圖，在RtABC中，ABC=90，以AB為 直徑的O交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的切線交BC于E. （1）求證：BC=2DE. 解：（1）證明：連接BD， AB為直徑，ABC=90，

12、 BE切O于點(diǎn)B. 又DE切O于點(diǎn)D，DE=BE， EBD=EDB. ADB=90， EBD+C=90， BDE+CDE=90. C=CDE，DE=CE. BC=BE+CE=2DE. （2）DE=2，BC=2DE=4. 在RtABC中，tan, AB C BC AB=BC = 5 2 2 5 在RtABC中， 2222 (2 5)46.ACABBC 又ABDACB， DAB =, ABAC A 即 D2 5 =, 62 5 A 10 AD=. 3 （2）若tanC= ,DE=2，求AD的長(zhǎng). 5 2 B 北 60 30 A C 例8 如圖，已知燈塔A的周圍7海里的范圍內(nèi)有暗礁， 一艘漁輪在B處

13、測(cè)得燈塔A在北偏東60的方向，向東 航行8海里到達(dá)C處后，又測(cè)得該燈塔在北偏東30的 方向，如果漁輪不改變航向，繼續(xù)向東航行，有沒有 觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由. （參考數(shù)據(jù) =1.732）3 解析：燈塔A的周圍7海里都是暗礁，即表示以A為圓 心，7海里為半徑的圓中，都是暗礁.漁輪是否會(huì)觸礁， 關(guān)鍵是看漁輪與圓心A之間的距離d的大小關(guān)系. B 北 60 30 A C B 北 60 30 A C D 解：如圖，作AD垂直于BC于D， 根據(jù)題意，得BC=8.設(shè)AD為x. ABC=30，AB=2x. BD= x. ACD=90-30=60， AD=CDtan60， CD= . BC=BD-CD=

14、 =8. 解得 x= 3 3 3 x 2 3 3 x 4 34 1.7326.9287. 即漁船繼續(xù)往東行駛，有觸礁的危險(xiǎn). 5.如圖b，線段AB是直徑，點(diǎn)D是O上一點(diǎn)， CDB=20 ,過點(diǎn)C作O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,則E等于 . O C A B E D 圖b 50 針對(duì)訓(xùn)練 6. 如圖， O為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O 為圓心， OA長(zhǎng)為半徑的O與BC相切于點(diǎn)M. (1)求證：CD與O相切； A BC D O M (1)證明：過點(diǎn)O作ONCD于N.連接OM BC與O相切于點(diǎn)M, OMC=90 , 四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O在AC上. AC是BCD的角平分線， ON=OM， CD與

15、O相切. N A BC D O M (2)解: 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AC= . 設(shè)O的半徑為r,則OC= . 又易知OMC是等腰直角三角形， OC= 因此有 ，解得 . 2 2r 2r 22rr22r （2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求O的半徑. 7. 已知：如圖，PA，PB是 O的切線，A、B為切點(diǎn)， 過 上的一點(diǎn)C作 O的切線，交PA于D，交PB于E. (1)若P70，求DOE的度數(shù)； AB 解：(1)連接OA、OB、OC， O分別切PA、PB、DE于點(diǎn)A、B、C， OAPA，OBPB，OCDE,ADCD,BECE， OD平分AOC，OE平分BOC. DOE AOB. PAOB18

16、0，P70， DOE55. 1 2 (2) O分別切PA、PB、DE于A、B、C， ADCD，BECE. PDE的周長(zhǎng)PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm) (2)若PA4 cm，求PDE的周長(zhǎng) 例9 如圖，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)B、C在以點(diǎn)O為圓 心的圓上, OA=1,AOC=120，1=2，求扇形 OEF的面積？ 解：四邊形OABC為菱形 OC=OA=1 AOC=120，1=2 FOE=120 又點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓上 2 1201 = 3603 S 扇形OEF 考點(diǎn)四 弧長(zhǎng)與扇形面積 8. 一條弧所對(duì)的圓心角為135 ，弧長(zhǎng)等于半徑為5cm 的圓的周長(zhǎng)的3倍，則這條弧的半徑為

17、 . 40cm 針對(duì)訓(xùn)練 9. 如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)有一條折線段，其中 AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，F(xiàn)C=10，求 圖中陰影部分的面積. 解：將線段FC平移到直線AE上，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)E重合， 點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)C的位置.連接AC，如圖所示. 根據(jù)平移的方法可知，四邊形EFCC是矩形. AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8. 在RtACC中，得 2222 AC= AC +CC = 16 +8 =8 5 正方形ABCD外接圓的半徑為4 5 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 AC AB=4 10 2 22 =4 54 10=80160S 陰影 （） （） 24 3 例10 若一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)為24，則該正六邊形 的面積為_. 考點(diǎn)五 圓內(nèi)接正多邊形的有關(guān)計(jì)算 10. 如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為5的 O， 四邊形EFGH是正方形 求正方形EFGH的面積； 解：正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等， EF=OF=5. 四邊形EFGH是正方形， FG=EF=5， 正方形EFGH的面積是25. 針對(duì)訓(xùn)練 正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等， OFE=600. 正方形的內(nèi)角是900， OFG=OFE +EFG=600+900=1500. 由得OF=FG， OGF= （1800-OFG） = （1800-1500）=150. 1 2 1 2 連接OF、OG，