初中數(shù)學論文：引導學生反思提高思維能力

1、引導學生反思，提高思維能力 隨著新課程在全國的全面推廣，新課程所強調(diào)的“以學生為主體，以全面、主動發(fā)展為目的，關(guān)注每一個學生的情感、態(tài)度、價值觀和一般能力的發(fā)展，突出數(shù)學思維能力的培養(yǎng)，增進理解和應用”的理念越來越被人們所接受。如何培養(yǎng)和提高學生的思維能力被提到了突出的位置。心理學研究表明，思維是學習過程中智力活動的核心，思維能力的提高與學習活動中及時，深刻反思密切相關(guān)。因此，荷蘭著名數(shù)學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力。在數(shù)學活動中引導學生及時地、多角度的反思，能促使他們從新的角度，多層次多側(cè)面地對問題進行全面考察、分析與思考，可以為學生形成積極主動的、多樣的學習方式創(chuàng)

2、造有利條件，從而激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，養(yǎng)成獨立思考，積極探索的習慣，對思維能力的提高大有裨益。一、 反思問題的條件解決好一個問題之后，若能從問題條件出發(fā)，試著去弱化、加強或改變條件看是否還能有類似的結(jié)論。問題1 如圖，若與外切于a，bc是與的外公切線，b、c為切點，則反思：兩圓相切時有結(jié)論成立，由圓與圓的位置關(guān)系聯(lián)想到，兩圓外離或相交時，結(jié)論是否成立。1o2oab圖1c變題1：若與外離，bc是與外公切線，b、c為切點，連心線分別交、于m、n，bm、cn的延長線交于p，則bp與cp是否垂直？變題2：若與相交，bc是與公切線，b、c為切點，連心線分別交、于m、n，q是線段mn上一點，連結(jié)bq、c

3、q，則bq與cq是否垂直？2o1onmqbc圖3事實上變題1結(jié)論成立，變題2結(jié)論不成立。問題2：設如圖4，o是邊長為的正方形abcd的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為直角的扇形紙板的圓心放在o點處，并將紙板繞o點旋轉(zhuǎn)，求證：正方形abcd的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值。分析：設扇形與正方形邊交于m、n，連結(jié)ao，do，易證，則，因此，被覆蓋部分為abconm12?5abcdeomnabcdomn圖4 反思：對正方形有結(jié)論成立，若改為正三角形，正五邊形或正邊形會如何？變題3：如圖5，將一塊半徑足夠長的扇形紙板圓心放在邊長為的正三角形或邊長為的正五邊形中心o點處，并將紙板繞o點旋轉(zhuǎn)，當扇形紙板的

4、圓心角分別為多少度時，正三角形和正五邊形被覆蓋部分總長為定值分析：由圓及正三角形的對稱性，可知，則因此，因為，所以，即圓心角。同理可得正五邊形中圓心角為變題4：將一塊半徑足夠長的扇形紙板圓心放在邊長為的正邊形的中心o處，并將紙板繞o點旋轉(zhuǎn)，當扇形紙板的圓心角分別為多少度時，正邊形的邊被紙板覆蓋部分總長度為定值。分析：因為正邊形內(nèi)角為，在理解了上面幾種情形后，不難求出扇形圓心角為二、 反思問題的結(jié)論不改變問題條件，對問題結(jié)論做進一步反思，看能否有其他或更一般的結(jié)論。問題3：已知和外切于p點，直線ab切于a，切于b，的半徑為r，的半徑為r（rr），求證：分析：這是圓與圓位置關(guān)系中的一個基本圖形，連

5、結(jié)ap并延長交于d，連結(jié)bp并延長交于c，連結(jié)ac，bda1o2obcdp圖61o2oabefpq圖7a1o2obcp圖8 易證abp為直角三角形，因此apc=bpd=。所以ac、bd為直徑，再證，可得解完本題后，做進一步反思，還能得到什么結(jié)論？ 注意到abd，abc均為，ap，bp為高，結(jié)合勾股定理和射影定理可得到 pabpbd pabpca 改變輔助線添法，變化如圖7，則可以得到eqf，進一步思索，還可以得到一些結(jié)論。 變圖如圖8，可證pacbpc，進一步可得 在數(shù)學學習中，對一些有意義的問題若都能嘗試著做這樣的反思，則能達到“通一題會一片”。三、 反思相關(guān)聯(lián)的知識俗話說：牽一發(fā)而動全身。

6、數(shù)學知識是一個完整的體系，許多知識是相關(guān)聯(lián)的，認真反思這種聯(lián)系，則能做到舉一反三。例如，二次三項式，二次函數(shù)，二次不等式0（0），二次方程就有密切的聯(lián)系，通過方程的解，韋達定理，二次函數(shù)圖象就能有機地把它們串起來。因此，學習了這些知識之后，應該及時反思它們之間的聯(lián)系，做到舉一反三。又例如：相交弦定理、切割線定理、切線長定理可以通過（圓冪定理）聯(lián)系起來。四、 反思解題方法美妙的方法是師生在解決問題時的共同追求，不滿足于現(xiàn)有解法，是思維積極活動的體現(xiàn)。問題4：已知，且，求的值解法一：用求根公式，分別求出兩方程根，得 或，或（0，舍去）由于，所以當時，解法二：和可以看作方程兩根，又因為0，所以方程有兩個不等實根，又已知，則由根與系數(shù)關(guān)系得，即解法三：由于，兩式相減，得 ，因式分解得 即 在數(shù)學學習過程中，應該學會做到及時，多