2019屆高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量 第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運算課件 文

1、第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算 總綱目錄 教材研讀 1.向量的有關概念 考點突破 2.向量的線性運算 3.共線向量定理 考點二平面向量的線性運算 考點一平面向量的有關概念 考點三共線向量定理的作用 1.向量的有關概念向量的有關概念 名稱定義備注 向量既有大小大小又有方向方向的量;向量的大 小叫做向量的長度長度(或模模) 向量由方向和長度確定,不受位置影 響 零向量長度為0的向量;其方向是任意的記作0 單位向量長度等于1個單位個單位的向量非零向量a的單位向量為 平行向量方向相同相同或相反相反的非零向量0與任意向量 平行平行或共線 共線向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量又叫做共線 向量

2、相等向量長度 相等相等且方向 相同相同的向量兩向量不能比較大小 相反向量長度 相等相等且方向 相反相反的向量0的相反向量為0 | a a 教材研讀教材研讀 2.向量的線性運算向量的線性運算 向量運算定義法則(或幾何意義)運算律 加法求兩個向量和的運算 三角形三角形法則 平行四邊形平行四邊形法則 (1)交換律:a+b=b+a; (2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c) 減法若b+x=a,則向量x叫做a與b 的差,求兩個向量差的運算, 叫做向量的減法 三角形三角形法則 數(shù)乘實數(shù)與向量a相乘,叫做向 量的數(shù)乘 (1)|a|=|a|;(2)當0時,a的方向與a的方向 相同相同;當0時,a的方向與a

3、的方向相反相反;當= 0時,a=0 (a)=()a; (+)a=a+a; (a+b)=a+b 向量運算的常用結(jié)論向量運算的常用結(jié)論 (1)在ABC中,D是BC的中點,則=(+); (2)O為ABC的重心的充要條件是+=0; (3)四邊形ABCD中,E為AD的中點,F為BC的中點,則+=2. AD 1 2 AC AB OA OB OC AB DC EF 3.共線向量定理共線向量定理 向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù),使得b=a. 1.下列說法正確的是() A.就是所在的直線平行于所在的直線 B.長度相等的向量叫相等向量 C.零向量長度等于0 D.共線向量是在同一條直線上的向量

4、AB CD AB CD C 答案答案C包含所在的直線與所在的直線平行和重合兩 種情況,故A錯;相等向量不僅要求長度相等,還要求方向相同,故B錯;零 向量長度為0,故C正確;共線向量可以是在同一條直線上的向量,也可以 是所在直線互相平行的向量,故D錯. AB CD AB CD 2.如圖,D,E,F分別是ABC各邊的中點,則下列結(jié)論錯誤的是() A.= B.與共線 C.與是相反向量 D.=| EF CD AB DE BD CD AE 1 2 AC D 答案答案D根據(jù)向量的有關概念可知,=,=-,= ,|=|. EF CD AB DE BD CD AE 1 2 AC AE 1 2 AC 3.對于非零

5、向量a,b,“a+b=0”是“ab”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案答案A若a+b=0,則a=-b,故ab; 反之,ab/a+b=0. A 4.在四邊形ABCD中,=,且|=|,那么四邊形ABCD為() A.平行四邊形B.菱形 C.長方形D.正方形 AB DC AB BC 答案答案B=,則四邊形ABCD為平行四邊形.又|=|,則四邊 形ABCD為菱形,故選B. AB DC AB BC B 5.在 ABCD中,=a,=b,=3,M為BC的中點,則= (用a,b表示). AB AD AN NC MN 答案答案-a+b 1 4 1 4 解析

6、解析由=3,得=(a+b),又=a+b,所以=- =(a+b)-=-a+b. AN NC AN 3 4 AC 3 4 AM 1 2 MN AN AM 3 4 1 2 ab 1 4 1 4 6.已知a與b是兩個不共線向量,且向量a+b與-(b-3a)共線,則=. 答案答案- 1 3 解析解析由題意知存在kR,使得a+b=k-(b-3a), 所以解得 , 13 , k k 1 , 3 1 . 3 k 典例典例1給出下列命題: 若|a|=|b|,則a=b; 若A、B、C、D是不共線的四點,則=是四邊形ABCD為平行四 邊形的充要條件; 若a=b,b=c,則a=c; 兩向量a、b相等的充要條件是|a|

7、=|b|且ab; 如果ab,bc,那么ac. 其中真命題的序號為. AB DC 考點一平面向量的有關概念考點一平面向量的有關概念 考點突破考點突破 答案答案 解析解析不正確.兩個向量的模相等,但它們的方向不一定相同,因此由| a|=|b|推不出a=b. 正確.若=,則|=|且. 又A、B、C、D是不共線的四點, 四邊形ABCD是平行四邊形. 反之,若四邊形ABCD是平行四邊形,則AB平行DC且與方向相同,因 此=. AB DC AB DC AB DC AB DC AB DC 正確.a=b,a、b的長度相等且方向相同. b=c,b、c的長度相等且方向相同. a、c的長度相等且方向相同,a=c.

8、不正確.當ab,但方向相反時,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故 | |,ab a b 不是a=b的充要條件. 不正確.若b=0,則a與c不一定共線. 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) 理解向量有關概念的五個關鍵點 (1)向量定義的關鍵是方向和長度. (2)非零共線向量的關鍵是方向相同或相反,長度沒有限制. (3)相等向量的關鍵是方向相同且長度相等. (4)單位向量的關鍵是方向沒有限制,但長度都是一個單位長度. (5)零向量的關鍵是方向沒有限制,長度是0,規(guī)定零向量與任何向量共 線. 1-1判斷下列四個命題: 若ab,則a=b;若|a|=|b|,則a=b;若|a|=|b|,則ab;若a=b,則|a|=|

9、b|. 其中正確的個數(shù)是() A.1B.2C.3D.4 A 答案答案A只有正確. 1-2設a,b都是非零向量,下列四個條件中,使=成立的充分條件 是() A.a=-bB.ab C.a=2bD.ab且|a|=|b| | a a| b b 答案答案C因為向量的方向與向量a相同,向量的方向與向量b相 同,且=,所以向量a與向量b方向相同,故可排除選項A,B,D. 當a=2b時,=,故a=2b是=成立的充分條件. | a a| b b | a a| b b | a a 2 |2 | b b| b b| a a| b b C 考點二平面向量的線性運算考點二平面向量的線性運算 命題方向命題視角 向量的線性

10、運算用基底表示向量 根據(jù)向量的線性運算求參數(shù)已知向量的基底表示,利用平面向量基本定理求 參數(shù)的值 典例典例2(1)(2018福建福州質(zhì)檢)設D為ABC所在平面內(nèi)一點,=3, 則() A.=-+B.=- C.=+D.=- (2)在四邊形ABCD中,=,AC與BD交于點O,E是線段OD的中點,AE 的延長線與CD交于點F,則() A.=+B.=+ C.=+D.=+ BC CD AD 1 3 AB 4 3 AC AD 1 3 AB 4 3 AC AD 4 3 AB 1 3 AC AD 4 3 AB 1 3 AC BC AD AF 1 3 AC 2 3 BD AF 2 3 AC 1 3 BD AF 1

11、 4 AC 2 3 BD AF 2 3 AC 1 4 BD 命題方向一向量的線性運算命題方向一向量的線性運算 解析解析(1)=+=+=+=+(-)=-+ .故選A. (2)在四邊形ABCD中,因為=,所以四邊形ABCD為平行四邊形,如 圖所示.由已知得=,由題意知DEFBEA,則=,所以 =(-)=, 所以=+=+=+,故選B. AD AB BD AB BC CD AB 4 3 BC AB 4 3 AC AB 1 3 AB 4 3 AC BC AD DE 1 3 EB DF 1 3 AB CF 2 3 CD 2 3 OD OC 2 32 BDAC 3 BDAC AF AC CF AC 3 BD

12、AC 2 3 AC 1 3 BD 答案答案(1)A(2)B 典例典例3(1)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=60,AD為BC邊上的高,O為 AD的中點,若=+,其中,R,則+等于() A.1B.C.D. (2)在ABC中,點M,N滿足=2,=.若=x+y,則x= ,y=. AO AB BC 1 2 1 3 2 3 AM MC BN NC MN AB AC 命題方向二根據(jù)向量的線性運算求參數(shù)命題方向二根據(jù)向量的線性運算求參數(shù) 答案答案(1)D(2);- 1 2 1 6 解析解析(1)由題意易得=+=+, 2=+,即=+. 故+=+=. (2)由=2知M為AC上靠近C的三等分點,由=知N為

13、BC的中 點,作出草圖如下: AD AB BD AB 1 3 BC AO AB 1 3 BC AO 1 2 AB 1 6 BC 1 2 1 6 2 3 AM MC BN NC 則有=(+), 所以=-=(+)-=-, 又因為=x+y, 所以x=,y=-. AN 1 2 AB AC MN AN AM 1 2 AB AC 2 3 AC 1 2 AB 1 6 AC MN AB AC 1 2 1 6 方法技巧方法技巧 平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略 (1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則. (2)求已知向量的和.一般共起點的向量求和用平行四邊形法則,求差用 三角形法則

14、;求首尾相連向量的和用三角形法則. (3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關系,通過向量的運算將向量表 示出來,進行比較求參數(shù)的值. 提醒:注意應用初中平面幾何的知識,如平行線分線段成比例定理、相 似三角形的性質(zhì)等,可以簡化運算. 2-1在ABC中,N是AC邊上一點且=,P是BN上一點,若=m +,則實數(shù)m的值是. AN 1 2 NC AP AB 2 9 AC 1 3 答案答案 1 3 解析解析因為=,所以=,所以=m+=m+, 因為P是BN上一點,所以B,P,N三點共線,所以m+=1,則m=. AN 1 2 NC AN 1 3 AC AP AB 2 9 AC AB 2 3 AN 2 3 1 3

15、 典例典例4設兩個非零向量a與b不共線. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求證:A,B,D三點共線; (2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線. AB BC CD 考點三共線向量定理的應用考點三共線向量定理的應用 解析解析(1)證明:=a+b,=2a+8b,=3(a-b), =+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5, ,共線,又它們有公共點B, A,B,D三點共線. (2)ka+b與a+kb共線, 存在實數(shù),使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b. 又a,b是兩個不共線的非零向量, AB BC CD BD BC CD AB AB BD k-=k-1=0

16、.k2-1=0.k=1. 探究探究若將本例(2)中的“共線”改為“反向共線”,則k為何值? 解析解析因為ka+b與a+kb反向共線, 所以存在實數(shù),使ka+b=(a+kb)(0), 所以所以k=1. 又0,k=,所以k=-1. 故當k=-1時,兩向量反向共線. , 1, k k 規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) (1)證明三點共線問題,可用向量共線解決,但應注意向量共線與三點共 線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線. (2)向量a,b共線是指存在不全為零的實數(shù)1,2,使1a+2b=0成立. 3-1已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,則() A.A,B,C三點共線B.A,B,D三點共線 C.A,C,D三點共線D.B,C,D三點共線 AB BC CD 答案答案B=+=2a+