高中數學導數與函數知識點歸納總結

1、高中導數與函數知識點總結歸納一、基本概念1. 導數的定義：設 x 0 是函數yf ( x) 定義域的一點，如果自變量x 在 x0 處有增量x ，則函數值y 也引起相應的增量y f ( x0x)yf ( x0 ) ；比值x率；如果極限limyf ( x0xlimx 0x 0yf (x) 在 x0 處的導數 。f ( x0x) f (x0 ) 稱為函數 yf (x) 在點 x0 到 x0x 之間的 平均變化xx) f ( x0 )f ( x) 在點 x 0 處可導，并把這個極限叫做存在，則稱函數 yxfx 在點 x0處的導數記作 y x x0f( x0 ) limf ( x0x) f ( x 0

2、)x0x2 導數的幾何意義： （求函數在某點處的切線方程）函數 yf (x) 在點 x0 處的導數的幾何意義就是曲線y f ( x) 在點 ( x0 , f ( x) 處的切線的斜率，也就是說，曲線 yf (x) 在點 P( x0 , f ( x) 處的切線的斜率是f ( x0 ) ，切線方程為 y y0 f (x)(xx0 ).3基本常見函數的導數 :C0; （ C為常數） xnnx n 1;(sin x)cos x ; (cos x)sin x ; (ex )ex ; (a x)ax ln a ;ln x1 l o gax1;log a e .xx二、導數的運算1. 導數的四則運算：法則

3、1：兩個函數的和( 或差 ) 的導數 , 等于這兩個函數的導數的和( 或差 ) ，即：f x g xf x g x法則 2：兩個函數的積的導數, 等于第一個函數的導數乘以第二個函數, 加上第一個函數乘以第二個函數的導數，即：f x g xf x g xf x g x常數與函數的積的導數等于常數乘以函數的導數：(Cf ( x) Cf ( x). ( C 為常數 )法則3：兩個函數的商的導數，等于分子的導數與分母的積，減去分母的導數與分子的積，再除以分母的平方：fxf x g xf x gxgxg2g x 0。x2. 復合函數的導數形如 yf ( x) 的函數稱為 復合函數 。法則：f (x)f

4、()*( x) .三、導數的應用1. 函數的單調性與導數（1）設函數yf ( x) 在某個區(qū)間 (a,b) 可導，如果如果ff( x)0，則 f ( x)( x)0，則 f ( x)在此區(qū)間上為增函數；在此區(qū)間上為減函數。（2）如果在某區(qū)間內 恒有 f ( x)0 ，則 f ( x)為常函數 。2函數的極點與極值：當函數f (x) 在點 x0處連續(xù)時，如果在x0 附近的左側f如果在x0 附近的左側f( x)( x) 0，右側 f ( x) 0，那么 f ( x0 ) 是極大值；0，右側 f ( x) 0，那么 f ( x0 ) 是極小值 .3函數的最值：一 般 地 ， 在 區(qū) 間 a, b 上

5、 連 續(xù) 的 函 數f (x) 在 a,b 上 必 有 最 大 值 與 最 小 值 。 函 數f ( x) 在區(qū)間 a,b上的最值只可能在區(qū)間端點及極值點處取得。求函數 f ( x) 在區(qū)間 a,b上最值 的一般步驟： 求函數 f ( x) 的導數，令導數 f ( x)0 解出方程的跟在區(qū)間 a, b 列出 x, f (x), f (x) 的表格，求出極值及 f (a)、 f (b) 的值 ; 比較端點及極值點處的函數值的大小，從而得出函數的最值。4相關結論總結：可導的奇函數函數其導函數為偶函數.可導的偶函數函數其導函數為奇函數.四、函數的概念1. 函數的概念設 A 、 B 是兩個非空的數集，

6、如果按照某種對應法則f ，對于集合 A 中任何一個數 x ，在集合 B 中都有唯一確定的數f ( x) 和它對應， 那么這樣的對應 （包括集合A ， B 以及 A 到 B 的對應法則f ）叫做集合 A 到 B的一個函數，記作f : AB 函數的三要素: 定義域、值域和對應法則只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數才是同一函數五、函數的性質1. 函數的單調性定義及判定方法函數的定義性 質如果對于屬于定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x1 、x2 , 當 x1 x 2 時，都有 f(x 1)f(x 2 ) ， 那 么 就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數 函數的單調性如果對于屬于定義域I內

7、某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值 x 1、 x2 ，當 x1 f(x 2 ) ， 那 么 就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數 圖象判定方法（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數的yy=f(X)f(x )單調性2f(x1 )（ 3）利用函數圖象（在o某個區(qū)間圖x1x2x象上升為增）（ 4）利用復合函數（ 1）利用定義（ 2）利用已知函數的yy=f(X)單調性f(x )1（ 3）利用函數圖象（在f(x)2o某個區(qū)間圖x 1x 2x象下降為減）（ 4）利用復合函數在公共定義域內，兩個增函數的和是增函數，兩個減函數的和是減函數，增函數減去一個減函數為增函數，減函數減去一個增函數為減函數 對于 復 合 函數

8、yf g (x) ， 令 ug ( x) ，若 yf (u) 為 增 ， ug ( x) 為 增 ， 則yyf g( x) 為 增 ； 若 yf (u) 為 減 ， ug (x) 為 減 ， 則yf g( x) 為增 ；若 yf (u) 為增 ， ug( x) 為減，則 yf g( x) 為減；若yf (u) 為減， ug ( x) 為增，則 yf g ( x) 為減aox（2）打“”函數 f (x)x(a 0) 的圖像與性質xf (x) 分別在 (,a 、 a,) 上為增函數，分別在a , 0) 、 (0,a 上為減函數2. 最大（?。┲担ㄝ^常用導數求函數最值，類比記憶函數的極值）一般地，

9、設函數 yf ( x) 的定義域為 I ，如果存在實數M 滿足：（ 1）對于任意的 xI ，都有 f ( x)M ；（ 2）存在 x0I ，使得 f (x0 )M 那么，我們稱 M是函數 f (x)的最大值，記作 fmax ( x)M 一般地， 設函數 yf ( x) 的定義域為 I ，如果存在實數 m 滿足：（1）對于任意的 xI ，都有 f ( x)m ；（ 2）存在 x0I ，使得 f ( x0 )m 那么，我們稱m 是函數 f ( x) 的最小值，記作f max ( x) m 3. 奇偶性定義及判定方法函數的定義圖象判定方法性 質如果對于函數f(x)定義域內（ 1）利用定義（要先任意一個 x，都有 f( x)= 判斷定義域是否關于f(x),那么函數 f(x)叫做奇函原點對稱）數（ 2）利用圖象（圖象函數的關于原點對稱）奇偶性如果對于函數f(x)定義域內（ 1）利用定義（要先任意一個 x，都有 f( x)= f(x) ,判斷定義域是否關于那么函數 f(x)叫做偶函數 原點對稱）（ 2）利用圖象（圖象關于 y 軸對稱）若函數