高三圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第八章圓錐曲線專題復(fù)習(xí)一、橢圓方程 .1. 橢圓的第一定義：PF1PF22aF F2方程為橢圓 ,1PF1PF22aF F2無軌跡 ,1PF1PF 22aF1F2 以F1,F 2為端點(diǎn)的線段2橢圓的方程形式：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上： x2y21(a b 0) . ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y 軸上：b2a2y2x21(a b 0) .a 2b 2 一 般 方 程 ： Ax 2By 2 1( A 0, B0) . 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 ： x 2y 21 的 參 數(shù) 方 程 為a 2b2 yxa cos （一象限應(yīng)是屬于 0） .( bcos , bsin )N x

2、( acos ,asin )yb sin2注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N (a cos , b sin)3橢圓的性質(zhì)：頂點(diǎn)： ( a,0)(0, b) 或 ( 0, a)( b,0) .軸：對(duì)稱軸：焦 點(diǎn) ： ( c,0)(c,0) 或 ( 0, c)(0, c) . 焦 距 ： F 1F 22acy.離心率：e(0e1) .焦半徑：ca方程的軌跡為橢圓.N 的軌跡是橢圓x 軸， y 軸；長軸長 2a ，短軸長 2b .2c, ca2 b 2 . 準(zhǔn) 線 ： xa 2或ci. 設(shè) P( x0 ,y 0 ) 為橢圓 x2y 21(a b 0) 上的一點(diǎn)， F 1,F 2 為左、右焦點(diǎn)，則：a2b

3、 2PF 1 a ex0 , PF 2aex0a2 )(a2證明：由橢圓第二定義可知：pF(aex(x0),pFx)ex(0)e xcea x歸結(jié)起10002c000來為 “左加右減 ”.ii. 設(shè) P( x0 ,y 0 ) 為橢圓 x 2y 21(ab 0)上的一點(diǎn)， F 1,F 2 為上、下焦點(diǎn)，則：b2a 2PF1 a ey0 , PF 2aey0通徑：垂直于 x 軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通徑：2b 2b 2b2da 2；坐標(biāo)： ( c,a ),(c,a )4共離心率的橢圓系的方程：橢圓x 2y 21(ab 0) 的離心率是 ec (ca2b2 ) ，方a 2b2a程x2y 20 的參數(shù)， a

4、b0) 的離心率也是ca2t(t 是大于e我們稱此方程為共離心率的b 2a橢圓系方程 .5若 P 是橢圓： x 2y21 上的點(diǎn) . F,F2為焦點(diǎn)，若FPF2，則 PF F2的面積為a 2b 2111b 2 tan（用余弦定理與PF 1PF 22a 可得） . 若是雙曲線，則面積為b2cot2 .2二、雙曲線方程 .1. 雙曲線的第一定義：PF 1PF 22aF 1F 2方程為雙曲線PF 1PF 22aF 1F 2無軌跡PF 1PF 22aF 1F 2 以 F 1 ,F 2的一個(gè)端點(diǎn)的一條射線2雙曲線的方程： 雙 曲 線 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ：x 2y21(a, b 0),y 2x21(a, b

5、 0) .一 般 方 程 ：a 2b2a 2b 2Ax 2Cy 21( AC0) .3雙曲線的性質(zhì)：i. 焦點(diǎn)在 x 軸上：頂點(diǎn)： (a,0), (a,0)焦點(diǎn)： (c,0), (c,0)a2準(zhǔn)線方程 x漸近線c方程： xy0 或 x 2y 20 ii. 焦點(diǎn)在 y 軸上：頂點(diǎn)： (0, a), (0, a) .焦點(diǎn)： (0, c), (0, c) . 準(zhǔn)aba 2b 2a2yx0 或 y2x2xa sec線方程：y.漸近線方程：0，參數(shù)方程：或caba 2b 2yb tanxb tan.ya sec軸 x, y 為對(duì)稱軸， 實(shí)軸長為 2a, 虛軸長為2b，焦距 2c.離心率 ec .準(zhǔn)線距

6、2a 2ac（兩準(zhǔn)線的距離） ；通徑 2b 2.參數(shù)關(guān)系 c2 a 2b 2 , ec .焦半徑公式：對(duì)于雙曲線aa方程 x 2y 21（ F1,F 2 分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）a 2b 2“長加短減”原則：MF 1ex0 aMF 22aM F 1ex0aMF 2構(gòu)成滿足 MF 1M F 2（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半ex0 aex0 a徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）yyMF 1ey0 aMMF 1MF 2 ey0aMxxF 1F2M F 1ey0aM F 2ey0aMF 24 等軸雙曲線：雙曲線 x 2 y 2a 2 稱為等軸雙曲線， 其漸近線方程為 yx ，離

7、心率 e2 .5共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛 雙 曲 線 . x 2y 2與 x 2y2互 為 共 軛 雙 曲 線 ， 它 們 具 有 共 同 的 漸 近 線 ：a 2b 2a 2b 2x2y 20 .a2b 26共漸近線的雙曲線系方程：x2y 2(0)的漸近線方程為x 2y 2a 2b 2a0 如果雙曲線的2b 2漸近線為 xyx2y2(0) .0 時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為b 2aba2例如：若雙曲線一條漸近線為y1 x 且過 p(3,1 ) ，求雙曲線的方程？y22x2y 21 ) 得 x2y2432解：令雙曲線的方程為：(0) ，代入 (

8、3,1.428217直線與雙曲線的位置關(guān)系：5 3xF1F2區(qū)域：無切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計(jì)2 條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，1 條切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計(jì)3 條；3區(qū)域： 2 條切線， 2 條與漸近線平行的直線，合計(jì)4 條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1 條切線， 1 條與漸近線平行的直線，合計(jì)2 條；區(qū)域：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線.注意：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、 2、3、4 條 .若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)， 求確定直線的斜率可用代入法與“ ”漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).若 P 在雙曲

9、線 x 2y 21 ，則常用結(jié)論1：P 到焦點(diǎn)的距離為m 與 n，則 P 到兩準(zhǔn)a 2b2PF 1線的距離比為m n. 簡(jiǎn)證：d 1emd 2=.PF 2ne：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程 .設(shè) p0 ，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：y 2 2 pxy 2 2 pxx 2 2 pyx 2 2 py圖形 yyy yxxxxOOOO焦點(diǎn)F (pF (pF (0,pF (0,p,0),0)2222準(zhǔn)線xpxpypyp2222范圍x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0對(duì)稱軸x 軸y 軸頂點(diǎn)（0， 0）離心率e 1焦點(diǎn)PFpPFpPFpPFp

10、x1x1y1y12222注意： ay 2by cx 頂點(diǎn) ( 4acb 2b ) .4a2a y22 px ( p0) 則焦點(diǎn)半徑 PFxP ;x 22py( p 0) 則焦點(diǎn)半徑為 PF yP .22通徑為 2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.x2pt2x2 pt y22px （或 x 22 py ）的參數(shù)方程為（或）（ t 為參數(shù)） .y2 pt 2y2pt關(guān)于拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)結(jié)論：設(shè)AB為過拋物線 y2=2px (p0 )焦點(diǎn)的弦， A(x 1， y1) 、B (x 2 ,y 2 ) , 直線 AB的傾斜角為，則：p22; |AB|=2 p；x 1x2=， y 1y2= psin24以

11、AB 為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；焦點(diǎn)F 對(duì) A、 B 在準(zhǔn)線上射影的張角為900 ；112| FA | FB |.P四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.1. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F 和定直線 l 的距離之比為常數(shù) e 的點(diǎn)的軌跡 .當(dāng) 0 e 1 時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng) e 1 時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng) e 1 時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng) e0 時(shí)，軌跡為圓（ ec ，當(dāng) c0, a b 時(shí)） .a2. 圓錐曲線方程具有對(duì)稱性 . 例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的 .因?yàn)榫哂袑?duì)稱性，所以欲證AB=CD,即證 AD 與 BC 的中點(diǎn)重合即可.3.當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確，而無法確定

12、其標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可設(shè)方程為x2y2m=1 （ m0，nn0 且 mn），這樣可以避免討論和繁雜的運(yùn)算，橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程均可用簡(jiǎn)單形式22且 m n ；若mx +ny =1（ mn 0）來表示， 所不同的是： 若方程表示橢圓， 則要求 m0，n0方程表示雙曲線，則要求mn0，利用待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，應(yīng)注意此方法的合理使用，以避免討論。4. 雙曲線是具有漸近線的曲線，復(fù)習(xí)中要注意以下兩個(gè)問題：x2y21中的常（1）已知雙曲線方程，求它的漸近線方程，將雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2b2a數(shù)“ 1”換成“ 0”，即得x2y2xya2b2 =0，然后分解因式即可得到其漸近線方程a=0；若b求中心不在原點(diǎn)，對(duì)

13、稱軸平行于坐標(biāo)軸的雙曲線的漸近線方程，只需將雙曲線方程x， y 分別配方，然后將常數(shù)“1”換成“ 0 ”，再分解因式，則可得漸近線方程，例如雙曲線( x 2)2y2(x 2)2y22 =1 的漸近線方程為32 =0，即 y 3（ x+2），因此，如果雙曲線的方3程已經(jīng)確定，那么它的漸近線方程也就確定了。（2）求已知漸近線的雙曲線方程，已知漸近線方程為axby =0 時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為a2 x2b2 y2(0) ，再利用其他條件確定的值，求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法，如果已知雙曲線的漸近線，雙曲線方程卻不是惟一確定的。5、在建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的坐標(biāo)系時(shí)，以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為一條坐標(biāo)軸

14、建立坐標(biāo)系，這樣不僅具有對(duì)稱性，而且曲線過原點(diǎn)，方程不含常數(shù)項(xiàng)，形式更為簡(jiǎn)單，便于應(yīng)用。五直線和圓錐曲線的位置關(guān)系: 相交，相切，相離。1直線與圓錐曲線C 位置關(guān)系的判斷:判斷直線與圓錐曲線C 的位置關(guān)系時(shí)， 將直線的方程代入曲線C 的方程， 消去 y（也可消去 x）得一個(gè)關(guān)于變量x（或 y）的一元二次方程ax2+bx+c=0。當(dāng) a 0 時(shí)，若 0，則與 C 相交；若 =0，則 與 C相切；若 0，則有 與 C 相離。當(dāng) a=0 時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，若方程有解，則直線與 C 相交，此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)若 C為雙曲線，則 平行于雙曲線的漸近線；若 C為拋物線，則 平行于拋物線的對(duì)稱軸。注意：

15、 當(dāng)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線和雙曲線、拋物線可能相切，也可能相交。2直線被圓錐曲線截得的弦長公式：斜率為 k 的直線被圓錐曲線截得弦AB，設(shè)，則弦長公式：當(dāng)時(shí) ,弦長公式還可以寫成：注意： 利用這個(gè)公式求弦長時(shí)，應(yīng)注意應(yīng)用韋達(dá)定理。六 . 求曲線的方程 .1坐標(biāo)法的定義：在直角坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示點(diǎn)， 把曲線看成滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡，用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)（x， y）所滿足的方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì) . 這就是坐標(biāo)法 .2坐標(biāo)法求曲線方程的步驟：建系設(shè)點(diǎn)點(diǎn)滿足的幾何條件坐標(biāo)化整理化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)形式證明刪去增加的或者補(bǔ)上丟失的解）（可省略， 但必須3

16、求軌跡方程的常用方法：直接法、定義法、代入法、參數(shù)法等。七 . 規(guī)律方法指導(dǎo) .1三種圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的對(duì)比:橢圓雙曲線拋物線1到兩定點(diǎn)F1、 F2 的距離之和1到兩定點(diǎn)F1、 F2 的距離之差定義為定值軌跡2a（2a |F 1F2| ）的點(diǎn)的的絕對(duì)值的為定值|F 1F2| ）的點(diǎn)的軌跡2a（0 2a2與定點(diǎn)和定直線的距離之比 2與定點(diǎn)和定直線的距離之比為定值 e 的點(diǎn)的軌跡（ 0 e 1）為定值 e 的點(diǎn)的軌跡（ e 1）與定點(diǎn)和定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡圖形標(biāo)準(zhǔn)方方程程參數(shù)（參數(shù)為離心方（參數(shù)為離心角）（ t 為參數(shù)）程角）范圍，中心原點(diǎn) O（0， 0）原點(diǎn) O（ 0，

17、 0）頂點(diǎn)（ a， 0）（ a，0），（ a， 0），（ a， 0）（ 0， 0）（ 0， b），（0， b）對(duì)稱軸x 軸， y 軸；長軸長 2a，短軸長2bx 軸， y實(shí)軸長軸；2a，虛軸長2bx 軸焦點(diǎn)F1（ c， 0）， F2（ c， 0）F1（ c， 0）， F2（ c， 0）焦距離心率e=1準(zhǔn)線漸近線2有關(guān)圓錐曲線綜合題類型:(1) 求圓錐曲線方程一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟：定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置， 如果位置不確定時(shí)， 考慮是否多解。此時(shí)注意數(shù)形結(jié)合， 在圖形上標(biāo)出已知條件， 檢查軸上的點(diǎn)、 垂直于軸的直線的位置是否準(zhǔn)

18、確等。定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為22mx+ny =1( m0, n 0)定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系， 通過解方程得到量的大小。此處注意 n 個(gè)未知數(shù)，列夠n 個(gè)獨(dú)立的方程，并注意“點(diǎn)在線上”條件及韋達(dá)定理的使用。注意： 求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查學(xué)生識(shí)圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外， 命題人還常常將它與對(duì)稱問題、弦長問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定

19、義法和待定系數(shù)法(2) 求取值范圍或最值函數(shù)方法 -將待求范圍參數(shù)表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，注意求函數(shù)的定義域。方程與不等式組-n個(gè)未知數(shù)，列夠n 個(gè)獨(dú)立方程或不等式，注意歸納總結(jié)列不等式的方法：利用幾何性質(zhì)求參數(shù)范圍；利用不等式性質(zhì)( 結(jié)合幾何性質(zhì) ) 求參數(shù)范同3解析幾何問題中，解決運(yùn)算問題的幾點(diǎn)措施：解析幾何圖形結(jié)構(gòu)、 問題結(jié)構(gòu)多，且易于發(fā)散，一旦形成為圖形或知識(shí)點(diǎn)的綜合， 往往最具運(yùn)算量、最為繁難復(fù)雜因此， 有時(shí)即便是明確了解法甚至較細(xì)的步驟，解題過程當(dāng)中也常常被卡住，算不到底、算不出正確結(jié)果也是常有的事。因此，如何解決運(yùn)算量問題，對(duì)于解題成功與否至關(guān)重要解決運(yùn)算問題，可以有以下措施：(1) 不斷提高運(yùn)算和恒等變形能力。注意培養(yǎng)觀察問題、分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力，避免 思維定勢(shì)，提高思維靈活性；具體審題中多收集些信息，綜觀全局，權(quán)衡