Arrow Debreu經(jīng)濟解析

1、Arrow-Debreu經(jīng)濟經(jīng)濟 狀態(tài)偏好理論狀態(tài)偏好理論 熊和平 武漢大學經(jīng)濟與管理學院 Idea ? ? 該方法首先由美國經(jīng)濟學家Arrow(1964)、 Debreu(1959)提出,其目的是用一種簡單的方 法來分析資產(chǎn)定價問題,得出了一些普適性的 結(jié)論.該方法或模型雖然簡單，但得出的結(jié)論 非常具有代表性。 考慮一種有限狀態(tài)、有限證券情形，在此情形 下從市場交易證券中抽象出幾個基本證券，從 而對其它證券進行定價。 Idea(續(xù)續(xù)) ? ? ? 在該模型中，一個證券就是各種可能的收益集 合，每種可能都發(fā)生在互斥的自然狀態(tài)之下。 一旦不確定狀態(tài)得到確定，證券的收益也就確 定下來。 原則上，存

2、在無限多種自然狀態(tài)，從而與之相 應的風險性證券的期末收益也有無限多種。這 一狀態(tài)集必須滿足相互排斥且沒有遺漏的基本 特征。 投資者具有狀態(tài)獨立的效用函數(shù)。 1、Arrow-Debreu證券市場證券市場 ? ? ? A-D證券市場是由所有A-D證券所構(gòu)成的證券 市場。具體地，考慮兩期有限狀態(tài)（S狀態(tài)） 情形，如果證券市場包含S個不同的A-D證券， 則稱之為A-D證券市場。 由所有可能的狀態(tài)或有證券形成的集合稱為A- D證券的完全集合。 何為A-D證券？ 本人簡單地用A-D表示Arrow-Debreu? A-D證券的定義證券的定義 ?A-D證券又稱純證券、狀態(tài)或有證券、狀態(tài)或有要求 權(quán)，有時簡稱狀

3、態(tài)證券。 ? 定義：只在某個特定狀態(tài)下支付為一個單位，其 它狀態(tài)下的支付為零的證券稱為純證券。 ? 表示： 0 0 1 狀態(tài) 0 A-D證券的定義證券的定義(續(xù)續(xù)) ?每一個狀態(tài)都可以定義一個相應的純證券， 因此S個狀態(tài)可以定義S個純證券。 ?每個純證券，其支付向量可以用相應的示 性函數(shù)來表示： ? 0? ? . ? ?1 ?狀態(tài)?1?1 ? ?1 ? ? ? ?.? ?0其他 ? ? ? 0 ? A-D證券的定義（續(xù)）證券的定義（續(xù)） ? 例子：假如未來只有三種狀態(tài)，則市場上只 有三類純證券： 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ? 通常情況下，期末有S個狀態(tài)時，有S個不同 的純證券，其支付

4、向量對應與S維向量空間的 標準正交基。 市場結(jié)構(gòu)市場結(jié)構(gòu) ?若市場存在S個狀態(tài)證券，這S個狀態(tài)證券形 成的市場結(jié)構(gòu)按順序形成一個單位矩陣 ?1 . 0 .0 ? ? . ? . ? A?D ? ?0 1 0? ? I ? . ? ?001 ? X 2、狀態(tài)價格、狀態(tài)價格 ?回顧：每個證券我們關系兩個時點的值： 期末的支付X 期初的價格S price payoff 單個證券 一個組合 狀態(tài)證券 T s i S ? (s 1 ,s 2,.,sN) x i X ? (x 1 ,x 2,.,xN ) ?1 ? 純證券價格（續(xù)）純證券價格（續(xù)） ? ? 含義：每個純證券的期初價格 記為：?i ,i ?

5、1,2,., S 圖示： 0期1期 0 0 1 狀態(tài)i 0 ?i ?價格的確定：假如市場上有兩個交易證券， 未來只有兩種可能的狀態(tài)，其支付和價格為： 證券 j k 狀態(tài)1 $10 $30 狀態(tài)2 $20 $10 價格 $8 $9 ?我們來計算狀態(tài)價格： ?10?1? 20 ?2? 8 ? ? 30 ?1? 10 ?2? 9 ?1? $0.20, ?2? $0.30 進一步假定某證券在狀態(tài)1、2下的支付 分別為$15和$50，則價格應該為： 15 ? $0.20 ? 50 ? $0.30 ? $18 一般情形一般情形 ?單個證券的支付分解 ? x 1 i? 1? ?0? 0? ? x ? 0 ?

6、 1? ? 0 ? 2i ? x i ? x 1 i ? ? ? x 2i ? ? ? . ? x Si ? ? ? . ?.?.?.? ? ? ? ? x ? 0 ? 0? ? 1? ? Si? ? x 1 i11 ? x 2i12 ? . ? x Si1S 一般情形（續(xù)）一般情形（續(xù)） ?單個證券的價格上述支付可以通過購買相 應的狀態(tài)證券而得到，從而其合理價格為： S i ? x 1 i?1? x 2i?2 ? . ? x Si?S ? x 1 i? ?x? 2i ? ( ?1,?2,.,?S )? ? ?. ? ? x ? Si? ? x i T ?一般情形（續(xù)）： ? T X ? ?

7、? x 11 (?,? x 21 12,.,?S )? ? ? . ?xS1 x 12 .x 1N? x 22 .x ? 2N . ? ? ? (S 1 ,S 2,.,SS ) x S2 .x ? SN? 1 ,? 2,.,?S ? 我們習慣的寫法我們習慣的寫法 S ? X T? ? ? x 11 x 21 ? x 12 x 22 ? ? . ?x 1N x 2N x S1?1? x ? S2 ? ? 2 . ? ? x ? ?.? ? ? ? ? ? SNS? ? ? S 1? ? ? S ? 2 ? ? ? .? ?S ? S? . . . . 3、完全資本市場、完全資本市場 ? ? ?

8、含義：假定資本市場未來一共有S個狀態(tài)，當 資本市場上存在S個不同的純證券時，或者能 夠由資本市場上的證券構(gòu)造出S個純證券時， 我們稱該市場是完全的。 命題：由數(shù)學知識可知，所有證券的秩等于S 時，市場完全 完全市場可以有多種不同的定義 各種定義各種定義 ? ? When we have a complete set of state contingent claim markets, we say that the markets are complete.( chi-fu huang) The set of payoffs available via trades in the asset

9、span and denoted by M M ? z?R :z ? X?,? ? R SN M ? R If ,then markets are complete S 王江的定義王江的定義 ? ? 一個證券市場的有效性與它允許參與者在多大 程度上為不同消費計劃融資是緊密相關的。在 AD證券市場的情況下，它提供了最大的靈 活性。我們稱這種市場是完全的。 定義：如果市場中的任一有限消費計劃都可以 通過有限成本的可交易證券的組合來融資，那 么我們就稱這個證券市場是完全的。 如何解讀？如何解讀？ ?Step1 ：A-D證券市場上的消費如果存在 S個純證券，則任意未來消費計劃可以復制 ?c11?1?0

10、? ?c?0?1? 12? ? c ? c 11? ? c 12? ? .?c 1 S ?.?.?.? ? ? ? ?0? 0 ?x 1 S? ? c 11 1 1? x 12 1 2 ? .?x 1 S1S ?0? ?0? ? ? ?.? ? ? ?1? ?如何復制？ T ? 取組合?(c 11 ,c 12 ,.,c 1 S ) ? 該組合的期末支付為： x ? ? X? ? X A?D ? c 0 ?c11?c 11?1 ? 1 ?c?c? 12 ? 12 ? A?D ? X ? c ? . ?.?.? ? 1 ?c 1S? ?c 1S?0 ?Step2：該消費計劃可以通過購買上述組合而

11、得到。為實現(xiàn)該消費計劃的融資成本為： V ? ? c 11 ?1? c 12 ?2? .?c 1S?S ?c11? ?c? 12 ? ? ? ? c 1 ? ? (?1,? 2,.,?S ) ?. ? ? ? ?c 1 S? ? c T 小結(jié)小結(jié) ? ? 當市場上存在S個不同的狀態(tài)證券時，可以通過 買賣這些狀態(tài)證券（即構(gòu)造相應的投資組合）為 任何可行的消費計劃融資；同時任何一種可行的 消費計劃都可以通過市場上的交易而得到。 該市場上任何一個證券，只要其期末各狀態(tài)下的 支付有限，該證券都可以通過買賣狀態(tài)證券來復 制。 ?因此，我們可以簡單地將完全市場定義為含S 個不同狀態(tài)證券的市場。 小結(jié)（續(xù)）

12、小結(jié)（續(xù)） ?由線性代數(shù)的知識可知，下列方程組有解的充 分條件是X是行滿秩的 ? x 11 ?x 21 ? X? ? ? . ? ? x S1 x 12 x 22 . x S2 .x 1N?1?c11? ? .x 2N ? 2 ?c 12 ? ? . ?. ?. ? ? .x SN?N? ?c 1 S? 故rank (X)?S也可以作為完全市場的定義。 小結(jié)（續(xù)）小結(jié)（續(xù)） ?我們還可以進一步用數(shù)學知識來說明，但其本 質(zhì)是： 任何有限的消費計劃都可以通過有限成本融 資來構(gòu)造投資組合，從而實現(xiàn)該消費計劃。 市場完全還意味著，任何有限的支付向量都 可以通過市場交易而復制。 后面我們還要證明，完全市

13、場可以復制所有 的狀態(tài)證券。 4、參與者的優(yōu)化、參與者的優(yōu)化 ?我們按如下幾個步驟來考慮參與者的優(yōu)化問題 Step 1：參與者的條件 Step2：參與者的預算約束 Step3：參與者的優(yōu)化問題 Step4：優(yōu)化的必要條件 參與者的優(yōu)化參與者的優(yōu)化 ?Step1： 參與者的條件 ?參與者的稟賦：在A-D框架下，實物稟賦和 證券稟賦是沒有區(qū)別的。 T ? 1) e 1 ? (e 11 ,e 12 ,.,e 1 S )?實物稟賦：(e 0,e T e0,? (e 11 ,e 12 ,.,e 1 S ) ? 實物加證券： 易證，兩種稟賦帶來的兩期消費完全相同！我們 稱 ? 為 e ? 1的復制組合，因

14、為前者復制了后者 ?參與者的財富：由于稟賦組合復制了稟賦的實 物形式，故可用復制組合的成本度量實物稟賦 的價值，從而計算兩期稟賦的總價值： w?e 0 ? e 1 ? e 0 ? ? ? e 1 ? T ? 我們稱之為參與者的金融財富或簡稱財富。 ?Step2：預算約束 ? 1 ) ? 在A-D框架下，我們假定可以將稟賦 (e 0,e T ? 1，然后用現(xiàn)金購買即 兌換成現(xiàn)金w? e 0 ? e ? 1 期消費 c 0和證券組合 ? ? c ? 這一消費組合決策必須滿足一定的約束，我 們稱之為預算約束： c 0 ? ? c 1 ? ? w?e 0 ? ? e 1 ? ? ? c 0 ? c 1

15、 ? e 0 ? e 1 TTTT ? ? c ? e c 0 ? c 1 ? w?e 0? ? e 1 ce ? 00? TT (1, ? ) ? ? (1, ? ) ? ? c 1? ? e 1? ce ? 00 TT ? ? (1, ? ),c ? ?,e ? ? ? c 1? ?e 1? TT ? ? c ? e T ? ? (c ? e) ? TT ?Step3 ：優(yōu)化問題 max c?C U(c) s.t ? ? Tc ? ? Te c ? 0 狀態(tài)獨立 時間可加 效用 S c max u(c 0) ? 0,c11 ,.c 1S ? u(c 1 ? ) ?1 SS s.t c 0

16、? ? ? c 1 ? ? e 0? ? e 1 ? ?1?1 c 0,c1 ? ? 0 Step4：優(yōu)化的條件 1 ?S 存在性定理存在性定理：若 C ? R ? 且U(.)在C上連續(xù)，則 上述優(yōu)化問題有解。 證明思路預算集是閉集，閉集上的連續(xù)函 數(shù)存在最值。 不滿足公理不滿足公理：不滿足性意味著效用函數(shù)單調(diào)增 若可微則有： ? ?U?U ? ?U0? 0; ? ?U? 0, ? ?c0?c 1 ? DU ? ? 0 U,? 1 U,.,? S U ? 0 T 優(yōu)化的條件優(yōu)化的條件 ?優(yōu)化問題處理： 令 L ? U(c) ? (w?c 0? ?ic 1 i )? ? ? ic1 i i?1i

17、 S 定理定理：假定DU ? 0，則上述優(yōu)化問題的解滿足 條件： ? iU ? i ? i , i ? 0,1, 2,.,S w?c 0 ? ? ?ic 1 i i?1 S ? ici ? 0, c i ? 0,i ? 0,1, 2,., S 例子例子 ? ? 考慮“Lucas樹模型”，1期有兩個等概率的狀 態(tài)a和b。已知狀態(tài)價格和參與者的稟賦，其效 用函數(shù)為對數(shù)效用函數(shù)。 求最優(yōu)消費組合選擇。 優(yōu)化的條件（續(xù)）優(yōu)化的條件（續(xù)） ? 上述問題考慮邊界問題。如果達到最優(yōu)時非負 約束不起作用，則最優(yōu)解稱為內(nèi)點解內(nèi)點解。如果非 負約束起作用，則最優(yōu)解叫邊角解邊角解。 ?通常假定效用函數(shù)滿足Inada條件： lim? iU ? ? ,lim? iU ? 0 c i? 0 c i? 因此，一般認為所有的最優(yōu)解為內(nèi)點解。 ?此時一階條件為： L ? U(c)? ? (w?c 0 ? ? ?ic 1 i ) i?1 S ? iU ? i , i ? 0,1, 2,.,S ? S ? ? w?c 0 ? ? ?ic 1 i i?1 ? ? ? iU ?i ? ? ? U ? ? jj ? ? U ? ? ? ? ? ? 0U ?含義： 5、市場均衡、市場均衡 ? ? 均衡：給定狀態(tài)價格，參與者決定各自的消 費投資需求，結(jié)